Ֆունկցիաների ընտանիքներ

Մի քանի տասնամյակ շարունակ ընդունելության քննությունների ընթացքում պարբերաբար հանդիպում են խնդիրներ, որոնցում պահանջվում է ֆունկցիաների տվյալ ընտանիքից առանձնացնել այն ֆունկցիաները, որոնց արժեքների բազմությունները բավարարում են տրված պայմաններին։

Ստորև ցույց կտանք նմանատիպ խնդիրների առավել տարածված դասի լուծման մոտեցումները։

Ենթադրենք՝ a պարամետրի տվյալ արժեքի համար դիտարկում ենք hետևյալ ֆունկցիան`

Կասենք, որ տրված է {Ya} ֆունկցիաների ընտանիքը, որտեղ a-ն ընդունում է բոլոր թույլատրելի արժեքները։

Առանձնացնենք խնդիրների հիմնական տեսակները։

Առաջին հիմնական խնդիրը

Գտնել a պարամետրի բոլոր այն արժեքները, որոնց դեպքում f (x;a) ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը պարունակում է տրված հատվածը (միջակայքը, կիսաբաց միջակայքը, ճառագայթը և այլն)։

Երկրորդ հիմնական խնդիրը

Գտնել a պարամետրի բոլոր այն արժեքները, որոնց դեպքում f(x;a) ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը չի պարունակում տրված հատվածի (միջակայքի, կիսաբաց միջակայքի, ճառագայթի և այլն) ոչ մի արժեք։

Պարզ է, որ կարելի է բերել պարբերաբար հանդիպող հիմնական խնդիրների այլ տեսակներ։

Ավելին, հիմնական խնդիրների միջև եղած փոխադարձ կապի պատճառով երբեմն հնարավոր է դրանցից մեկը ձևափոխել՝ դարձնելով մյուսի նման։

Հիմնական խնդիրների մեր ընտրությունը պայմանավորված է ընդունելության քննությունների պրակտիկայով, որտեղ այս խնդիրներն ավելի հաճախ հանդիպում են հենց այս տեսքով։

Ընդունված է առանձնացնել լուծումների հետևյալ եղանակները։

Առաջին եղանակ
f(x; a) ֆունկցիայի արժեքների E (Ya) բազմության որոշելու եղանակը՝ տրված а պարամետրի համար

Այս եղանակի իմաստը նրա արժեքների բազմությունը գտնելու նպատակով ֆունկցիայի անմիջական ուսումնասիրությունը և «այն փնտրվող բազմություն է, թե ոչ» հարցը պարզելն է։

Այս եղանակը աշխատանքի ծավալի տեսանկյունից ամենածավալունն է, քանի որ անհրաժեշտ է նախապես կատարել հնարավոր բոլոր դեպքերի ամբողջական դասակարգում՝ ըստ a պարամետրի արժեքների և հետազոտվող ֆունկցիայի տեսակների, այնուհետև առանձին ուսումնասիրել յուրաքանչյուր դեպքը։

Երկրորդ եղանակ
Երկրորդ եղանակը y=f(x;a) (1) հավասարման արմատների որոշումն է՝ որտեղ x-ը անհայտ է, իսկ y-ը և a-ն՝ հավասարման պարամետրեր, երբ y փոփոխականի նկատմամբ տրված են նախապես ինչ-որ պահանջներ։

Այս եղանակով լուծման բոլոր գործողությունները համեմատաբար ավելի պարզ և հասկանալի են, ընդ որում՝ համարվում է գիտական գրականության մեջ առավել հաճախ հանդիպող եղանակներից մեկը։

Երրորդ եղանակը
Այս եղանակով լուծում ենք (1) հավասարումը a պարամետրի նկատմամբ։
Սա պարամետրով հավասարման լուծման շատ հայտնի եղանակ է, սակայն այն լուծելու համար պետք է ունենալ մաթեմատիկական բարձր պատրաստվածություն։

Այս հոդվածը ճիշտ հասկանալու համար շատ կարևոր է պարզել, թե
{Ya} ֆունկցաների ընտանիքից որ տեսակի ֆունկցիաներն են դիտարկվում, երբ (1) հավասարման երեք փոփոխականներից որևէ մեկը պահում ենք հաստատուն։

a=c տարբերակը

Դիտարկվում է {Ya} ընտանիքից մեկ ֆունկցիա ՝ y(x )= f(x;c)

x=c տարբերակը
Դիտարկվում են {Ya} ընտանիքից բոլոր այն ֆունկցիաները, որոնց որոշման տիրույթը ընդգրկում է c կետը։

y = c տարբերակը
Դիտարկվում են {Ya} ընտանիքին պատկանող բոլոր այն ֆունկցիաները, որոնց արժեքների բազմությունը ընդգրկում է c կետը։

Այժմ ավելի մանրամասն քննարկենք բոլոր հնարավոր եղանակներով կոնկրետ խնդիրների լուծումները:

Առաջին եղանակով խնդիրների լուծման օրինակներ

Խնդիր 1. Գտնել a պարամետրի բոլոր այն արժեքները, որոնցից յուրաքանչյուրի համար ֆունկցիան [−1;1] փակ միջակայքում ընդունում է [0;1] հատվածի բոլոր արժեքները։

