Երեխաներ և գրաֆներ

6 տարեկան երեխաներին մաթեմատիկական հասկացություններ ուսուցանելու մասին

Այս գիրքը նախատեսված է նրանց համար, ովքեր պատրաստվում են կամ էլ արդեն մաթեմատիկա են դասավանդում երեխաներին։ Թերևս, գիրքը  չի  կարելի  համարել գործնական ­ուղեցույց, չնայած այն հանգամանքին, որ սկզբնապես ստեղծվել է  բելգիական մանկապարտեզներից մեկի դաստիարակչուհու՝ մադամ Ֆրեդերիկի կողմից տրված դասերի սղագրություններով և նրա ամուսնու՝ մաթեմատիկոս Ժորժ Պապի մեկնաբանություններով: Դրա բովանդակությունը հստակ տարբերվում է այն ամենից, ինչով մեր երեխաները զբաղվում են մանկապարտեզի ավագ կամ դպրոցի նախապատրաստական խմբերում:

Ամեն դեպքում խորհուրդ ենք տալիս այս գիրքը կարդալ տարրական դպրոցի ուսուցիչներին կամ մանկապարտեզի դաստիարակներին, ովքեր լրջորեն հետաքրքրված են նախադպրոցական տարիքի երեխաներին մաթեմատիկա դասավանդելու հնարավորություններով և հեռանկարներով: Մաթեմատիկական մասնագիտացված կրթություն չստացած ընթերցողներին ­պետք է զգուշացնել, որ նախկին դպրոցական ծրագրով իրենց ունեցած մաթեմատիկական գիտելիքները կարող են բավարար չլինել Պապիի մեկնաբանությունները լիովին հասկանալու համար: Նրանք կարող են համապատասխան խորհուրդներ ստանալ, օրինակ, Ն. Յա ­. Վիլենկինի «Պատմություններ բազմությունների մասին» գրքի ­էջերում (Մոսկվա, «Նաուկա», 1969):

Ի՞նչ կարող է պատրաստված ընթերցողը սովորել Պապ  ամուսինների գրքից։

Նախ և առաջ մեթոդական հնարքներն ու խորհուրդները օգտակար են, երբ ցանկանում ենք հեշտացնել երեխաների մաթեմատիկական մտածողության հետ կապված առաջին փորձառությունները: Իհարկե, այս խորհուրդները կարող են կիրառվել նաև այն դեպքերում, երբ խոսքը գրաֆներին չի վերաբերում: Մտորե՛ք այս կամ այն համասեռ առարկաները՝ խաղալիքներ կամ հենց երեխաներ,  մեկը մյուսի հետևից  նկարելու փոխարեն  կետերի տեսքով ներկայացնելու խորհուրդը (էջ ­5), կամ բազմագույն սլաքներ օգտագործելու հնարքը ­՝ առարկաների միջև տարբեր տեսակի հարաբերություններ, օրինակ՝ ­ազգակցական կամ կարգային հարաբերություններ (էջ 23 և հաջորդ) տեսանելի ցուցադրելու համար:

61-րդ էջում ­մի բազմությունը մյուսի վրա արտապատկերելու գաղափարը ներդրվում է երեխաների շրջանում շնորհավորական բացիկների երևակայական բաշխման օրինակով: Երեխաներին «փոքր» և «մեծ ­» թվերի հարաբերություններով հետաքրքրելու համար տիկին Ֆրեդերիկը ստիպում է թվերին «զրուցել» միմյանց հետ, և այդ դեպքում մեկը միայն կարող է ասել, որ այն փոքր է ցանկացած այլ թվից, մինչդեռ, օրինակ՝ հինգը կարող է ասել, որ այն մեծ է երկուսից, բայց փոքր է ութից (էջ 160 և հաջորդները): Եթե նման զրույցները ձանձրալի են դառնում, թվերը սկսում են վազել, և այդ դեպքում անհրաժեշտ է հետևել, թե որն է առաջ ընկնում, և որը՝ ետ (էջ 168 և հաջորդները): Ո՞ր թիվն է վազում մեկից առաջ­, հարցնում է տիկին Ֆրեդերիկը, և ո՞րը՝ զրոյից առաջ, և, ըստ էության, այստեղ կանգ է առնում:

Ինչ վերաբերում է երեխաներին ­գրաֆիկներին ծանոթացնելուն, որոնք տեսողական միջոցներ են հանդիսանում այնպիսի կարևոր մաթեմատիկական հասկացությունների յուրացման համար, ինչպիսիք են համարժեքության կամ կարգի հարաբերությունները, արտապատկերումները կամ ֆունկցիաները․ ներկայիս ուսումնական ծրագրի համաձայն դրանք ­կարող են կիրառվել ­չորրորդ և հինգերորդ դասարանների աշակերտների խմբակներում։ Այս դեպքում գրքի մեթոդաբանական գաղափարները տեղին կլինեին երկու կամ երեք ներածական դասերի համար։

Ահա թե ինչու «Երեխաները և գրաֆները» գիրքը խորհուրդ է տրվում նաև մաթեմատիկայի ուսուցիչներին, ովքեր փնտրում են պարզ ­և ուսուցողական թեմաներ արտադասարանական գործունեության համար: Վերջապես չենք բացառի ծնողներին որպես պոտենցիալ ընթերցողներ, քանի որ նրանք կարող են ­գրքից հետաքրքիր և օգտակար խաղեր գտնել իրենց երեխաների համար:

ԽՍՀՄ մանկավարժական գիտությունների ակադեմիայի իսկական անդամ Ա. Մարկուշևիչ

Հեղինակների նախաբանը

Մաթեմատիկոսները «հարաբերություն» հասկացությունն օգտագործել են դեռևս հին ժամանակներից։ Ժամանակակից դասավանդումը պետք է հատուկ ուշադրություն դարձնի այս հասկացությանը։ Վերջին 10 տարիների ընթացքում պարզ է դարձել, որ բազմագույն ­գրաֆները արդյունավետ մանկավարժական գործիք են մաթեմատիկական հասկացությունների  և հարաբերությունների հատկությունները բացատրելու համար։

1967 թվականի սեպտեբեմբերի 1-ին  Բելգիայի մաթեմատիկական ­մանկավարժական կենտրոնն իրականացրեց գիտափորձ 6 տարեկանների  երկու դասարաններում, որը ղեկավարում էր տիկին Ֆրեդերիկը, ով համագործակցում էր Դանիել Ինկոլի հետ։ Այս գիտափորձի ժամանակ գրաֆները մինիհաշվիչների հետ գլխավոր  տեղն էին զբաղեցնում։

Այս գիրքը նկարագրում է առաջին տասը դասերը, որոնց ընթացքում տիկին Ֆրեդերիկը ներկայացնում է գրաֆները: Այս դասերից յուրաքանչյուրն ուղեկցվում է մաթեմատիկական և մեթոդաբանական մեկնաբանություններով: Առաջին հինգ և վերջին հինգ դասերի միջև ընկած ժամանակահատվածը ուսումնասիրում է սկզբնական հասկացությունների դասավանդման մաթեմատիկական կողմը:

Երեխաների անուններով բոլոր նկարազարդումները երեխաների կողմից ֆլոմաստերով արված նկարների ճշգրիտ վերարտադրություններն են։

Գրաֆները ­ներկայացնող գեղեցիկ բազմագույն նկարները օգնում են զարգացնել «հարաբերություններ» մաթեմատիկական հասկացությունը՝ հիմնվելով երեխաների նախնական, «նախադպրոցական» գիտելիքների վրա ՝ օգտագործելով նրանց վաղ մանկությունից ծանոթ իրավիճակներ։

Պապի

Բրյուսել, 6 մայիսի, 1968թ.

Մինի համակարգիչը  համրիչի խելացիորեն նախագծված, փոքր-ինչ փոփոխված տարբերակն է, որը ներկայացված է որպես մանկական խաղ: Մինի հաշվիչով խաղալով՝ երեխաները արագ սովորում են թվերի փոխանցման, բազմանիշ թվեր գումարելու և հանելու, ինչպես նաև բազմապատկման հատուկ դեպքերի հասկացությունները: Մինի համակարգչի գաղափարը պատկանում է Ֆրեդերիկ և Ժորժ Պապիներին: (Բնագրի թարգմանչի նշում):

Դաս 1

Ցո՛ւյց տուր քրոջդ

Մեկ առնչությամբ գրաֆ

Մի քանի րոպե անկաշկանդ զրույց «Եղբայրներ և քույրեր» թեմայի շուրջ

-Քանի՞ եղբայր և քույր ունես։

-Քանի՞ երեխա կա ձեր ընտանիքում։

-Իսկ ինչպե՞ս են անվանում քո քույրերին և եղբայրներին։

Նիկոլան հպարտությամբ ասում է.

