Թվեր: Թվաբանությունից մինչև բարձրագույն մաթեմատիկա

Սկիզբը
Նախորդ հատվածը

Գլուխ 8
Շատ մեծ և շատ փոքր

10 թվի էլի մեկ առավելություն

Պատճառներից մեկը, որը համառորեն ստիպեց գիտնականներին գործնական կիրառության մեջ ներմուծել աստիճանային (էքսպոնենտալ) թվերը, շատ մեծ կամ շատ փոքր թվերով աշխատելու անհրաժեշտությունն էր: Օրինակ, Երկրի զանգվածը մոտավորապես հավասար է 6000000000000000000000000000 գրամի, իսկ ջրածնի ատոմի  զանգվածը՝ 0,00000000000000000000000166 գրամի:

Իհարկե, նկատեցիք, որ այսպիսի գրառման ժամանակ դժվար չէ մեկ կամ մի քանի զրո կորցնելը: Աշխատանքի ընթացքում գիտնականները թվերն արտահայտելու նոր մեթոդ մշակեցին, երբ թվի մի մասը սովորական թիվ է, իսկ մյուս մասը՝ աստիճանային: Աստիճանային թվի հիմքը 10 թիվն է (նախորդ գլխի վերջում ես այդ հնարավորության մասին ակնարկեցի):

10 թվի աստիճանները թույլ են տալիս հարմար տեսքով ներկայացնելու ինչպես շատ մեծ, այնպես էլ շատ փոքր թվերը:  Դա երևում է ներքևում բերված աղյուսակից, որը կարող եք ինքնուրույն հաշվարկներ կատարելով ստուգել: 

1000000=10⁶
100000=10⁵
10000=10⁴
1000=10³
100=10²
10=10¹
1=10°
0,1=10^-1
0,01=10^—2
0,001=10^—3
0,0001=10^—4
0,00001=10^—5
0,000001=10^—6

Որպեսզի համոզվենք, որ 10 թիվը լավ է ներառվում մեր հաշվարկման համակարգում, դիտարկենք 4372,654 թիվը: Այն կարգերի վերլուծենք և կստանանք 4 հազար, 3 հարյուր, 7 տասնյակ, 2 միավոր, 6 տասնորդական, 5 հարյուրերորդական և 4 հազարերորդական: Այժմ հիշենք, որ 1000=10³, 100=10², 10=10¹ և այլն, և գրառենք 4372,654 թիվն այսպես՝ (4х10³)+(3х10²)+(7х10¹)+(2х10°)+(6х10^—1)+(5х10^—2)+(4х10^—3): Այսպիսով, թղթի վրա գրեցինք այն գործողությունները, որոնք արդեն հազար տարի համրիչների վրա կատարում են: Եթե հաշվիչների վրա միավորների շարքը նշենք «զրո», միավորի շարքից  բարձր տեղակայված շարքերը կնշանակենք 1, 2, 3 և այլն, իսկ միավորի շարքից ցածր շարքերը, համապատասխանաբար -1, -2, -3, ապա յուրաքանչյուր շարք 10 թվի աստիճանացույցին է համապատասխանում: Թվաբանության բոլոր դրույթները, որոնք սովորել ենք՝ օգտագործելով արաբական թվերը, կարելի է հեշտությամբ բացատրել այս աստիճանացույցերի օգնությամբ, ինչը դպրոցներում, սովորաբար չեն անում:

Մի քիչ ժամանակ կկորցնենք, որպեսզի աստիճանային թվերից գլուխ հանենք,  հետագայում այն նշանակալի կթեթևացնի թվերի հետ աշխատանքը:

Սկզբում դիտարկենք  10 թվի դրական աստիճանները: Նկատենք, որ տվյալ դեպքում աստիճանացույցը հավասար է սովորական թվի զրոների քանակին: Այսպիսով,  եթե զրոների քանակը 1000000-ում հավասար է վեցի, ապա այս թվի աստիճանային տեսքը կլինի 10⁶ (նկարում՝ համրիչ, որի շարքերը նշանակված են 10-ի աստիճաններին համապատասխան):

Այժմ, երբ անհրաժեշտ  է ոչ միայն մեկերից և զրոներից կազմված թիվը ներկայացնել աստճանային տեսքով, պետք է այն 10-ի ինչ-որ աստիճան պարունակող արտահայտության տեսքով գրել: Օրինակ, երկրի զանգվածը, ինչպես պարզեցինք գլխի սկզբում, հավասար է 6000000000000000000000000000 գրամ: Այս թիվը կարելի է ներկայացնել ինչպես 6х1000000000000000000000000000 գրամ: Այժմ այս արտահայտության ամենամեծ թիվը կազմված է մեկից և շատ քանակի զրոներից, այսինքն՝ այն կարելի է աստիճանի տեսքով ներկայացնել: Քանի որ զրոների քանակը 27 է, թիվը կարելի է գրել 10²⁷տեսքով: Այժմ Երկրի զանգվածը կարելի է աստիճանային տեսքով ներկայացնել` 6х10²⁷ գրամ: Մեծ թվերը աստիճանային արտահայտության տեսքով ներկայացնելը երկու ակնհայտ առավելություն է տալիս:

Նախ՝ այսպիսի գրելաձևը շատ սեղմ է, և երկրորդ՝ ավելի հեշտ է կարդալ, զրոների ահռելի քանակը հաշվելու անհրաժեշտություն չկա:

Փոքր թվերը նշանակելու համար օգտագործում են 10-ի բացասական աստիճանները: Ինչպես երևում է աղյուսակից, 10 թվի բացասական աստիճանը, սովորական թիվ է ներկայացնում, տասնորդական ստորակետից աջ տեղակայված  համապատասխան զրոներից բաղկացած և մեկով վերջացող տասնորդական կոտորակ: Բացասական աստիճանացույցի թվային արժեքը հավասար է ստորակետից հետո եղած զրոների քանակին գումարած 1:

Օրինակ՝ 0,000001թիվը ստորակետից հետո հինգ զրո ունի, հետևաբար, աստիճանային տեսքով այն կգրենք այսպես` 10^—6:

Ջրածնի ատոմի զանգվածը կարելի է ներկայացնել  1,66х0,000000000000000000000001 գրամ արտահայտության տեսքով: (Եթե բազմապատկում կատարեք, ապա կստանաք այն արժեքը, որը բերված է գլխի սկզբում:) Երկրորդ արտադրիչը 10-ն է բացասական աստիճանացույցով, այն տասնորդական նշանից  աջ 23 զրո ունի: Այսպիսով, աստիճանային տեսքով այն կգրվի՝ 10^—24: Ջրածնի ատոմի զանգվածը 1,66 անգամ մեծ է այս արժեքից, հետևաբար, ջրածնի ատոմի զանգվածը հավասար է 1,66 х 10^—24.

Տասից տարբեր թվեր

Հիմա, երբ սովորեցինք 10 հիմքով աստիճանային թվերն օգտագործելը, հեշտ կլինի  այլ հիմքերով աստիճանային տեսքից գլուխ հանելը: Մեր գրքի սկզբում արդեն ասել եմ, որ որոշակի դեպքերում 10-ի փոխարեն հարմար է օգտագործել  12 թիվը, քանի որ 12 թիվն ավելի շատ բաժանարարներ ունի, քան 10-ը: (12 թիվը բացի բաժանարարների քանակից,  ուրիշ առավելություններ էլ ունի:)

Մարդիկ հնում ժամանակը լուսնի միջոցով էին որոշում: Յուրաքանչյուր 29 կամ 30 օրը մեկ նոր լուսին էր դուրս գալիս, և հետևաբար, սկսվում էր նոր ամիսը: Տարվա մեջ այդպիսի ամիսները, այսինքն` մի գարունից մյուսը, 12 էին, ավելի ստույգ 12 ամիս և 11  օր: Սա 12 թվին յուրահատուկ մոգական նշանակություն տվեց, իսկ հնագույն մարդու համար դա շատ կարևոր էր: Կենդանակերպի 12 նշան կա, որոնցից յուրաքանչյուրում Արևը Երկրի շուրջ  իր թվացյալ պտույտի ժամանակ, մեկ ամիս լինում է: Կենդանակերպի նշանների քանակն իր արտացոլումն ստացավ նաև երկրային գործերում: Դա Իսրայելի 12 ցեղերը և  12 սուրբ առաքյալներն են:

Եթե ուզում ենք 12-ը որպես հաշվարկման համակարգի հիմք օգտագործել, անհրաժեշտ է տասներկու տարբեր թվանշան՝ ներառյալ զրոն։ Մեզ մոտ այդ թվանշանները կլինեն 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, @ և #:  @ և # նշաններն օգտագործում եմ այն թվերի նշանակման համար, որոնք տասական համակարգում նշանակվում են 10 և 11:

222 թիվը տասական համակարգում, այսինքն՝ 10 հիմքի վրա հիմնված համակարգում, կարելի է գրել այսպես`(2х10²)+(2х10′)+(2х10°):  Տասներկուական համակարգի այդպիսի թիվը կարելի է փոխակերպել տասական համակարգի՝ այն գրելով հետևյալ տեսքով. (2х12²)+(2х12¹)+(2х12°): Հաշվարկները կատարենք և կստանանք՝ 288+24+2, կամ 314: Այլ կերպ ասած, 12 հիմքով համակարգի, այսինքն՝ տասներկուական համակարգում 222 թիվը, հավասար է 10 հիմքով համակարգի, այսինքն՝ տասական համակարգի 314 թվին:

Տասներկուական համակարգում թիվը կարելի է գրել, ասենք, ինչպես 3#4: Այն համարժեք է (3х12²)+(#х12′)+(4х12°): Նախօրոք պայմանավորվել էինք, որ տասներկուական համակարգում #-ը հավասար է 11, հետևաբար տասական համակարգում կստանանք 432+132+4, կամ 568:

Հաշվարկման համակարգի համար որպես հիմք կարելի է և 10-ից փոքր թիվ վերցնել: Վերցնենք 7 թիվը, համակարգը կանվանենք յոթական: Այդ դեպքում մեզ միայն  7 նշան է անհրաժեշտ՝ 0, 1, 2, 3, 4, 5 և 6: Յոթական համակարգի 435 թիվը տասական համակարգում կարելի է գրել այսպես` (4х7²)+(3х7¹)+(5х7°), որը հավասար է 196+21+5, կամ 222:

Այս եղանակը թույլ է տալիս թիվը մեկ հաշվարկման համակարգից փոխակերպել ցանկացած այլ համակարգի, ընդ որում այն կիրառելի է նույնիսկ տասնորդական կոտորակների համար:

0,15 արտահայտությունը տասներկուական համակարգում կարող է ներկայացվել (1х12^—1)+(5х12^—2), կամ 1/12+5/144, որը տասական համակարգում հավասար է 17/144:

Յոթական համակարգում նույն արտահայտությունը կարելի է ներկայացնել այսպես`(1х7^—1)+(5х7^—2), կամ 1/7+5/49, որը տասական համակարգում հավասար է 12/49։

Այժմ եկեք պարզենք, թե ինչպես որոշել յուրաքանչյուր հաշվարկման համակարգի համար անհրաժեշտ առանձին նշանների քանակը: Առաջին թիվը, որի համար երկու նշան է հարկավոր 10-ն է (ցանկացած համակարգում): 10-ից փոքր բոլոր թվերի համար անհրաժեշտ են առանձին և տարբեր նշաններ: 10-ից մեծ բոլոր թվերը կարելի է գրառել 10-ից փոքր թվանշանների համադրությունների միջոցով: Ակնհայտ է, որ այս կանոնը ճշմարիտ է տասական համակարգի համար, որի հետ շատ լավ ծանոթ ենք: Կարելի է ենթադրել, որ ուրիշ համակարգերում այս կանոնը նույնպես ճշմարիտ է (որում կարող ենք գործնականում համոզվել):

Եկեք պարզենք, թե ինչի է հավասար 10 արտահայտության արժեքը, օրինակ, տասներկուական համակարգում: Այն հավասար է (1х12^-1)+(0х12°), կամ 12+0, կամ 12՝ տասական համակարգում: Նմանապես, յոթական համակարգում 10 արտահայտության արժեքը հավասար է (1х7^-1)+(0х7°), կամ 7+0, կամ 7: Կարելի է համանման գործողություններ կատարել  ուրիշ համակարգերի համար և, շուտով կհամոզվենք, որ որևէ թվի վրա հիմնված համակարգում 10 արտահայտությունը համապատասխանում է  հենց այդ թվին: (Տասական համակարգում 10-ը, բնականաբար, հավասար է 10)։

Տասներկուական համակարգում 12-ից փոքր յուրաքանչյուր թվի համար անհրաժեշտ է առանձին թվանշան, այսինքն 12 տարբեր թվանշան՝ ներառյալ զրոն: Յոթական համակարգում 7-ից փոքր յուրաքանչյուր թվի համար անհրաժեշտ է առանձին թվանշան, այսինքն 7 տարբեր թվանշան՝ ներառյալ զրոն: Այս կանոնը բոլոր հաշվարկման համակարգերի համար ճիշտ է: Ասենք, 28 հիմքով հաշվարկման համակարգի համար, մեզ անհրաժեշտ է 28 տարբեր թվանշան՝ ներառյալ զրոն:

Որպեսզի օգնեմ այս կանոններից ավելի լավ գլուխ հանելուն, առաջին երեսուն թվերի համար նշանների աղյուսակ եմ բերում տասներկուական համակարգում, յոթական համակարգում և մեզ լավ ծանոթ տասական համակարգում: 

Զրոների և մեկերի օգնությամբ ենք հաշվում

Յուրաքանչյուր հաշվարկման համակարգի համար կարելի է գումարման և մյուս թվաբանական գործողությունների աղյուսակներ կազմել: Տասներկուական համակարգում 5+8=11, իսկЗх4=10: Յոթական համակարգում 3+6=12, իսկ 5х3=21: Մեզ սա կարող է տարօրինակ թվալ, քանի որ այդպիսի համակարգեր չենք օգտագործում: Սակայն, եթե բոլոր հաշվարկներն այդպիսի համակարգերից մեկի շրջանակում կատարենք, կտեսնենք, որ համակարգը նույնպես համապատասխանում է ներկայացված նպատակներին: Մարդկությունը կանգ է առել տասական համակարգի վրա, հենց այն պարզ պատճառով, որ մարդու ձեռքերին տասը մատ կա, այլ ոչ թե որ այս համակարգն ավելի տրամաբանական է, քան ցանկացած ուրիշը: Սակայն առանձին դեպքերում և կոնկրետ նպատակների համար կարող է թվալ, որ ինչ-որ հաշվարկման համակարգ ավելի գործուն է, քան ուրիշները: Սա ճշմարիտ է 2 հիմքով  համակարգի դեպքում, այսինքն՝ երկուական համակարգի համար: Երկուական համակարգում 10 արտահայտությունը տասական համակարգում 2 է:

Հետևաբար, այդպիսի համակարգում միայն երկու թվանշան կա` 0 և 1: Նախորդ էջերում այդպիսի համակարգի առաջին թվերի համար սիմվոլներ և տասական համակարգի համապատասխան համարժեքներ են բերված:

Թվերի փոխակերպումը երկուական համակարգից տասական համակարգին դժվար չէ: Օրինակ, երկուական համակարգում դիտարկենք 11001 արտահայտությունը: Այն համարժեք է (1х2⁴)+(1х2³)+(0х2²)+(0х2¹)+(1х2⁰), կամ 16+8+0+0+1, կամ 25, որն էլ համապատասխանում է աղյուսակում բերված համարժեքին:

Այս գործընթացը կարելի է հեշտացնել, եթե հաշվի առնենք, որ 2 թվի աստիճանը բազմապատկվում է կա՛մ 0-ով, և արդյունքը նույնպես հավասար կլինի զրոյի, և այն կարելի է անտեսել, կա՛մ 1-ով, և այդ ժամանակ ուղղակի 2 է, ինչ-որ աստիճան է:
Այսպես, կարող ենք կարգային համարը գրել աջից ձախ, ինչպես ներքևում մանր թվերով  ցույց է տրված.

