Մտավոր աշխատանք

Մաթեմատիկական հայտնություն

10-րդ գլուխը

Գլուխ 11

Մարիոտն ասոմ է, որ մարդկային խելքը նման է արկղիկի. մտածելիս թափահարում եք այդ արկղիկը, մինչև դրանից ինչ-որ բան ընկնի: Այսպիսով, կասկած չկա, որ մտածմունքի արդյունքը ինչ-որ չափով կախված է դիպվածից: Ես կավելացնեի, որ մարդկային խելքը ավելի շատ նման է մաղի. մտածելիս տարուբերում եք մաղը, մինչև նրա միջից թափվեն փոքրիկ մասնիկներ: Քանի դեռ նրանք թափվում են, ձեր լարված ուշադրությունը որսում է այն մասնիկները, որոնք թվում են գործի հետ կապ ունեցողներ: Ահա ևս մեկ նմանակում. քաղաքի պարետը գողին բռնելու համար հրամայում է ամբողջ բնակչությանը շարքով անցնել դարպասների մոտով, որտեղ սպասում է կողոպտվածը: Այդ դեպքում, ժամանակը խնայելու և հոգսերը թեթևացնելու համար կարելի է օգտագործել ընտրելու ինչ-որ միջոց: Եթե կողոպտվածը պնդում է, որ գողը տղամարդ էր, ոչ թե կին և, դրանից բացի, մեծահասակ էր, ոչ թե պատանի կամ երեխա, նրանք, ում դա չի վերաբերի, կազատվեն դարպասներով անցնելուց:
Լայբնից Opuscules

§ 1. Ինչպես ենք մտածում

Խնդիր լուծողը պետք է ճանաչի իր խելքը, իսկ մարզիկը՝ իր մարմինը այնպես, ինչպես ժոկեյը՝ իր ձիերին: Կարծում եմ, որ ժոկեյը ձիերին ուսումնասիրում է ոչ թե մաքուր գիտական տեսանկյունից, այլ որպեսզի մրցումների ժամանակ նրանցից ավելի լավ արդյունք ստանա, որ նրան ավելի շատ հետաքրքրում են այն ձիու առանձնահատկությունները և քմահաճույքները, որով ինքը պետք է ելույթ ունենա, քան ձիու, որպես այդպիսին՝ բնախոսությունը և հոգեբանությունը:

Ինչը հիմա սկսելու եք կարդալ, հոգեբանության դասագրքի գլուխ չէ. ճիշտ չէր լինի նաև այն իրենց խելքի առանձնահատկությունների մասին խնդրի լուծումով հետաքրքրվածների զրույց անվանելը, ինչպես ժոկեյները կարող էին քննարկել իրենց ձիերի առանձնահատկությունները. այնուամենայնիվ սա ավելի շատ նման է զրույցի, քան որոշակի փաստերի ձևական շարադրանքի:

§ 2. Խնդիրը լուծելու ձգտումը

Ցանկացած խնդիր լուծելու պրոցեսի էական բաղադրիչը այն լուծելու ցանկությունն է, ձգտումը և վճռականությունը: Խնդիրը, որով ենթադրում եք զբաղվել, որը բավականին լավ եք հասկացել, ամենևին էլ դեռ ձեր խնդիրը չէ: Այն իսկապես դառնում է ձերը, իսկապես գրավում է ձեզ, երբ հաստատ որոշել եք դրանով զբաղվել և ձգտում եք այն լուծել:

Խնդիրը կարող է շատ թե քիչ ձեզ գրավել, այն լուծելու ցանկությունը կարող է ուժգին կամ թույլ լինել: Բայց պնդում եմ, քանի դեռ ցանկությունը չի դարձել շատ ուժեղ, իսկապես դժվար խնդիրը լուծելու ձեր շանսերն աննշան են:

Խնդիրը լուծելու ձգտումը արդեն ինքնին արդյունավետ է, քանի որ, ի վերջո, կարող է հասցնել լուծմանը և, անկասկած, կխթանի ձեր միտքը:

§ 3. Մտածողության ուղղվածությունը

Ինչ-որ խնդրով կարող եք «գերվել», բառի բուն իմաստով. խնդիրը ձեզ «գերի է վերցնում», չեք կարողանում ազատվել նրանից, ամենուր ձեզ հետապնդում է:

Երբեմն խնդիրն այնքան է համակում լուծողին, որ նա դառնում է ցրված, դադարում է հասկանալուց այն, ինչը շրջապատի համար ակնհայտ է, մոռանում է բաներ, որ ոչ մեկը երբևէ չի մոռանում: Նյուտոնը, լարված աշխատելով իր խնդիրների վրա, հաճախ մոռանում էր ճաշել:

Իսկապես, խնդիրը լուծողի ուշադրությունն ընտրողական է: Այն հրաժարվում է կանգ առնելուց այն իրերի վրա, որոնք թվում են խնդրի հետ կապ չունեցող, և հեռվից նկատում է մանրուքները, որոնք խնդրի հետ կապ ունեն: Սա ուղղորդված, «տագնապահույզ» ուշադրություն է, ինչպես արտահայտվել է Լեյբնիցը:

§ 4. Լուծման մոտիկությունը

Սովորողը մաթեմատիկայից գրավոր քննություն է հանձնում: Նրանից չեն պահանջում լուծել առաջդրած բոլոր խնդիրները, բայց պետք է հնարավոր շատ թվով խնդիր լուծի: Այդ պայմաններում լավագույն ռազմավարությունը գուցե հետևյալն է՝ արագ աչքի անցկացնել բոլոր խնդիրները և ընտրել նրանք, որոնք ավելի հասանելի են թվում:

Ընդ որում, ենթադրվում է, որ սովորղը կարող է ինչ-որ չափով գնահատել խնդրի դժվարությունը, որ կարող է ինչ-որ չափով «գնահատել հոգեբանական հեռավորությունը», որը նրան բաժանում է խնդրի լուծումից: Իրականում, ինչ-որ խնդրով լրջորեն զբաղվող մարդը պետք է հստակ զգա լուծման մոտիկությունը և դեպի վերջնական նպատակը իր շարժման արագությունը: Հնարավոր է, որ նա բառերով չի ասում, բայց որոշակիորեն զգում է. «գործերը լավ են գնում, լուծումը մոտերքում է», կամ «շատ դանդաղ է գնում, շատ հեռու է մինչև լուծումը», կամ «բթացել եմ, ոչ մի առաջընթաց», «ուրիշ կողմ եմ թեքվել և հեռանում եմ լուծումից»:

§ 5. Կանխատեսում

Հենց սկսում ենք լրջորեն զբաղվել որևէ խնդրով, ինչ-որ բան մեզ ստիպում է գուշակել շարունակությունը, փորձում ենք կանխատեսել, թե հետագայում ինչ կլինի՝ սպասում ենք ինչ-որ բանի, ձգտում ենք կռահել լուծման ուրվագիծը: Այդ ուրվագիծը կարող է քիչ թե շատ աղոտ լինել, կարող է ինչ-որ չափով սխալ լինել, չնայած իրականում այնքան էլ հաճախ չի լինում շատ սխալ:

Բոլոր խնդիր լուծողներն ստիպված են լինում կռահումներ կառուցել կամ ենթադրություններ անել, սակայն միամիտ խնդիր լուծողի և լրջմիտ մարդու կռահումների միջև տարբերություն կա:

Պարզամիտ մարդը սպասում է մտքի պայծառացման՝ ծոծրակը քորելով կամ մատիտը կրծելով, հուսալով, որ փայլուն գաղափար կգա՝ նա շատ քիչ բան է անում (կամ նույնիսկ ոչինչ չի անում) այդ գալուստն արագացնելու համար: Իսկ երբ ցանկալի գաղափարը հայտնվում է և բերում է ճշմարտանման կռահումը, նա անմիջապես բռնում է դրանից՝ գրեթե (կամ բոլորովին) առանց քննադատության ընդունելով այն որպես պատրաստի լուծում:

Իսկ խոհուն մարդը իր կռահումներին թերահավատորեն է վերաբերում: Նրա սկզբնական կռահումը կարող է լինել. «Դրանցից կա 25-ը», կամ «Նրան ասեմ այս կամ այն»: Բայց դրանից անմիջապես հետո ստուգում է իր ենթադրությունը և կարող է փոխել այն. «Չէ, 25 չէ, արի 30-ը փորձեմ», կամ «Չէ: Նրան այսպես ասելն իմաստ չունի, քանի որ կարող է առարկել այսպես և այսպես: Բայց այդ դեպքում էլ ես կարող եմ այսպես ասել…»: «Փորձի և սխալի» այս ճանապարհով գնալով, օգտվելով հաջորդական մոտարկումներից՝ խնդիր լուծողը կարող է ի վերջո մոտենալ ճիշտ լուծմանը, ընտրել լուծման համապատասխան ծրագիր:

Ավելի խոհուն և փորձառու խնդիր լուծողը, երբ նրան չի հաջողվում ստանալ ամբողջական լուծումը, փորձում է կռահել նրա ինչ-որ մասը, ինչ-որ բնորոշ կողմը, լուծման ինչ-որ մոտարկում կամ գոնե այդ մոտարկման ինչ-որ մանրամասն: Հետո նա փորձում է ընդարձակել իր ենթադրությունները՝ միաժամանակ փնտրելով այն ստուգելու հնարավորություններ. այսպիսով նա ձգտում է իր ենթադրությունը համապատասխանեցնել առավել լրիվ տվյալներին, որոնց տիրապետւմ խնդրի լուծման տվյալ փուլում:

Ինչպես քիչ փորձառու, այնպես էլ ավելի փորձառու խնդիր լուծողը, անկասկած, կցանկանար իսկապես լավ ենթադրության հանգել, իսկապես արգասաբեր գաղափար առաջ քաշել:

Եվ նրանցից յուրաքանչյուրը կցանականար իմանալ, թե ինչքան շանս ունի, թե իր ենթադրությունը ճիշտ է: Այդ շանսերը չեն կարող ճշգրիտ գնահատվել (և այստեղ դրանք գնահատելու վիճահարույց հնարավորությունը քննարկելու տեղը չէ): Սակայն շատ դեպքերում խնդիր լուծողը կարող է որոշակի զգացողություն ունենալ իր ենթադրության հեռանկարայնության մասին: Նույնիսկ շատ միամիտ մարդը, որ չգիտի, թե ինչ է ապացույցը, կարող է իր ենթադրությունհ ուժեղ զգալ, խոհուն մարդը կարող է տարբերել իր զգացողությունների նրբերանգները. բայց ով էլ լինի ենթադրության հեղինակը, նա միշտ ինչ-որ պատկերացում կունենա դրա ճակատագրի մասին: Այսպիսով, այն բանի զգացողության կողքին, թե ինչն է դիտարկվող խնդրին վերաբերում և ինչը՝ չի վերաբերում, խնդրի լուծման մոտիկության զգացողության կողքին, նշում ենք խնդիրը լուծողի մտածողությունում մեկ այլ տեսակի զգացողության գոյություն՝ կանխատեսություն:

Այս դատողությունը կապ ունի՞ խնդրի հետ: Հեռո՞ւ է մինչ լուծումը: Որքա՞ն լավն է այս ենթադրությունը: Այսպիսի հարցերը խնդիրը լուծողին ուղեկցում են ամեն քայլին. նրանք ավելի շատ զգացվում են, քան ձևակերպվում են բացահայտորեն, և դրանց պատասխաններն էլ ավելի շատ զգացվում են, քան արտահայտվում են: Ուղղորդո՞ւմ են նման հարցերը խնդիրը լուծողի գործողությունները, թե՞ միայն ուղեկցում են: Դրանք պատճա՞ռ են, թե՞ միայն հայտանիշ: Սա ինձ հայտնի չէ, բայց գիտեմ, եթե նման զգացողություններ չեն առաջանում, ուրեմն դեռ իսկապես չեք հետաքրքրվել ձեր խնդրով:

§ 6. Փնտրտուքի շրջան

Ես հազվադեպ եմ բաժանվում իմ ձեռքի ժամացույցից, բայց երբ պատահում է, ամեն անգամ հոգս է դառնում այն գտնելը: Դրանք կորցնելով, սովորության համաձայն, սկսում եմ փնտրել լրիվ որոշակի տեղում՝ իմ գրասեղանին կամ որևէ դարակի վրա, որտեղ սովորաբար դնում եմ իմ մանր առարկաները, կամ մի երրորդ տեղում, եթե հաջողվում է հիշել, որ ժամացույցը հանել եմ հենց այդտեղ:

Նման վարքը տիպական է: Հենց լրջորեն հետաքրքվում ենք մեր խնդրով, ձգտում ենք ուրվագծել, թե որտեղ պետք է փնտրել դրա լուծումը: Այդ ուրվագիծը կարող շատ անորոշ լինել, կարող է լինել գրեթե աննշմարելի, բայց հենց նա է որոշում մեր հետագա գործողությունները: Իհարկե, լուծման փորձերը կարող են տարբեր լինել, բայց ըստ էության դրանք նման են միմյանց, դրանք բոլորը ընկած են նախորոք նշված (հնարավոր է՝ ոչ լրիվորեն գիտակցված) ուրվագծում: Եթե լուծման փորձերից ոչ մեկը արդյունք չի տալիս, վհատվում ենք, մտքներիս ուրիշ բան չի գալիս. ի վիճակի չենք լինում ուրվագծից դուրս գալու: Չէ՞ որ մենք ոչ թե ինչ-որ լուծում ենք փնտրում, այլ շատ որոշակի լուծում, լուծում, որը պետք է գտնվի մեր սահմանափակ ուրվագծում: Լուծումը չենք փնտրում ամբողջ աշխարհով, այլ փնտրտուքի սահմանափակ տիրույթում: Այսպիսով, կարծես խելամիտ է լուծման փնտրտուքը սկսել ինչ-որ կերպ սահմանափակված տիրությում: Երբ փորձում եմ գտնել կորած ժամացույցը, խելամիտ է այն փնտրել, իհարկե, ոչ ամբողջ տիեզերքում, կամ քաղաքում ինչ-որ տեղ, կամ տանը ինչ-որ տեղ, այլ հատկապես գրասեղանի վրա, որտեղ մի անգամ չէ, որ գտել եմ անցյալում: Անկասկած նպատակահարմար է անհայտի փնտրտուքը սկսել սահմանափակ տիրույթում, բայց խելացի չէ համառել և շարունակել փնտրել այնտեղ, երբ ավելի ու ավելի պարզ է դառնում, որ այդ տիրույթում լուծում չկա:

§ 7. Միջանկյալ լուծումներ

Խնդիրը լուծելու պրոցեսը կարող է հայեցողական բնույթ ունենալ. ոչ բավարար չափով ունակ մարդկանց համար այն երբեմն դառնում է անպտուղ թուխս նստելու պես մի բան: Իսկ երբեմն այն կարելի է համեմատել դեպի նպատակը տանող երկար, ոլորապտույտ, լարված ճանապարհի հետ, որի յուրաքանչյուր շրջադարձը նշվում է այս կամ այն միջանկյալ որոշումը կայացնելով: Այդ միջանկյալ լուծումները հուշվում են (կամ, հնարավոր է, միայն ուղեկցվում են) այն բանի զգացումով, ինչը վերաբերում է և ինչը չի վերաբերում խնդրին, լուծման մոտիկության սպասումով, հույսի աճով կամ նվազումով: Իր միջանկյալ լուծումները և հանկարծակի առաջացող զգացողությունները խնդիր լուծողը հազվադեպ է բառերով ձևակերպում, բայց երբեմն պատահում է.
«Ապա մի այստեղ նայիր»:
«Չէ, այստեղ հազիվ թե նայելու բան կա: Ավելի լավ է փորձեմ այն կողմը նայել»:
«Այստեղ էլ շատ բան չես տեսնի, բայց օդում ինչ-որ հոտ կա: Փորձեմ ավելի մոտիկից նայել»:

Միջանկյալ լուծման կարևոր տեսակներից մեկը փնտրտուքի տիրույթը մեծացնելու որոշումն է, սահմանափակումը հանելը, որի նեղությունը սկսել է ճնշել:

§ 8. Մոբիլիզացիա և կազմակերպում

Մենք քիչ բան գիտենք խնդիր լուծողի մտավոր գործունեության առանձնահատկությունների մասին: Այդ գործունեության բարդությունը կարող է չափելի չլինել, բայց դրա մի կողմը լրիվ պարզ է՝ խնդիրը լուծողը առաջ գնալուն զուգընթաց ուսումնասիրովող օբյեկտի մասին ավելի ու ավելի շատ տվյալներ է կուտակում: Փորձենք համեմատել խնդիրը լուծողի հայացքը մաթեմատիկական խնդրին սկզբում և վերջում: Երբ խնդիրը դեռ նոր է, պատկերը պարզ է. խնդիրը լուծողը դա տեսնում է առանձին՝ կա՛մ առանց մանրամասների, կա՛մ շատ քիչ մանրամասներով, հնարավոր է, որ տարբերում է միայն գլխավոր մասերը՝ անհայտը, տվյալները և պայմանները, կամ նախադրյալը և եզրակացությունը: Վերջում նրա տեսած պատկերը բոլորովին այլ է՝ այն բարդ է, լրացուցիչ այնպիսի մանրամասներ և մանրուքներ ունի, որոնց կապի մասին խնդրի հետ սկզբում չէր էլ մտածում: Սկզբնական, մանրուքներից զուրկ պատկերի վրա լրացուցիչ գծեր հայտնվեցին, լրացուցիչ անհայտներ ներմուծվեցին, օգտագործվեց գիտելիք, որը խնդիր լուծողը անցյալում էր ձեռք բերել՝ հիմնականում դրանք դիտարկվող խնդրի հետ կապ ունեցող թեորեմներ են: Խնդիրը լուծողը սկզբում, երբ դեռ նոր էր սկսում խնդիրը լուծել, չէր կարող կանխատեսել, որ հենց այդ թեորեմները իրեն օգտակար կլինեն:

Որտեղի՞ց են վերցվում այդ բոլոր նյութերը, օժանդակ տարրերը, թեորեմները և այլն: Խնդիրը լուծողը դրանք իր հիշողությունում կուտակել է, և մնում է այնտեղից հանել և իր խնդրի համար նպատակասլաց օգտագործել դրանք: Տեղեկությունների այդպիսի ներգրավումն կանվանենք մոբիլիզացիա, իսկ դրանց հարմարեցնելը լուծվող խնդրին՝ կազմակերպում:

Խնդիր լուծելու պրոցեսը նման է տան շինարարությանը: Սկզբում պետք է հավաքել անհրաժեշտ նյութերը, ինչը ինքնին դեռ բավարար չէ. քարերի կույտը դեռ տուն չէ: Տուն կառուցելու կամ խնդիրը լուծելու համար պետք է մասերը մեկտեղել և կազմակերպել որպես մեկ ամբողջություն, ինչին ձգտում ենք:

Գործնականում մոբիլիզացիան հնարավոր չէ անջատել կազմակերպումից. նրանք լրացնում են մեկը մյուսին, ինչպես միասնական բարդ պրոցեսի տեսանկյուններ՝ մտավոր աշխատանքի պրոցես, որի վերջնական նպատակը խնդիրը լուծելն է: Այս աշխատանքը, եթե այն ջանասիրաբար է արվում, գործի մեջ է դնում մեր բոլոր նյութական ռեսուրսները, պահանջում մեր մտավոր ողջ կարողությունների կիրառությունը և իր մեջ բազում տեսանկյուններ է պարունակում: Թերևս այստեղ տրվենք գայթակղությանը և մտավոր աշխատանքի տարրեր հանդիսացող մտավոր գործողությունների բազմությունից առանձնացնենք որոշները և դրանք նկարագրենք այնպիսի տերմիններով, ինչպիսիք են մեկուսացում և համակցություն, ճանաչում և մտաբերում, վերախմբավորում և լրացում:

Հաջորդ պարագրաֆներում այդ գործողությունները նկարագրելու փորձ է արվում: Իհարկե, ընթերցողն այստեղ չպետք է ակնկալի հասկացությունների միջև հստակ տարբերություններ կամ խիստ և սպառիչ սահմանումներ:

§ 9. Ճանաչելը և մտաբերելը

Խնդիր լուծելիս շատ ենք ուրախանում, երբ հաջողվում է ինչ-որ ծանոթ տարր ճանաչել: Այսպես, օրինակ, երկրաչափական պատկերը ուսումնասիրելիս կարող ենք գտնել մինչ այդ չնկատված եռանկյուն կամ նման եռանկյունների զույգ կամ ուրիշ ինչ-որ լավ ծանոթ ուրվանկար: Հանրահաշվական բանաձևը ուսումնասիրելիս կարող ենք նկատել լրիվ քառակուսի կամ մեկ այլ ծանոթ զուգորդություն: Իհարկե, կարող է ավելի բարդ իրավիճակ հանդիպել, որը ճանաչելը շատ օգտակար կլիներ. հնարավոր է, որ չգիտենք էլ, թե ինչպես պետք այն անվանենք, և դեռ չունենք ձևական սահմանումը, բայց այն զարմանալիորեն ծանոթ և կարևոր է թվում:

Եթե ուսումնասիրվող պատկերի վրա հաջողվել է որևէ եռանկյուն ճանաչել, բավարարվածություն զգալու բավականին հինք կունենանք: Իսկապես, եռանկյունների մասին մի քանի թեորեմ գիտենք, եռանկյունների մասին տարբեր խնդիրներ ենք լուծել, և հնարավոր է, որ այս կամ այն ծանոթ թեորեմը կամ մինչ այդ գտած լուծումներից մեկը օգտակար լինեն նաև դիտարկվող խնդրի համար: Նկատելով, ճանաչելով այդ եռանկյունը, դրանով կապ ենք հաստատում նախօրոք ձեռք բերած գիտելիքի լայն շրջանի հետ, որի մասերից մեկը տվյալ պահին կարող է օգտակար լինել: Այսպիսով, ընդհանրապես ասած, ճանաչելը կարող է մեզ խթանել խնդիրը լուծելու համար ինչ-որ օգտակար բան մտաբերելու, ուսումնասիրվող հարցի հետ կապ ունեցող տվյալներ հավաքագրելու:

§ 10. Համալրում և վերախմբավորում

Դիցուք պատկերի վրա եռանկյուն ենք նկատել, և հաջողվել է եռանկյունների մասին թեորեմ հիշել, որը մի որոշ շանս ունի դիտարկվող դեպքում օգտակար լինելու: Այնուհետև, ենթադրենք, որ գործնականում այդ թեորեմը կիրառելու հնարավորություն ունենալու համար հարկ կլինի այդ եռանկյան մեջ օժանդակ ինչ-որ գծեր տանել, օրինակ՝ բարձրություն: Մեր կողմից ակտիվացված հնարավոր օգտակար տարրերը, միանալով խնդրի մեր տեսակետին, կարող են, ընդհանրապես ասած, այն հարստացնել, տալ ավելի ավարտուն տեսք, վերացնել բաց տեղերը, վերացնել թերությունները, մի խոսքով՝ համալրել այն:

Նման համալրումը խնդրի ընկալման մեջ նոր նյութ է բերում և նրա կազմակերպման հարցում կարևոր քայլ է: Սակայն, երբեմն հաջողվում է զգալի հաջողության հասնել խնդրի լուծման կազմակերպման հարցում առանց նոր նյութ ավելացնելու՝ միայն տրամադրության տակ եղած տարրերի դասավորվածությունը փոխելու միջոցով, նոր դասավորվածությում նրանց միջև հարաբերակցությունները ուսումնասիրելով, նրանց տեղափոխության կամ վերախմբավորման ճանապարհով: Տարրերը վերախմբավորելով՝ փոխում ենք խնդրի մեր ընկալման «կառուցվածքը»: Այսպիսով, վերախմբավորումը նշանակում է կառուցվածքի փոփոխություն:

Մեր դատողություններն ավելի կոնկրետ շարադրենք: Երկրաչափական խնդրի լուծման տանող բանալի կարող է լինել օժանդակ գծի կառուցումը: Բայց երբեմն վճռական քայլը կարելի է անել և առանց որևէ նոր գիծ տանելու, սահմանափակվելով արդեն եղածով, բայց դրանք այլ կերպ դիտարկելով: Այսպես, օրինակ, կարող ենք նկատել, որ ուղիղներից մի քանիսը նման եռանկյուններ են կազմում: Դիտարկելով նման ծանոթ փոխդասավորություն՝ հայտնաբերում ենք նրա տարրերի միջև մինչ այդ չնկատված հարաբերակցություններ, դրանք տեսնում ենք այլ կերպ խմբավորելով, ամրագրում նոր կառուցվածք, տեսնում պատկերը ավելի կազմակերպված, ավելի ներդաշնակ, ավելի հեռանկարային ամբողջություն. խնդրի նյութին նոր ձև ենք տալիս:

Վերախմբավորումը կարող է առաջ բերել խնդրի մեր ընկալման փոփոխություն: Նախքան վերախմբավորումը առաջին պլանում եղած տարրերը և առնչությունները կարող են իրենց արտոնյալ տեղը զիջել և անցնել ետին պլան. նրանք կարող են այնքան հեռու նահանջել, որ գործնականորեն բացակայեն խնդրի լուծման մեջ: Խնդրի լուծման պրոցեսի ավելի լավ կազմակերպման համար պետք է ժամանակ առ ժամանակ ինչ-որ բաներ դեն նետենք, որոնք քիչ առաջ համարվում էին գործին վերաբերող: Սակայն, ընդհանրապես ասած, ավելի շատ ավելացնում ենք, քան դեն նետում:

§11. Մեկուսացում և համակցում

Բարդ ամբողջությունը ուսումնասիրելիս մեր ուշադրությունը կարող է գրավել մեկ այս, մեկ այն մանրուքը: Կենտրոնանում ենք ինչ-որ որոշակի մանրուքի վրա, նրա վրա սևեռում մեր ուշադրությունը, շեշտադրում ենք այն, առանձնացնում իր շրջապատից, մի խոսքով՝ մեկուսացնում ենք: Հետո լուսային բիծը տեղափոխվում է և առանձնացնում մեկ ուրիշ մանրուք. նոր մանրուք ենք առանձնացնում և այլն:

Այն բանից հետո, երբ մի քանի մանրուքներ ուսումնասիրել ենք և կատարել ենք դրանց համապատասխան վերագնահատումը, պահանջ է առաջանում նորից ամբողջը մեկտեղելու: Իսկապես, առանձին մասերի վերագնահատումից հետո «ամբողջի պատկերը» կարող է փոխվել: Մի քանի մասերի դերի վերագնահատման համակցված էֆեկտը կարող է ընդհանուր իրավիճակի մտավոր նոր պատկերի փոխվել, նոր՝ բոլոր մասերի ավելի ներդաշնակ համակցման:

Մեկուսացումը և համակցումը իրար լրացնելով կարող են առաջ տանել խնդրի լուծման ընթացքը: Մասերն առանձնացնելը հանգում է ամբողջը մասերի բաժանալուն, իսկ դրանց հետագա համակցումը նորից մասերը միավորում է մեկ ամբողջությունում՝ սկզբնականից շատ թե քիչ տարբերվող: Ամբողջականը մասերի տրոհելով, հետո դրանք իրար հետ այլ կերպ միացնելով, հետո՝ նորից տրոհելով և այլ կերպ միավորելով, ստիպում ենք, որ խնդրի մեր ընկալումը աստիճանաբար զարգանա՝ անցնելով ավելի հեռանկարային վիճակի:

§ 12. Դիագրամ

Նախորդ պարագրաֆներում շարադրված դատողությունների գրաֆիկական ամփոփումը բերված է նկարում (բնագրում՝ նկար 41): Այս ուրվագծի օգտակարության գնահատականը թողնում ենք ընթերցողին: Ինը տերմինները դասավորված են քառակուսու տեսքով՝ մեկը կենտրոնում է, չորսը՝ չորս գագաթներում, և մնացած չորսը գրված են քառակուսու կողմերին:

Մոբիլիզացիան և կազմակերպումը պատկերված են քառակուսու նույն անկյունագծի (հորիզոնական) ծայրերին, քանի որ այս գործողությունները մեկը մյուսին լրացնում են: Մոբիլիզացիան մեր հիշողությունից հանում է գործի հետ առնչվող տարրեր, իսկ կազմակերպումը դրանք նպատակաուղղված ձևով կապում է իրար:

Մեկուսացումը և համակցումը պատկերված են մյուս անկյունագծի ծայրակետերի տեսքով, քանի որ գործնականում այս գործողությունները միմյանց լրացնում են: Մեկուսացումը մասը առանձնացնում է շրջապատող ամբողջությունից, համակցումը ցրված մասերը վերահավաքում է իմաստալից ամբողջությունում:

Մոբիլիզացիային հատկացված գագաթից ելնող կողմերին նշված են «ճանաչեք» և «հիշեք», քանի որ խնդրին առնչվող տարրերի մոբիալիզացիան գործնականում հաճախ սկսվում է խնդրում պարունակվող որոշակի տարրը ճանաչելուց, և վերջանում է նրա հետ կապված և արդեն ծանոթ ուրիշ տարրեր հիշելով:

Կազմակերպմանը հատկացված գագաթներից ելնող կողմերին նշված են «լրացրեք» և «վերախմբավորեք», քանի որ գործնականում կազմակերպումը նշանակում է խնդրի մեր ընկալման լրացում, որոշակի ավարտուն տեսքի բերում՝ նոր տարրեր ավելացնելով և բացթողումները վերացնելով. նաև նշանակում է վերախմբավորում, վերակառուցում խնդրի մեր ամբողջ պատկերացումում:

Կարդալով քառակուսու կողմերին գրված տերմինները ձախից աջ՝ մոբիլիզացված մասերից անցնում ենք կազմակերպված ամբողջին. խնամքով առանձնացված և մեր ուշադրության կիզակետում տեղադրված, հենց նոր ճանաչված մասը կարող է ամբողջ խնդրի ըմբռնումը փոխել: Ճիշտ նույն ձևով էլ մասը, որը մեզ հաջողվել է հիշել, և որը օգտակար է համակցման համար, հարստացնում է խնդրի մեր ընկալումը և լրացնում ամբողջը:

Խնդիրը լուծելու ընթացքում պայծառացումը մեր գործունեության կենտրոնն է, դրա համար էլ տեղադրված է մեր սիմվոլիկ քառակուսու կենտրոնում: Մենք շարժվում ենք մոբիլիզացնելով և կազմակերպելով, մեկուսացնելով և համախմբելով, ճանաչելով և հիշելով տարբեր տեսակի տարրեր, վերախմբավորելով և լրացնելով խնդրի մեր ընկալումը, ձգտելով կանխատեսել լուծումը կամ նրա ինչ-որ բնորոշ գիծը, կամ դեպի այն տանող ճանապարհի հատվածը: Եթե կանխատեսումը կամ պայծառացումը հանկարծակի են լինում, բռնկումի նման, այն անվանում ենք ոգեշնչում կամ փայլուն գաղափար. այդպիսի գաղափար ունենալը մեր ամենանվիրական ցանկությունն է:

Նկար 41-ում պատկերված մտավոր գործողություններն ավելի որոշակի ձևեր են ընդունում, երբ դրանք դիտարկում ենք ինչ-որ կոնկրետ նյութի դեպքում: Հիմա կթվարկենք մտավոր չորս գործողություններ, որոնք համապատասխանում են մեր քառակուսու չորս կողմերին, և որոնք կարևոր նշանակություն ունեն մաթեմատիկական խնդիր լուծելիս:

Մի հանգամանք էլ նշենք: Խնդիր լուծողի ընթացքն ուղեկցվում է գործողությունների ուղղվածության զգացումով, լուծման մոտ լինելու զգացումով, իր կռահումների հաջողությունը բնութագրող զգացումներով: Այս հարցը քննարկելով՝ միաժամանակ նշեցինք, որ ավելի խոհուն մարդիկ աչքի են ընկնում ավելի տարբերակված զգացողություններով: Չէի ցանկանա այստեղ լռության մատնել մի, ավելի շուտ մտահայեցական դիտարկում՝ այդ զգացողությունների որոշ նրբերանգներ կարող են կապված լինել նկար 41-ում պատկերված մտավոր գործողությունների հետ:

Ուրախանում ենք, երբ խնդրի մեր ընկալումը լինում է լավ հավասարակշռված և ներդաշնակ, երբ այն պարունակում է բոլոր անհրաժեշտ տարրերը, ընդ որում միայն քաջ ծանոթ տարրեր: Եթե ներդաշնակ ամբողջականում հանդիպում է տարրերի մեծ բազմազանություն, խնդրի լուծման գաղափարը մոտ է թվում: Այդ տերմիններն օգտագործելով՝ ինձ թվում է, արտահայտում ենք, որ վերևում դիտարկված այս կամ այն գործողությունները գործը հաջողությամբ առաջ են տանում կամ նույնիսկ հասցնում են նպատակին:

Խնդրի մեր ընկալումը թվում է լավ հավասարակշռված, եթե նրա տարրերի վերախմբավորման անհրաժեշտություն չի զգացվում, այն թվում է ներքին համաձայնեցված, եթե պետք է մանրուքները հիշել, եթե նրանցից մեկը հեշտությամբ հիշողության մեջ արթնացնում է մյուսը: Եթե անհրաժեշտություն չկա խնդրի ընկալումը լրացնելու, այն մեզ ավարտուն է թվում. եթե բոլոր մասերը ճանաչված են, այն թվում է ծանոթ և մոտիկ: Մասերի ընկալման հստակությունը ապահովվում է նրանց նախնական մեկուսացումով և նրանցից յուրաքանչյուրի վրա ուշադրության կոնտրոնացումով, իսկ ընկալման ներդաշնակությունը մասերի հաջող համակցման արդյունք է: Ասում ենք, որ գաղափարը մոտ է, երբ զգում ենք վստահ առաջընթաց դեպի այն, ինչը անվանում ենք պայծառացում:

Նկատի ունենալով համակարգել հաջող առաջընթացի այդ բարենպաստ հայտանիշները՝ դրանք ուրվագծում տեղադրենք այնպես, որ նրանց փոխադարձ դասավորությունը լինի նույնպիսին, ինչպես համապատասխան տերմիններինը՝ նկար 41-ում պատկերված քառակուսու վրա: Այսպիսով, մեր յոթ տերմինները տեղադրում ենք այնպես, ինչպես տեղադրված են քառակուսու չորս կողմերը և երեք կարևոր կետերը ուղղաձիգ անկյունագծի վրա: Ահա այդ ուրվագիծը.