-Մենք երեք եղբայր ենք՝ Ալենը, Միքայելը և ես։

Պեպիտոն չեմպիոն է։ Նա բազմազավակ  ընտանիքից է։

-Հիմա մենք բոլորս միասին նոր խաղ կսովորենք։

Տիկին Ֆրեդերիկը նկարը պատկերում է հսկայական էկրանի վրա։

-Այստեղ դասամիջոցին բակում խաղացող տղաներն ու աղջիկներն են։ Նրանք շատ են։ Ո՞վ է ուզում հաշվել։

Մի փոքրիկ տղա ձեռքը բարձրացմում է։ Տիկին Ֆրեդերիկը ցուցափայտը տալիս է նրան։ Տղան հաշվում է ձախից աջ՝ բաց թողելով  երկու կետ։

-Նրանք 13-ն են։

-Ստուգե՛նք։

Երկրորդն է ձեռքը բարձրացնում։ Նա սկզբում հաշվում է պատկերի եզրին մոտ գտնվող կետերը, ապա ­՝ ներքին կետերը, մոռանում է մեկ կետ և ասում.

-14:

Երրորդ երեխան առանց սխալների հաշվում է.

— Նրանք 15-ն են։

-Բակում 15 երեխա կա։ Կարո՞ղ եք ճանաչել նրանց մեջ գտնվող աղջիկներին և տղաներին։

Զարմացած ծիծաղով երեխաներն  ուսերն են թոթվում։

-Իհարկե ո՛չ։

-Ինչո՞ւ։

-Նրանք բոլորը կետեր են․․․

-Երեխաները խաղում էին մի խաղ, որը կարող է օգնել ձեզ ճանաչել աղջիկներին ­և տղաներին։ Նրանց խաղը կոչվում էր «Ցույց տուր քո քրոջը»։ Ահա՛ երեխաներից մեկը և ահա՛ նրա քույրը։ (Քույրը աջ կողմում է)։

-Ինչպե՞ս կարող եք նշել, որ այդ երեխան ցույց է տալիս իր քրոջը։

Դիդեի արագ պատասխանը․

-Սլաքով։(Դիդեն գնում է գրատախտակի մոտ և նկարում)։

-Հրաշալի՜ է։ Չե՞ս կարող քո նկարում նշել ավելի հստակ, թե ում է ցույց տալիս սլաքը։

Դիդեի նոր նկարը (Դիդեն նկարում  է նոր հրահանգը)։

-Հրաշալի՜ է։ Առաջարկում եմ քո գիծը շարունակել, մինչև հասնի կետին։

Տիկին Ֆրեդերիկի նկարը։

-Ի՞նչ է մեզ ասում սլաքը։

-Երեխան ցույց է տալիս իր քրոջը։

Տիկին Ֆրեդերիկը էկրանին ցուցադրում է պատկերը։

Այս երեխաները մեր խաղն են խաղում։ Նրանք նկարել են բոլոր սլաքները։

-Ո՞վ կարող է ցույց տալ աղջկան։

Երեխաները միահամուռ ձեռք են բարձրացնում։ Նրանցից մեկը ցույց է տալիս գրաֆի ամենաբարդ մասում գտնվող աղջկան։

-Ճի՛շտ է։ Ինչպե՞ս իմացար։

-Որովհետև այստեղ են գալիս սլաքները։

Մյուսը հաստատում է․

-Որովհետև սլաքն ասում է, որ սա աղջիկն է։

Մյուս աշակերտները ձեռք են բարձրացնում և ցույց տալիս այդ բազմության բոլոր հաջորդական աղջիկներին։ Մեկը սխալվում է և  ցույց է տալիս սլաքներից մեկի սկզբնակետը։