Լուծում։ (2) Հավասարման մեջ անջատենք ամբողջ մասը

Այստեղից հետևում է, որ f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը կամ հիպերբոլ է (երբ a≠0), կամ ուղիղ՝ առանց մեկ կետի։

Եթե a < 0, ապա f(x) ֆունկցիան մոնոտոն նվազում է (-∞; 2a) և (2a; +∞) միջակայքերում, իսկ եթե a > 0, ապա f(x) ֆունկցիան նույն միջակայքերի վրա մոնոտոն աճում է։

Իսկ եթե a = 0, ապա f(x) = -2 ֆունկցիան իր ամբողջ որոշման տիրույթում (x ≠ 0) հաստատուն է։ Ուստի պարզ է, որ պահանջվող պարամետրի թույլատրելի արժեքները չեն կարող զրո լինել։

Քանի որ մեզ հետաքրքրում են ֆունկցիայի արժեքները միայն [-1; 1] հատվածում, հնարավոր դեպքերը կախված են նրանից, թե x = 2a (a ≠ 0) հիպերբոլի ասիմպտոտն ինչպեսի դիրք ունի այդ հատվածի նկատմամբ։

Առաջին դեպք

[-1; 1] հատվածի բոլոր կետերը գտնվում են x = 2a ուղղահայաց ասիմպտոտից աջ, այսինքն՝ 2a < -1։

Երկրորդ դեպք

Ուղղահայաց ասիմպտոտը հատում է [−1;1] հատվածը, և ֆունկցիան նվազող է (ինչպես առաջին դեպքում), այսինքն՝

Երրորդ դեպք

Ուղղահայաց ասիմպտոտը հատում է [−1;1] հատվածը, իսկ ֆունկցիան աճող է, այսինքն՝

Չորրորդ դեպք

[−1;1] հատված բոլոր կետերը գտնվում են ուղղահայաց ասիմպտոտից ձախ, այսինքն՝

Հաջորդ քայլում չորս դեպքերից յուրաքանչյուրի համար գտնում ենք ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը [−1;1] հատվածի այն կետերում, որտեղ այն որոշված է։ Դա դժվար չէ՝ հաշվի առնելով ֆունկցիայի մոնոտոնությունը։

Առաջադրանք 1.
Ապացուցեք, որ առաջին դեպքի համար՝

Իսկ չորրորդ դեպքի համար՝

Քանի որ խնդրում խոսքը գնում է [0;1] հատվածին պատկանող ֆունկցիայի արժեքների բազմության մասին, ապա 2-րդ դեպքում մենք ֆունկցիան կուսումնասիրենք (2а;1] միջակայքում, (f(x)<-2, երբ x < 2a)։
Նմանապես 3-րդ դեպքում ֆունկցիան դիտարկում ենք միայն [ 2a; 1) կիսաբաց միջակայքում։ Նույն ձևով երրորդ դեպքի համար մենք կնայենք ֆունկցիան միայն [-1; 2a ) միջակայքում։

Առաջադրանք 2.
Ապացուցեք, որ երկրորդ դեպքի համար նշված միջակայքում տեղի ունի ՝

իսկ երրորդ դեպքի համար

Մեզ մնում է չորս դեպքերից յուրաքանչյուրի համար գրել, որ [0;1] հատվածը ընկած է f(x) ֆունկցիայի գտած արժեքների բազմությունում, ապա լուծել այդ պայմաններին բավարարող անհավասարումների համակարգերը՝

Խնդրի պատասխանը՝ [-2; 0) ∪ (0; 2 ]։

Որպեսզի ամբողջովին պատկերացնենք ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը գտնելու եղանակի աշխատատար լինելը, նույն եղանակով լուծենք ևս մեկ խնդիր։

Խնդիր 2.
Գտնել a պարամետրի բոլոր այն արժեքները, որոնց դեպքում ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը [−3; −1] հատվածի հետ ընդհանուր կետեր չունի։

Քանի որ (3) հավասարման կոտորակի համարիչը a պարամետրի ցանկացած արժեքի դեպքում, երբ x=2 միշտ զրո է, ապա հետագա բոլոր դեպքերը որոշվում են հայտարարում գտնվող քառակուսային եռանդամով, կստանանք
I դեպք, а<0
II դեպք, а=0

III դեպք

IV դեպք,

IV դեպք, 2< √a = 2

IV դեպք, 2<√a

Հիմա` մանրամասն

I դեպք

а<о դեպքում, կոտորակի հայտարարը

փոքր է զրոյից: Այստեղից էլ հետևում է, որ y>0 երբ x <2, և y<0, երբ x>2:

Ֆունկցիան ամենուրեք անընդհատ է, և քանի որ այն ընդունում է ինչպես դրական, այնպես էլ բացասական արժեքներ, ապա փնտրվող պարամետրի արժեքը գոյություն կունենա, եթե ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը մեծ լինի [−3;−1] հատվածի ամենամեծ թվից, այսինքն՝ երբ
miny (x )>-1

Քանի որ ֆունկցիան բացասական արժեքներ ընդունում է միայն x>2 դեպքում, ապա
(4) min y(x)>-1.

Հաշվենք min y(x), x>2.

Կատարենք նշանակում՝ x-2=t, t>0 երբ x>2.
Հետևաբար