§ 13. Մասը հուշում է ամբողջը

Փողոցում կողքովս մի տղա անցավ՝ ինչ-որ մեղեդի սուլելով: Ես հասցրի լսել մեղեդու միայն մի երկու տակտ, որը ինձ դուր է գալիս, բայց վաղուց չէի լսել: Եվ հանկարծ այդ երաժշտությունը՝ հիշողությամբ լրացված, դուրս մղեց գլուխս լցրած բոլոր հոգսերը և դատարկ մտքերը:

Նկարագրված փոքրիկ դրվագը «մտքերի զուգորդության» լավ ցուցադրություն է, երևույթ, որը նկարագրել է դեռ Արիստոտելը, իսկ նրանից հետո՝ շատ այլ հեղինակներ: Այս երևույթի լավ նկարագրություն ունի Բրեդլին*. «Մտքի վիճակի առանձին վերցրած յուրաքանչյուր մասը վերարտադրվելով՝ ձգտում է վերականգնել ամբողջը»: Այսպես, մեր դեպքում մի տակտը սկզբում մեղեդու մասին ընդհանուր տպավորություն առաջացրեց, իսկ հետո, աստիճանաբար, վերականգնեց մնացած բոլոր տակտերը: Ահա մտքերի զուգորդության էլի մեկ բնութագրիչ, որում, ճիշտ է, բացակայում են մանրամասնությունները, բայց հեշտ է հիշելը. «Մասը հուշում է ամբողջը»: Պայմանավորվենք, որ այս կարճ արտահատությունը կհամարենք Բրեդլիի ավելի ճշգրիտ ձևակերպման հարմար համառոտումը:

Ուշադրություն դարձրեք կարևոր բառերին՝ «ձգտում է» և «հուշում է»:

Հիմնավորում։ «Մասը հուշում է ամբողջը», «Մասը ձգտում է վերականգնել ամբողջը», «Մասի միջոցով ամբողջը վերկանգնելու հույս կա» պնդումները կարող են ընդունելի համարվել, բայց «Մասը վերականգնում է ամբողջը» արտահայտությունը բոլորովին ընդունելի չէ «զուգորդության օրենքը» արտահայտելու համար, քանի որ այդ օրենքը արտահայտում է ոչ թե ամբողջը վերականգնելու պնդումը, այլ միայն հույսը, հնարավորությունը, միտումը: Մեզ նաև ինչ- որ բան հայտնի է այդ միտումի մասին՝ եթե մասը դրվում է ուշադրության կենտրոնում, ավելի արդյունավետ է միտք հղացնում ամբողջի մասին, մի քանի մասերի ամբողջությունը ավելի արդյունավետ է հուշում ամբողջը, քան յուրաքանչյուր մասը առանձին վերցրած: Այս լրացումները շատ կարևոր են խնդիր լուծողի մտավոր գործունեության մեջ զուգորդությունների դերը հասկանալու համար:

Մի շատ սխեմատիկ դեպք դիտարկենք: Մաթեմատիկական մի խնդիր կարող է հեշտությամբ լուծվել վճռորոշ նշանակություն ունեցող D թեորեմի միջոցով, մինչդեռ առանց այդ թեորեմն օգտագործելու խնդիրը շատ դժվար է լուծվում: Սկզբում խնդիրը լուծողը նույնիսկ չի էլ կասկածում, որ D թեորեմը ինչ-որ կապ ունի իր խնդրի հետ, չնայած բավականին լավ ծանոթ է այդ թեորեմին: Ինչպե՞ս խնդիրը լուծողը կարող է գլխի ընկնել, որ D թեորեմը վճռորոշ դեր ունի: Կարող են տարբեր դեպքեր լինել:

Համեմատաբար պարզ է այն դեպքը, երբ առաջադրված խնդիրը և թեորեմը ընդհանուր բաղկացուցիչ ունեն: Սկզբում փորձելով մեկը, հետո՝ մյուսը, խնդիր լուծողը գտնում է այդ բաղկացուցիչը, առանձնացնում է և ուշադրությունը սևեռում դրան. արդյունքում նա հնարավորություն է ստանում մասով հիշելու կամ «վերկագնելու» ամբողջ D թեորեմը:

Պակաս պարզ դեպք է, երբ խնդիրը` իր սկզբնական ձևակերպմամբ և վճռորոշ նշանակություն ունեցող թեորեմը ընդհանուր բաղկացուցիչ չունեն: Այդ դեպքում կարող է մեկ ուրիշ C թեորեմ էլ լինել՝ խնդիրը լուծողին հայտնի, որը մի բաղադրիչ ունի խնդրի հետ ընդհանուր և մի բաղադրիչ էլ D թեորեմի հետ ընդհանուր. այդ դեպքում խնդիրը լուծողը կարող է հասնել D թեորեմին՝ սկզբում շփվելով C թեորեմի հետ, իսկ հետո՝ անցնելով C թեորեմին:

Պարզ է, որ զուգորդությունների շղթան կարող է ավելի երկար լինել՝ առաջադրված խնդիրը, կարող է նման «զուգորդական հարաբերության» մեջ լինել A-ի հետ, A-ն՝ B-ի հետ, B-ն՝ C –ի հետ և, վերջապես, C-ն՝ D-ի հետ: Որքան շղթան երկար է, այնքան երկար պետք է խնդիրը լուծողը «թափահարի արկղիկը» կամ «մաղի» մինչև, ի վերջո, պահանջված D թեորեմը ընկնի:

Արկղի թափահարելը կամ մաղի տարուբերելը կարելի է դիտարկել որպես խնդիր լուծողի մտավոր գործունեությունը նկարագրելու փոխաբերական եղանակ: Նախորդ պարագրաֆներում, որոնց բովանդակությունը ամփոփված է նկար 41-ում, փորձել ենք այդ գործունեությունը պակաս փոխաբերական մեկնաբանել: Դա նշված գործունեության տարբեր տեսակների բավականին ճշմարտանման մեկնաբանություն էր. դրանց միջոցով խնդիր լուծողը փորձում է անհրաժեշտ շփումները հաստատել զուգորդությունների միջոցով:

Իսկապես, ճանաչելով տարրը, խնդիրը լուծողը այն ընգրկում է դատողություններում, որոնց հետ այդ տարրը սերտ հարաբերություն ունի զուգորդությունների միջոցով: Խնդրի ընկալմանը միացած յուրաքանչյուր նոր ընդգրկված տարր, խնդիրը լուծողին հնարավորություն է տալիս ուրիշ տարրեր ընդգրկելու, որոնց հետ ինքը հարաբերվում է զուգորդություններով: Երբ խնդիր լուծողը առանձնացնում է որևէ տարր և նրա վրա կենտրոնացնում իր ուշադրությունը, մեծ հնարավորություն կա, որ դրանով նույն տեսակի այլ տարրեր կընդգրկվեն: Վերախմբավորումը կարող է մոտեցնել տարրեր, որոնք իրենց ամբողջությամբ կարող են զուգորդության միջոցով շատ ավելին ընդգրկել, քան տարրերից յուրաքանչյուրը առանձին:

Սակայն դժվար կլիներ խնդիր լուծողի գլխում ընթացող մտածողական պրոցեսները բացատրել միայն զուգորդություններով. զուգորդական փոխառումների կողքին պետք է լինի և այլ բան, որը կօգնի խնդրին վերաբերող տարրերը կամ դրանց համախմբերը տարբերել կապ չունեցողներից, պետքականը՝ անպետքից, օգտակարը՝ անօգուտից:

Վարժություններ և լրացուցիչ դիտարկումներ 11-րդ գլխի վերաբերյալ

Վարժություններ և լրացուցիչ դիտարկումներ 11-րդ գլխի վերաբերյալ

1. Ձեր փորձը և դատողությունը: Այս գրքի նպատակը ձեզ օգնելու ձգտումն է՝ կատարելագործելու հետազոտական աշխատանքի հմտությունները: Սակայն իրականում դա միայն ինքներդ կարող եք անել: Պետք է պարզեք, թե ինչով են տարբերվում այն, ինչ սովորաբար անում եք, և այն, ինչ պետք է անեք: Այս գլուխը գրված էր, որպեսզի ձեզ օգներ լավ հասկանալու, թե սովորաբար ինչ եք անում:
   2-6-րդ վարժությունները կպահանջեն ցուցադրել նախորդ տեքստի կարևորագույն մասերը: Ամենից առաջ աշխատեք ձեր անձնական փորձից ընտրել ցուցադրվող օրինակը. ձեր աշխատանքից միջադեպերը, որ մտաբերում եք առանց ճիգի, ուսուցողական լինելու ամնամեծ հնարավորությունն ունեն: Աշխատեք անկանխակալ ձևով քննարկել հարցը, թե տեքստում նկարագրվածը կամ նկար 41-ը համապատասխանում են ձեր անձնական փորձին:
2. Մոբիլիզացիա: Հիշեք ձեր աշխատանքը երկրաչափական որևէ խնդիր լուծելիս՝ սկզբում քիչ բովանդակալից պատկերն ինչպես է աստիճանաբար ավելի ու ավելի լրացվել օժանդակ տարրերով, խնդրի լուծման աշխատանքի ընթացքին զուգահեռ:
3. Պայծառացում: Կարո՞ղ եք հիշել դեպք, երբ «մի հիանալի պահի» հանկարծ վստահություն եք զգացել, որ լուծումն «ստացվում է»:
4. Մասը հուշում է ամբողջը…, որքան շատ մասեր են հայտնի, այնքան մեծ է հույսը ամբողջը վերականգնելու: Կարո՞ղ եք համաձայնել՝ հենվելով սեփական փորձին:
5. Ճանաչում: Կարո՞ղ եք այնպիսի դեպք հիշել, երբ խնդրի լուծման շրջադարձային կետ է եղել որևէ տարր ճանաչելը (այսինքն՝ դեպք, երբ նկատում եք, որ մի տարր ձեզ շատ ծանոթ դեր է կատարում, որը մինչ այդ չէիք նկատել):
6. Վերախմբավորում: Կարո՞ղ եք դեպք հիշել, երբ պատկերի տարրերի վերախմբավորումը խնդրի լուծման բանալի լինի:
7. Աշխատանքը ներսից և աշխատանքը դրսից: Խնդիր լուծողի աշխատանքի էական մասերից մեկը առաջադրված խնդրի և ունեցած փորձի միջև կապերի ստեղծումն է: Նա կարող է փորձել այդ կապերը գտնել «ներսից» կամ «դրսից»: Մնալով խնդրի սահմաններում՝ նա կարող է ուսումնասիրել նրա առանձին տարրերը, մինչև հաջողվի նրանց մեջ գտնել ինչ-որ տարր, որը կարող է օգտակար տարր ընդգրկել դրսից, այսինքն՝ մինչ այդ ունեցած գիտելիքից: Կամ նա կարող է շարժվել դրսից՝ փորփրելով մինչ այդ հավաքած գիտելիքը, մինչև գտնի որևէ տարր, որը օգտակար կլինի իր խնդրի համար: Խնդրի վրա ներսից աշխատելիս խնդիրը լուծողը մանրամասն ուսումնասիրում է իր խնդիրը, նրա բաղկացուցիչները, նրա տեսանկյունները: Արտաքինից խնդրի վրա աշխատելիս, նա զննում է իր գիտելիքի պաշարը, փորփրում է հիշողության ծակուծուկերը՝ փնտրելով, թե ինչը ավելի մեծ հավանականությամբ կարելի է կիրառել դիտարկվող խնդրում: Նկար 42-ի ձախ և աջ մասերը փորձ են ցուցադրելու խնդրի վրա աշխատանքը «ներսից» և արտաքինից:
8. Էվրիստիկական բավիղ։  Նկար 43-ը կարող է պատկերել, օրինակ, լքված արահետներ, որոնք փայտահատը տրորել է բլրաշատ, անտառապատ տեղանքում՝ առանց որոշակի ծրագրի. B կետը ցույց է տալիս մուտքը: Նկարը կարելի է դիտարկել և որպես բավիղ, որով մկներին ստիպում են վազել ինչ-որ հոգեբանական փորձ անելիս:
   Բայց նույն նկար 43-ը կարող է ինչ-որ կերպ նշանակել խնդիր լուծողի աշխատանքը: Սկզբում ուղիղ առաջ գնացող մասից հետո նա գնում է ոլոր-մոլոր արահետով, մինչև մտնում է փակուղի (իրական կամ ենթադրյալ): Դրանից հետո խնդիր լուծողը ետ է դառնում և որոշակի ժամանակ գնում իր հետքերով, բայց, նկատելով կողային մուտքը, թեքվում է այնտեղ և քայլում, մինչև մտնում է մեկ ուրիշ փակուղի, որը նորից ստիպում է ետ դառնալ: Նա այդպես շարունակում է և հետագայում գործել՝ փորձելով տարբեր արահետներ, շատ անգամներ ետ դառնալով, նկատելով նոր մուտքեր, ուսումնասիրելով իր խնդիրը և առաջ գնալով, ընդհանրապես, ինչպես հույս ունենք՝ ճիշտ ուղղությամբ:
9. Առաջ շարժվելը: Խնդրի լուծման պրոցեսի առաջ գնալուն զուգընթաց խնդիր լուծողի համար խնդրի ընկալումը աստիճանաբար փոխվում է. այստեղ ամենակարևորն է, որ նա խնդրի հետ կապված ավելի ու ավելի շատ նյութ է հավաքում: Որպես վարկած՝ ենթադրենք, որ ինչ-որ կերպ կարողանում ենք յուրաքանչյուր պահի գնահատել խնդիր լուծողի հավաքած նյութի քանակը, և որ այդ նյութը կարելի համարել համեմատական նրա կողմից խնդիրը ընկալելու մակարդակին: Իհարկե, այդ ենթադրությունը շատ պարզունակ է և ոչ իրական, բայց այն թույլ է տալիս գրաֆիկորեն պատկերել խնդրի լուծման առաջընթացը:
   Նկար 44-ում պատկերված կոորդինատային համակարգում աբսցիսների առանցքով տեղադրել ենք ժամանակը, իսկ օրդինատների առանցքով՝ դիտարկվող տվյալ պահին խնդիրը լուծողի կողմից խնդրի ընկալման «չափը»: Վերջնական կորը ներկայացնում է խնդրի ընկալումը՝ որպես ժամանակի ֆունկցիա՝ այն ակնառու կերպով ցույց է տալիս լուծման առաջընթացը լուծողի մտքում:
   Ենթադրենք, որ լուծման պրոցեսը զարգանում է առանց մոռանալու գտնված մասերը. դրան համապատասխան նկար 44-ում ցույց է տրված վեր բարձրացող կոր, որը պատկերում է չնվազող ֆունկցիա ժամանակից. կորը սկսվում է (ձախից) դանդաղորեն և գրեթե հավասարաչափ բարձրացող գծով (այն կետերով է պատկերված). այդ գիծը պետք խորհրդանշի «նախապատմությունը», այսինքն խնդրի լուծման ենթագիտակցական փուլը:
   Գ կետը, որտեղից սկսվում է հոծ գիծը, նշում է Գիտակցական աշխատանքի սկիզբը: Կորի թեքությունը յուրաքանչյուր կետում ցույց է տալիս տվյալ պահին խնդիր լուծողի առաջընթացի արագությունը: Այդ արագությունը փոփոխական է՝ ամենափոքրը Լ կետում է, որը Լճացման կետն է (ակնթարթային). այդ կետում կորին տարված շոշափողը գրեթե հորիզոնական է: Հակառակը, այդ արագությունը ամենամեծն է Մ կետում, որտեղ թեքությունը առավելագույն է. Մ-ը կորի շրջման կետ է, այն նշում է լուծման Մտքի զարգացման կրիտիկական պահը, ոգեշնչման պահը: (Գ կետն էլ շրջման կետ է, բայց հակառակ բնույթի, քանի որ այդ կետում թեքությունը նվազագույն է):
   Լուծման զարգացումը լուծողի մտքում բարդ պրոցես է, որը պարունակում է տեսանկյունների անվերջանալի բազմաձևություն: Նկար 44-ը չի հավակնում, որ ծառայի որպես բոլոր տեսակետների պատկերում, բայց այն կարող է ինչ-որ բան ավելացնել մեր նախկին դատողություններին, այն կարող է, օրինակ, լրացնել և նոր լուսաբանում տալ հիմնական նկարին՝ նկար 30:
10. Դուք էլ ինձ նման եք: Խնդրի լուծման մասին իմ իմացածի (կամ ինձ թվում է՝ իմացածի) մեծ մասը առաջացել է համեմատաբար ոչ մեծ թվով տպավորիչ դեպքերի մասին մտորումների շնորհիվ: Կարդալով գիրքը, վիճելով ընկերոջս հետ, զրուցելով ուսանողների հետ կամ դիտելով ունկնդիրներիս դեմքերի արտահայտությանը՝ ես անսպասելիորեն ինչ-որ բան եմ իմանում և գայթակղություն զգում ասելու. «Դուք շատ նման եք ինձ, շատ հաճախ նույն կերպ եք վարվում, ինչպես ես»: Խոստովանում եմ, որ իմ «դուք ինձ նման եք» զգացողությունն առաջացել է նաև կենդանիների, շների, թռչունների, մի անգամ՝ նույնիսկ մկան գործողությունները դիտելիս:
11. Մկները և մարդիկ: Տանտիրուհին արագ դուրս եկավ բակ, մկան թակարդը դրեց գետնին (դա հին նմուշի թակարդ էր՝ շրխկացող դռնով վանդակ) և ձայն տվեց աղջկան, որպեսզի գնա կատվի ետևից: Թակարդն ընկած մուկը, կարծես, հասկացել էր այդ նախապատրաստությունների իմաստը. գազազած այս ու այն կողմ էր ընկնում վանդակում, կատաղած հարձակվում էր ձողերի վրա՝ վանդակի մեկ այս մեկ այն կողմից և վերջին պահին, հաջողությամբ խցկվելով երկու ձողերի արանքով, անհետացավ հարևան դաշտում: Հավանաբար թակարդի այդ կողմում ձողերի միջև մի քիչ լայն արանք կար: Տանտիրուհին վհատված էր թվում, ինչպես և ուշացած կատուն: Հենց սկզբից իմ համակրանքը մկան կողմն էր, այնպես որ ես դժվարանում էի ցավակցել տանտիրուհուն կամ կատվին. Ներքուստ, շնորհավորում էի մկանը: Նա լուրջ խնդիր լուծեց և մեզ էլ ուսանելի օրինակ տվեց:
    Հենց այդպիսին պետք է լինի խնդիրը լուծելու ճանապարհը: Պետք է փորձը փորձի ետևից անենք այնքան ժամանակ, մինչև պատահաբար հայտնաբերենք անցքերի մեջ չափսերի տարբերություն, ինչից էլ կախված կլինի մնացածը: Պետք է բազմազան դարձնենք մեր փորձերը, որպեսզի հնարավորություն ունենանք խնդիրը բազմակողմանի ուսումնասիրելու: Նախօրոք չենք կարող իմանալ, թե որ կողմում է այն միակ՝ մյուսներից ավելի լայն անցքը, որի միջով կհաջողվեր խցկվել:
    Խնդիր լուծելիս կիրառվող հիմնական մեթոդը մարդկանց և մկների մոտ նույնն է: Փորձել, փորձել նորից ու նորից՝ բազմազան դարձնելով փորձերը այնպես, որ բաց չթողնենք բարենպաստ հնարավորությունը: Իհարկե, արդարացի է, որ հիմնականում մարդիկ խնդիր ավելի լավ են լուծում, քան մկները: Մարդը կարիք չունի արգելքի վրա ամբողջ մարմնով ընկնելու, նա կարող է դա մտքով անել. նա կարող է իր փորձերում մեծ բազմազանություն մտցնել, իսկ անհաջող փորձերից ավելի շատ ուսանելի եզրակացություններ անել, քան մուկը:

12-րդ գլուխը

Թարգմանություն ռուսերենից 
Լուսանկարը՝ Մարինե Մխիթարյանի

* Հավանաբար նկատի ունի անգլիացի փիլիսոփա Ֆրենսիս Հերբերտ Բրեդլիին:

Թարգմանիչ՝ Գևորգ Հակոբյան