Դասարանը խմբով առարկում է․

-Ինչո՞ւ դա, չէ՞ որ դա աղջիկ չէ։

-Որովհետ սլաքը հակառակ է գնացել։

Տիկին Ֆրեդերիկը երեխաների ուշադրությունը հրավիրում է գրաֆի այս մասին։

Այս երեխան ցույց է տալիս իր քրոջը, այս մեկն էլ  է ցույց տալիս իր քրոջը։ Ովքե՞ր են այդ երկու երեխաները։

-Նրանք եղբայրներ են։

Նայե’նք նկարի մյուս հատվածին։

-Դանիելան մեզ ասում էր, որ ինքը քույր ունի, ում անունը Մարիամ է։ Ապա մեզ ցո՛ւյց տուր նկարում քո քրոջը։

Դանիելան նկարում ցույց է տալիս իրեն, իսկ հետո ցույց է տալիս քրոջը՝ Մարիամին։ Դանիելան ասում է․ «Ահա՛ իմ քույրը՝ Մարիամը»։

Մարիամը պատասխանում է․ «Այո, ահա՛ իմ քույր Դանիելան»։

Այս փոքրիկ տեսարանը պատկերվում է գրաֆի վրա երկու կետերի և երկու սլաքների օգնությամբ, որոնք գնում են իրար ընդառաջ։

-Ո՞վ կարող է մեզ ցույց տալ քրոջն ու եղբորը։

Երեխաներից մեկը ցույց է տալիս գրաֆից  մի հատված։

-Որտե՞ղ է քույրը և որտե՞ղ է եղբայրը։

Աշակերտը հաջորդաբար ցույց է տալիս նկարում սլաքի սկիզբն ու վերջը։

-Ահա չորս երեխաները։ Որո՞նք են աղջիկներն ու որո՞նք են տղաները։

Լուծումը գտնվեց բավականին արագ, չնայած գրաֆի բարդ տեսքին։

Չնայած կային երեխաներ, որ սխալվում էին, բայց ամեն անգամ դասարանը միահամուռ կերպով առարկում էր։

Դաս 1 -ի մեկնաբանությունը։

Տևողությունը՝ 25 րոպե։

Ամսաթիվը՝ 7 սեպտեմբերի, 1967 թվական։

Առաջին անգամ երեխաները դպրոց գալով հայտնվում ե իրենց համար նոր միջավայրում։

Հետևաբար անհրաժեշտ է նրանց հետ զրուցել իրենց նախադպրոցական շրջապատի՝ ընտանիքի, մասնավորապես քույրերի և եղբայրների մասին։  Սա միանգամայն բնական թեմա է դասի համար։ Ընտանիքի մասին պատմությունը յուրօրինակ ներածություն  է դասի  թեմայի ուսումնասիրման համար, սակայն պետք չէ երկար կանգ առնել այս իրական իրավաիճակի վրա։ Հարկավոր է արագ անցում կատարել մտովի պատկերով, ավելի վերացական միջավայրի՝ ցուցադրելով 7-րդ էջում տրված նկարը։

-Մենք երեք եղբայր ենք՝ Ալենը, Միքայելը և ես։ (Նիկոլա)

Անկաշկանդ զրույցի ընթացքում պարզվում է, որ Նիկոլան բնազդաբար (ինտուիտիվ կերպով) է ընկալում  «եղբայր»  հասկացությունը։

Արդյո՞ք սա մեզ չի օգնում պարզաբանել, թե որքան խորն են իրականությունը իդելականացնելու բնական հակվածության արմատները, երբ որոշ առնչություններ ընկալվում են որպես անդրադարձ, հատկապես այնպիսի առնչություններ, որոնցում անդրադարձ լինելը ծնում է նաև փոխանցականություն (փոխանցականությունը առնչության այն հատկությունն է, երբ կապը փոխանցվում է շղթայական սկզբունքով)։

Մենք, իհարկե, հնարավորություն կունենանք դեռ վերադառնալու այս հարցին։

Մեծ էկրան

Կարևոր է նկար 1-ը ցուցադրել մեծ էկրանի վրա, որը կզբաղեցնի երեխաների տեսադաշտի ողջ տիրույթը։ Այդ դեպքում արձագանքը կլինի նույնը, ինչ կինոթատրոնի դահլիճում։ Փակ գծով շրջապատված կետերը երեխաների մոտ առաջացնում են հիացմունքի և զարմանքի ուժգին «Օ՜օօօ» բացականչություն։ Կարելի է արձանագրել խորը դրական կապ աշակերտների և այս վերացական նկարի միջև, որը երեխաների համար դեռևս զուրկ է բովանդակային իմաստից։

Աշակերտները միանգամից համաձայնում են, որ կետերով կարելի է պատկերել երեխաներին

Ամենատարածված մեթոդական սխալներից մեկն այն է, որ թերագնահատվում է երեխաների հակվածությունը դեպի վերացարկումը (աբստրակցիան), և ցանկացած շփում վերացականի հետ դիտարկվում է որպես դժվար և խիստ անցանկալի։ Իրականում դա այդպես չէ։ Հետևե՛ք երեխաների անմիջական խաղերին․ վերացարկման միտումը գերակշռում է նրանց խաղերում։ Երեխաները չեն վախենում վերացարկումից։

Հրաժարվում ենք փոքրիկ բադիկներից

Ավանդական դասավանդման համար անհրաժեշտ է հաշվելու համար ունենալ մեծ քանակությամբ միանման բադիկներ։

  Մադամ Ֆրեդերիկի դասից ակնհայտ է (և մենք դա բազմիցս ստուգել ենք), որ վեց տարեկան աշակերտները սիրով համաձայնում են, որ կետերով կարելի է ներկայացնել նաև երեխաներին, ինչպես նաև ցանկացած այլ առարկաներ, մասնավորապես (եթե դրա անհրաժեշտությունը կա)՝ հաշվելու ավանդական պարագաները՝ փոքրիկ բադիկներին։

Կետեր պատկերելու փոխարեն փոքրիկ բադիկներ նկարելը անօգուտ փուլ է, որը արգելակում է երեխաների զարգացումը։ Առարկաները կետերով ներկայացնելու եղանակը թույլ է տալիս կիրառել մաթեմատիկական լեզուն։

Կետերը երեխաներ չեն, բայց նրանք պատկերում են երեխաներին։ Որևէ վտանգ չկա ցույց տալով կետը երեխային՝ ասել, որ սա «երեխան» է, որով էլ հենց նշանակել ենք, ճիշտ այնպես, ինչպես մաթեմատիկոսն ասում է a կետը՝ փոխարեն ասելու, որ կետը նշանակում ենք  a տառով։

Ֆրանսիական տարրական դպրոցներում փոքրիկ բադիկները հանդիսանում են հաճախ օգտագործվող հաշվիչ գործիքներ, ինչպես մեզ մոտ հաշվեձողիկներն են։ Հեղինակների համար բադիկներն ավանդական կերպարի նշան են։

Իրավիճակը դառնում է զգալիորեն անորոշ, երբ սկսում են բադիկներ նկարել։ Համաձայնությունը շատ աղոտ  է թվում, երեխաները շփոթում են իրական առարկները և դրանք ներկայացնող պատկեր-նկարները։

Ո՞վ կհամարձակվի ասել, որ թե այս, թե մյուս պատկերները միևնույն բադիկներն են։ Գուցե դրանք երկվորյակ բադիկներ են։

Ավելի է դժվարանում, եթե առարկաները նշանակվում են խաղալիքներով կամ էլ փոքրիկ միանման մեքենաներով։

Նախնական գիտելիքներ

Մադամ Ֆրեդերիկի դասն անցկացվում է պատահականորեն ընտրված դասարանում։ Կարելի է փաստել, որ վեց տարեկան «միջին» աշակերտների մեծամասնությունը կարողանում է հաշվել մինչև տասնհինգը (և հաշվել տասնհինգ առարկաներից բաղկացած բազմությունը)։

Հետևաբար կարելի է հենվել աշակերտների՝ նախքան դպրոց ընդունվելը ձեռք բերած նախնական փորձի վրա։

Վեց տարեկան աշակերտների մեծ մասը լավ պատկերացում ունի բնական թվերի շարքի սկզբնակետի մասին․

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, …

Ակտիվ և պասիվ ձևեր

Ցույց է տալիս իր քրոջը․․․

Ունի քույր․․․

Հարաբերությունը ներկայացված է ակտիվ ձևով։

Պասիվ ձև  — այսինչի, այնիչի  քույրն է (ավելի դժվար  ձև  է):

Սլաքներ

Որպեսզի պատկերեն «ցույց է տալիս իր քրոջը» առնչությունը, աշակերտներն իրենք ինքնաբերաբար առաջարկում են սլաք գծել։

Սլաքը, սխեման, սիմվոլը և վերացական նշանը պատկանում են բոլորին հայտնի  հասկացությունների թվին։

Չէ՞ որ այդ նույն սլաքները կարևոր դեր են խաղում նաև փողոցներում և ճանապարհային երթևեկության մեջ օգտագործվող նշաններում (ցուցանակներում)։ Սա նաև հայտնի փաստերի վրա հիմնված պայմանականությունների հիանալի օրինակ է։ Պարզեցինք, որ աշակերտները հոժարությամբ են կիրառում ճանապարհային նշանների համակարգի կողմից թելադրված պայմանականությունները։

Բոլոր բազմությունները (դեռևս) կարգավորված չեն և միատարր են

Այս հասկացությունը ներմուծվում է յուրահատուկ կերպով։

Հնարավոր չէ տարբերել աղջիկներին և տղաներին, քանի որ «նրանք բոլորը կետեր են»։

Նրանք հետագայում էլ են մնալու որպես կետեր։

«Ցո՛ւյց տուր քրոջդ» առնչությունը  կարգավորում է մի բազմությունը, որը կորցնում է իր միատարրությունը։ Կարելի է ճանաչել մի քանի աղջիկների և նույնիսկ մի քանի տղաների։

Ֆորմալ տեսանկյունից «հակասող ենթադրությունը» օգնում է ճանաչել տղաներին։ Բայց վեց տարեկան աշակերտներն ընդհանուր առմամբ չեն կիրառում նման դատողություն։ Այնուամենայնիվ, այն ընկած է նրանց բացատրությունների հիմքում։ Միևնույն իրավիճակում տասներկու տարեկան աշակերտները կիրառում են «հակասող ենթադրության» մեթոդը։

Սխալ է դատել աշակերտների՝ դատողության ձևերի նկատմամբ վերաբերմունքի մասին՝ սահմանափակվելով նրանց վարքագծի դիտարկմամբ այսպիսի ոչ հստակ սահմանված մաթեմատիկական իրավիճակներում, որոնք երեխաները չեն ըմբռնել։

Այն իրավիճակում, երբ երեխաների բազմությունը կարգավորված է «ունի իր քույրը» առնչությամբ և ներկայացված է գունավոր գրաֆի տեսքով, վեց տարեկան աշակերտները կատարում են ճիշտ եզրահանգումներ, իսկ տասներկու տարեկան աշակերտները կառուցում են դատողությունները ճիշտ ձևակերպմամբ (ֆորմալ տեսքով)։

Եթե իմ մորաքույրն ունենար անիվներ, ապա նա ավտոբուս կլիներ։

Եվ եթե մենք մասնակցեինք վերացական խաղին․․․

Եթե Մարիամը լիներ նկարի կետերից մեկը․․․

Այդ դեպքում ․․․․

Իրավիճակն արդեն եղավ հստակեցված  «․․․քույր․․․» առնչության նկատմամբ։  Նա կմնա բաց ցանկացած մեկ ուրիշ հաջորդող հստակության նկատմամբ։

Եվ ինչո՞ւ ուսուցիչը չօգտվի այդ ազատությունից՝ պատկերացնելով, թե Մարիամն այդ բազմության աղջիկներից մեկն է։ Այս հրաշալի փոխարինումը լուսաբանում է աստիճանական հստակեցման գործընթացը։

Առաջին դասի ընթացքում երեխաները պատմեցին, դիտեցին, մտորեցին, պատասխանը ներկայացրեցին ձեռքի շարժումով, բայց չնկարեցին, բացի Դիդեից․ նա գտավ անհրաժեշտ լուծումը՝ սլաքը։

Հեղինակներ՝ Ֆ․ Պապի և Ժ․ Պապի

Թարգմանիչներ՝ Կարինե Խառատյան և Մանուշակ Աբրահամյան