Յուրաքանչյուր մանր թիվը 2 թվի աստիճանն է, երկուական համակարգում ներկայացված թվանշանի դիրքը որոշող թվով: Պետք է հաշվի առնել միայն այն ցուցիչները, որոնք դրված են մեկերի դիմաց: Զրոների դիմաց գրված ցուցիչները կարելի է բաց թողնել: Այդպիսի մոտեցմամբ կարելի է 11001թիվը գրել այսպես` 2⁴+2³+2⁰, կամ 16+8+1, կամ 25:

Մեծ թվերը, ինչպես՝ 1 110 010 100 001 001, կարելի է տասական համակարգ փոխակերպել նույն եղանակով:

Քանի որ մեկերին համապատասխանում են  0, 3, 8, 10, 13, 14 և 15 դիրքերը, ապա թիվը հավասար կլինի 2¹⁵+2¹⁴+2¹³+2¹⁰+2⁸+2³+2⁰, կամ 32768+16384+8192+1024+256+8+1, կամ 58633:

Տասական համակարգից երկուական համակարգի հակադարձ փոխակերպումն այնքան էլ դժվար չէ, սակայն ավելի երկար է: Դիցուք, 1562 թիվը ներկայացված է տասական համակարգում: Երկուական համակարգ այն կարելի է փոխակերպել հետևյալ կերպ։

Երկուսի ամենաբարձր աստիճանը, որը 1562-ից փոքր է, 2¹⁰-ն է (կամ 1024): Եթե  1562-ից հանենք1024, կմնա 538: Այժմ երկուսին համապատասխանող ամենամեծ աստիճանը, որը փոքր է 538-ից, 2⁹-ն է (կամ 512): 538-ից այս թիվը հանելուց հետո կմնա 26: Մոտակա ամենաբարձր աստիճանը, որը  դեռ փոքր է, 2⁴-ն է (կամ16): Հանելուց հետո կմնա 10: Այժմ մոտակա թիվը 2³-ն է (կամ 8): Հանելուց հետո կմնա 2 կամ 2¹: Այսպիսով, 1562=2¹⁰+2⁹+2⁴+2³+2¹։

Այժմ պետք է միայն աստիճանացույցները աջից ձախ ճիշտ տեղերում դասավորել: Մեկերը կդասավորենք 1, 3, 4, 9 և 10-րդ դիրքերում: Մնացած դիրքերում զրոներ կդնենք: Այսպիսով, կստանանք 11000011010 թիվը՝ տասական համակարգում 1562 թվի համարժեքը երկուական համակարգում:

Երկուական համակարգում գումարման և բազմապատկման աղյուսակները շատ պարզ են:

0+0=0              0+1=1                          1+1=10

0x0=0              0x1=0                            1×1=1

Ահա ամբողջ ցանկը:

Այսպիսով, երկուական համակարգում.

Այս հաշվումների ճշտությունը, ցանկության դեպքում կարելի է ստուգել, հաշվի առնելով, որ երկուական համակարգի 11, 110 և 1001-ը թվերը տասական համակարգում համապատասխանաբար հավասար են 3, 6 և 9-ին:

Այժմ պատկերացրեք, որ անջատիչների հավաքածուով էլեկտրոնային հաշվիչ մեքենա ունեք (օրինակ, կիսահաղորդչային): Յուրաքանչյուր անջատիչը կարող է լինել երկու դիրքերից մեկում՝ «միացած» (երբ  հոսանք է անցնում է  անջատիչի միջով) կամ «անջատած» (երբ հոսանք չի անցնում անջատիչի միջով):

Այժմ ենթադրենք, որ «միացած» դիրքը համապատասխանում է 1, իսկ «անջատած»  դիրքը՝ 0-ի: Այս դեպքում հաշվիչ մեքենան կարելի է  նախագծել այնպես, որ էլեկտրոնային ազդանշանի տարբեր անջատիչների անջատումները ենթարկվեն երկուական համակարգում մեկերով և զրոներով գումարման, բազմապատկման և ուրիշ գործողությունների կանոններին:

Այդպիսի մեքենան այնքան արագ կիրականացնի անջատումները և հաշվարկներ կանի այնպիսի արագությամբ, որ հաշված վայրկյանների ընթացքում կկատարի հաշվարկների այնպիսի ծավալ, որի համար մարդուց ամենաքիչը մեկ ամիս կպահանջվի:

Սակայն, հաշվարկման տարբեր համակարգեր ուսումնասիրելով, շատ ենք շեղվել մեր գրքի հիմնական թեմայից: Այժմ վերադառնում ենք տասական համակարգին, և հետագա ամբողջ տեղեկությունը կտրամադրվի հենց տասական համակարգում:

Աշխատում ենք աստիճաններով

Որպեսզի հստակ պարզենք, թե ինչպիսի գործողություններ կարելի է կատարել 10 հիմքով աստիճանային թվերով, սկսենք աշխատել համեմատաբար ոչ մեծ թվերի հետ, այլ ոչ թե երկրի զանգվածի նման հսկայական, որի մասին խոսվել է գլխի սկզբում:

Ենթադրենք, անհրաժեշտ է 3200 թիվը ներկայացնել աստիճանային տեսքով: Կարող ենք օգտագործել միայն ամբողջ թվեր, դրա համար էլ 3200 թիվը ներկայացնենք հետևյալ ձևով՝ (3х1000)+(2х100) կամ (3х10³)+(2х10²): Ավելի հարմար է այն դեպքերում, երբ հնարավոր է օգտվել մեկ աստիճանացույցից: Դրան կարելի է հասնել, տասնորդական թվեր օգտագործելով: 3200 թիվը ներկայացնենք 3,2х1000 տեսքով (կարող եք ինքնուրույն կատարել բազմապատկումը և ստուգել այս պնդման ճշտությունը) կամ 3,2х10³:

Կարելի է, իհարկե, 3200-ը ներկայացնել այսպես` 32х100, որն էլ աստիճանային տեսքով կլինի 32х10²: Կարելի է ընտրել հետևյալ տարբերակը՝ 3200=0,32х10000 կամ 0,32х10⁴: Այս բոլոր արտահայտությունները նույնական են: Այս փաստը կարելի է հաստատել, բազմապատկման գործողություն կատարելով: Յուրաքանչյուր դեպքում 3200 կստանանք: Սակայն փաստը կարելի է հաստատել, առանց բազմապատկում կատարելու:

Ենթադրենք՝ պետք է  40-ը բազմապատկենք 50-ով: 40х50=2000։

Արտադրիչներից մեկը բաժանենք 2-ի, իսկ մյուսը բազմապատկենք 2-ով: Կստանանք 20х100, կամ 80х25: Երկու դեպքում էլ նույն արդյունքը կստանանք` 2000: Ենթադրենք, որ արտադրիչներից մեկը բազմապատկում ենք 10-ով, իսկ մյուսը բաժանում ենք 10-ի: Այդ ժամանակ կստանանք 4х500 կամ 400х5: Երկու դեպքում էլ արդյունքը նույնն է` 2000:  Այլ կերպ ասած, երկու թվերի արտադրյալը չի փոխվի, եթե արտադրիչներից մեկը բազմապատկենք ինչ-որ թվով, իսկ մյուս բաժանենք նույն թվին:

Այժմ դիտարկենք 3,2х10³:  3,2-ը բազմապատկենք 10-ով և 10³-ը բաժանենք 10-ի: Ինչպես արդեն գիտենք, արդյունքը չի փոխվի: 3,2х10=32: 10³-ը բաժանենք 10-ի (կամ միևնույն է, թե բազմապատկենք 10^-1-ով) և կստանանք 10²: Այժմ արտահայտությունն ունի հետևյալ տեսքը՝ 32х10². դրանից նրա արժեքը չի փոխվում:

Կարող ենք 3,2-ը բաժանել 10-ի (կստանանք 0,32) և 10³-ը բազմապատկենք 10-ով (10⁴): Արդյունքում կստանանք 0,32х10⁴, այս դեպքում ևս արժեքը չի փոխվի:

Տեսնում ենք, որ 0,32х10⁴, 32х10², 3,2х10³ արտահայտությունները միևնույն թիվն են: Այդ դեպքում ի՞նչ իմաստ ունի մեկ տարբերակը մյուսով փոխարինելու: Հաշվարկների ճշգրտության տեսանկյունից ոչ մի իմաստ չունի, իսկ ահա հաշվարկներ կատարելու հարմարավետության տեսանկյունից, անշուշտ ունի: Նպատակահարմար է աստիճանային արտահայտության այնպիսի տարբերակն օգտագործելը, երբ ոչ աստիճանային  թիվը 1-ից 10-ի միջև է: 32х10² դեպքում ոչ աստիճանային մասը մեծ է 10, իսկ 0,32х10⁴ դեպքում`փոքր է 1-ից: 3,2х10³ դեպքում ոչ աստիճանային մասը 1-ի և 10-ի միջև է, և սա հենց արտահայտության այն տեսքն է, որը սովորաբար օգտագործում են:

Մեկից փոքր թվերի համար, այս կանոնը նույնպես ճիշտ է, բացառությամբ  աստիճանական մասին վերաբերող հատվածներին: Օրինակ, դիտարկենք 0,0054 թիվը: Այն կարելի է գրել ինչպես 54х0,0001 կամ ինչպես 5,4х0,001: Այս արտահայտություններից յուրաքանչյուրը բազմապատկումից հետո կտա միևնույն արդյունքը` 0,0054: Աստիճանական տեսքով այն կլինի ինչպես 54х10^-4, 5,4х10^-3 կամ 0,54х10^-2:

Այս արտահայտությունները նույնպես համարժեք են: Ինչպես նախորդ օրինակում, կարող ենք բազմապատկել 5,4-ը 10-ով, իսկ 10^-3 բաժանել 10-ի: 10^-3 բաժանումը 10-ի համարժեք է 10^-1 -ով բազմապատկելուն: Բաժանումը համարժեք է մեկ աստիճանացույցից մյուսը հանելուն (-3 — 1 = -4), այսինքն 10^-3 բաժանել 10-ի հավասար է 10 ^-3-1 կամ10^-4: Այսպիսով,  5,4х10^-3 արտահայտությունը փոխակերպեցինք 54х10^-4, չփոխելով նրա արժեքը:

Նմանատիպ գործողությունների օգնությամբ կարող ենք 5,4х10^-3–ը փոխակերպել 0,54х10^-2, չփոխելով նրա արժեքը: Սակայն գործնականում առավելությունը տրվում է 5,4х10^-3 արտահայտությանը, քանի որ այս դեպքում ոչ աստիճանական մասը 1-ի և 10-ի միջև է:

Շարունակում ենք աստիճաններով աշխատելը

Աստիճանային թվերի համար կիրառական են նույն կանոնները, ինչ սովորական թվերի համար:

Գումարման և հանման գործողություններում մասնակցում են միայն ոչ աստիճանային մասը կազմող թվերը: Օրինակ, 2,3х10⁴ և 4,2х10⁴ թվերի գումարման արդյունքում կստանանք 6,5х10⁴. Ստուգեք այս պնդումը՝ փոխակերպելով աստիճանային արտահայտությունը ոչ աստիճանայինի` 23000 և 42000: Գումարելով դրանք՝ կստանանք 65 000: Այսպիսի գործողություն կարելի է կատարել բոլոր այն օրինակների հետ, որոնք բերել եմ այս գլխում: Այսպիսով, ոչ միայն աստիճանային արտահայտությունների հետ շփվել կսովորեք, այլև գործնականում կհամոզվեք, որ պարտադիր չէ ամեն բանի հավատալ, ինչ ասում են,  նույնիսկ եթե այդ «ինչ-որ բանը» տպագրված է։

8,7х10⁴ և 3,9х10⁴ թվերի գումարը 12,6х10⁴ է: Պատասխանը կարելի է այս տեսքով թողնել, չնայած ոչ աստիճանային մասը 10-ից մեծ է: Կարելի է նաև վերը նշված  բազմապատկման-բաժանման գործողությունների օգնությամբ արտահայտությունն ավելի հարմար տեսքի բերել` 1,26х10⁵: Այս պատասխանը նույնքան ճիշտ է, որքան նախորդը:

Իսկ ինչպե՞ս վարվենք, երբ թվերի մոտ ցուցիչները տարբեր են: Ինչի՞ հավասար կլինի 1,87х10⁴ և 9х10² թվերի գումարը: Որպեսզի գումարման գործողություն կատարենք, անհրաժեշտ է երկու թվերի աստիճանային մասերը նույն տեսքի բերել: Օրինակ, 1,87х10⁴ կարելի է փոխակերպել 187х10²: Արդեն կարելի է կատարել գումարումը՝ (9х10²)+(187х10²)=(9+187)х10²=196х10²: Կարելի է ուրիշ ճանապարհով գնալ և փոխակերպել 9х10²-ը  0,09х10⁴-ի, այդ ժամանակ կստանանք` (0,09х10⁴)+(1,87х10⁴)=(0,09+1,87)х10⁴=1,96х10⁴:

Այսպիսով, ստացանք երկու պատասխան՝ 196х10² և 1,96х10⁴: Այս երկու արտահայտություններն էլ համարժեք են, բայց նախընտրելի է օգտագործել երկրորդը:

Աստիճանային թվերի հետ նմանապես կարելի է հանման գործողություն կատարել: Գործնականում, սակայն գումարման և հանման գործողություններ կատարելիս աստիճանային ձևից հազվադեպ են օգտվում, քանի որ հարմար է սովորական թվեր գումարել և հանելը: Սակայն բազմապատկման և բաժանման գործողությունների դեպքում աստիճանային թվերն անփոխարինելի են: Ենթադրենք, պետք է 60000-ը բազմապատկենք 0,008-ով: Սա դժվար չէ սյունակով կատարելը.

Տվյալ օրինակում միակ դժվարությունը զրոներով գործողությունն է: Պետք է ուշադիր հետևել տասնորդական ստորակետի դիրքին:

Այժմ փորձենք բազմապատկում կատարել, թվերի ներկայացման աստիճանային ձևն օգտագործելով: Թվերը փոխակերպենք ցուցչային տեսքի` 60000=6х10<sup>4</sup>, 0,008=8х10<sup>-3</sup>. Բազմապատկենք այդ թվերը՝ 6х10<sup>4</sup>х8х10<sup>-3</sup>: 6х8=48; ապա 10<sup>4</sup>х10<sup>-3</sup>=10<sup>1</sup>: (Գումարենք ցուցիչները` 4+(-3)=1)։ Պատասխանը կստանանք՝ 48х10¹, կամ, ավելի հարմար տեսքով, 4,8х10², կամ սովորական թվի տեսքով`480:

Ինչպես տեսնում ենք, աստիճանային տեսքն օգտագործելով, զգալի հեշտացնում ենք բազմապատկման գործողությունը, հատկապես այն դեպքերում, երբ գործ ունենք շատ մեծ և շատ փոքր թվերի հետ:

Ենթադրենք, պետք է այսպիսի խնդիր լուծել: Ջրածնի քանի՞ ատոմ կպարունակեր Երկիրը, եթե այն կազմված լիներ միայն ջրածնի ատոմներից:

Երկրի զանգվածը հավասար է 6000000000000000000000000000 գրամ, իսկ ջրածնի ատոմի զանգվածը` 0,00000000000000000000000166 գրամ: Որպեսզի գտնենք ջրածնի ատոմների քանակը, պետք է Երկրի զանգվածը բաժանենք ջրածնի ատոմի զանգվածի վրա, այսինքն՝ 6000000000000000000000000000-ը բաժանենք 0,00000000000000000000000166-ի: Իհարկե, եթե ուզում եք, կարող եք կատարել այս գործողությունը, բայց, թերևս, խելամիտ կլինի աստիճանային տեսքի անցնելը:

Աստիճանային արտահայտություններ օգտագործելու ժամանակ խնդիրն իսկույն հեշտանում է՝ (6х10²⁷), (1,66х10^-24): Ինչպես բազմապատման ժամանակ, կարելի է ոչ աստիճանային մի մասը բաժանել մյուսին: Այսպիսով, կստանանք մոտավոր 6:1,66=3,6 քանորդը (մոտավոր, սակայն այս խնդրի համար բավարար), միևնույն ժամանակ 10²⁷:10^-24=10⁵¹): Այսպիսով, Երկրի մեջ ջրածնի ատոմների քանակը (եթե այն կազմված լիներ միայն ջրածնի ատոմներից և ունենար այն զանգվածը, որն այժմ ունի) հավասար կլիներ 3,6х10⁵¹): Կամ սովորական թվի տեսքով 3600000000000000000000000000000000000000000000000000, եթե ուղղակի բազմապատկենք երկու սովորական թվեր, ինչպես անում էինք նախորդ բաժիններում:

Դժվարություն չի ներկայացնում նաև աստիճանային արտահայտությունների աստիճան բարձրացնելն ու նրանցից արմատ հանելը: Այսպես, (9х10⁴)² հավասար է 9²х(10⁴)², որն էլ հավասար է 81х(10⁴)², կամ 81х10⁸, կամ 8,1х10⁹: Ճիշտ նույն կերպ էլ կարելի է  (9х10⁴)-ից արմատ հանել:

Քառակուսի արմատ 9х10⁴(√9×10^-4) հավասար է √9x√10⁴ կամ 3х10²:

Լրիվ անցնում ենք աստիճանների

Աստիճանային տեսքով թվերի օգտագործման մեջ դեռ անհասկանալի բաներ կան: Եթե շատ քանակով զրոներ պարունակով թվերի հետ գործ ունենք, ամեն ինչ բավականին պարզ է: Սակայն, ենթադրենք, որ պետք է բազմապատկենք 6837 և 1822 թվերը: Եթե այս թվերը գրենք աստիճանային տեսքով, կստանանք` 6,837х10³ և 1,822х10³: Աստիճանային մասերը բազմապատկելը դժվար չէ, իսկ ի՞նչ անենք 6,837 և 1,822 թվերը: Բախվեցինք միևնույն խնդրին, ինչպես մեծ թվերի բազմապատման ժամանակ, միայն այն տարբերությամբ, որ պետք է հետևենք տասնորդական ստորակետի դիրքին: Այլ կերպ ասած, պետք է թիվն այնպիսի տեսքով ներկայացնենք, որպեսզի ոչ աստիճանային մասը ինչքան հնարավոր է կարճ լինի կամ հավասարվի 1: Քանի որ խոսքը տասական համակարգի մասին է, մեզ պետք կլինեն տասի աստիճանները, որոնք քննարկեցինք յոթերորդ գլխի վերջում:

Այժմ եկեք մանրամասն ուսումնասիրենք 10 հիմքով աստիճաները: Սկսենք 10°=1 և 10¹=10-ից: Իսկ ինչի՞ են հավասար աստիճանները, երբ ցուցիչները 0-ի և 1-ի միջև են: Օրինակ, , որը մոտավորապես հավասար  է 3,162278: Նման եղանակով (սակայն մեծ դժվարությամբ) կարելի է ստանալ 10-ի աստիճանների արժեքները 0-ից 1 ցուցիչների համար: Այս մեծությունները հաշվված և աղյուսակների  տեսքով հավաքված են հատուկ տեղեկատուներում: Մեր գրքում բերված է 10 թվի տարբեր աստիճանների հակիրճ աղյուսակ:

Քանի որ տվյալ դեպում հիմքում միշտ 10 թիվն է, աղյուսակում սովորաբար բերված են միայն աստիճանացույցները, այսինքն ցուցիչները: Առանձին գրված ցուցիչը անվանում են լոգարիթմ, աստիճանային արտահայտության արժեքը՝ սովորական թվի տեսքով, կոչվում է անտիլոգարիթմ: Օրինակ, 10²=100 արտահայտության մեջ հետևյալ նշանակումները ճշմարիտ են.

2   — լոգարիթմ 100, իսկ 100 — անտիլոգարիթմ 2:

Ներքևում բերված է աղյուսակը, որում մի շարք լոգարիթմների համար անտիլոգարիթմներ են բերված, կոչվում է անտիլոգարիթմների աղյուսակ։

Աղյուսակում անտիլոգարիթմների մոտավոր արժեքներ են բերված, հնարավոր էլ չէ ճշգրիտ արժեքը բերել, որովհետև նրանք գոյություն ունեն միայն այնպիսի թվերի համար, ինչպես 10^0,0, 10^1,0 և այլն: Սակայն անտիլոգարիթմի մեծությունը կարելի է հաշվել այնպիսի ճշգրտությամբ (այսինքն՝ մինչև այնպիսի տասնորդական նշանի), որը պահանջվում է կոնկրետ տվյալ դեպքում:

Եթե գնանք հակառակ ուղղությամբ, կարող ենք 1-ից 10-ը ցանկացած թիվ ներկայացնել ինչպես10-ի որևէ աստիճան: Այլ կերպ ասած՝ համապատասխան մեթոդների օգնությամբ (դրանք մեր գրքում չենք քննարկի)  յուրաքանչյուր թվի համար կարելի է համապատասխան լոգարիթմը հաշվել:

Ներքևում մի շարք սովորական թվերի համար լոգարիթմների հակիրճ աղյուսակ է բերված: Շարք տեղեկագրքերում կան լոգարիթմների մանրամասն աղյուսակներ, որոնցում կարելի է ցանկացած թվի համար լոգարիթմ գտնել:

Լոգարիթմների աղյուսակներ արդեն կազմված են, և ինքնուրույն հաշվարկներով  զբաղվելու կարիքը արդեն չկա: Այդ աշխատատար գործն արդեն արված է:  Միակ բանը, որը պետք է անել, լոգարիթմների աղյուսակում անհրաժեշտ արժեքը գտնելն է:  Պատահականորեն ինչ-որ թիվ վերցնենք, օրինակ՝ 3,2, և ներքևում բերված աղյուսակում գտնենք լոգորիթմի արժեքը: 3,2-ի լոգարիթմը հավասար է 0,5051: Եվս մեկ օրինակ աղյուսակից՝ 2,4-ի լոգարիթմը հավասար է 0,3802: (Բնականաբար, սա լոգարիթմների մոտավոր արժեքն է)[1]:

Այժմ, երբ ունենք լոգարիթմների արժեքները, այսինքն՝ ցուցիչը, բազմապատկման և բաժանման գործողությունների ժամանակ կարող ենք դրանք օգտագործել:

Գիտենք, որ բազմապատկման ժամանակ աստիճանացույցները գումարվում են, նշանակում է 3,2 և 2,4 թվերը բազմապատկելու համար բավարար է գումարել նրանց լոգարիթմները՝  0,5051 և 0,3802, որոնց գումարը հավասար է 0,8853: Սա միայն ցուցիչն է, այսինքն՝ թիվը, որը փնտրում ենք 10^0,8853-ն է: Այժմ պետք է նորից անտիլոգարիթմների աղյուսակին դիմենք և գտնենք 0,8853 անտիլոգարիթմը: Դա 7,68-ն է: Այսպիսով, 3,2х2,4=7,68:

Եթե ցանկանում ենք բաժանել 3,2–ը 2,4-ի, բավարար է 0,5051-ից հանենք 0,3802, որը հավասար է 0,1249: Այս թվի անտիլոգարիթմը 1,333 է, որն էլ պատասխանն է: Իսկ այժմ վերադառնանք օրինակին, որից սկսեցինք այս բաժինը` 6837х1822: Այս թվերը փոխակերպենք աստիճանային տեսքի և կստանանք (6,837 х 10³) х (1822 х 10³): 10³-ի լոգարիթմը 3-ն է, քանի որ թվի լոգարիթմը այն  աստիճանն է, որը պետք է բարձրացնենք 10-ը, որպեսզի տվյալ թիվը ստանանք: Իսկ որպեսզի 10³ ստանանք, ակնհայտ է, պետք է 10 խորանարդ բարձրացնենք: Հենց այդպես էլ 10¹² լոգարիթմը հավասար է 12, իսկ 10^-14 լոգարիթմը հավասար է -14-ի:

6,837 թվի լոգարիթմը պետք է փնտրել լոգարիթմների ավելի մանրամասն աղյուսակում, քան այն, որը գրքում է բերված: Այն հավասար է 0,83487: Այդ ժամանակ 6,837 х 10³ լոգարիթմը հավասար է 0,83487 + 3 (հիշեք, թվերի բազմապատկման ժամանակ գումարում ենք նրանց լոգարիթմները), կամ՝ 3,83487:

Նույն կերպ էլ աղյուսակից գտնում ենք 1,822-ի լոգարիթմը, որը հավասար է 0,26055, այսպիսով,  1,822 х 10³ լոգարիթմը հավասար է 0,26055 + 3, կամ 3,26055:

Որպեսզի 6837 և 1822 թվերը բազմապատկենք, պետք է գումարել նրանց լոգարիթմները, իսկ հետո գտնել գումարի անտիլոգարիթմը: Այսպիսով, այդ թվերի արտադրյալի լոգարիթմը հավասար է 3,83487 + 3,26055, կամ 7,09542: Այս թիվը կարելի է ներկայացնել ինչպես 0,09542+7: Թվի տասնոդական մասը, տվյալ դեպքում՝ 0,09542, անվանում են մանտիս, իսկ ամբողջը, տվյալ դեպքում՝ 7, բնութագիր:

Թվի անտիլոգարիթմն ուղղակի 10 թիվն է, բարձրացրած այդ աստիճանը: 0,09542-ի անտիլոգարիթմը (աղյուսակով որոշված) հավասար է 1,246, իսկ 7-ի անտիլոգարիթմը` 10<sup>7</sup>: Լոգարիթմից անտիլոգարիթմին անցնելու ժամանակ գումարումը բազմապատկումով է փոխարինվում: Այսպիսով, անտիլոգարիթմը հավասար է 1,246х10<sup>7</sup>: Կամ սովորական, ոչ ցուցչային տեսքով` 12460000:

Եթե պարզապես սյունակով բազմապատկենք 6837-ը 1822-ով, 12457014 կստանանք: Սակայն չպետք է մոռանալ, որ լոգարիթմների մոտավոր արժեքներն են, այնպես որ և արդյունքը կարող ենք միայն որոշակի մոտավորությամբ ստանալ:

Որպեսզի 6837-ը բաժանենք 1822-ի, պետք է առաջին թվի լոգարիթմից հանենք երկրորդ թվի լոգարիթմը, կամ 3,83487-3,26055=0,57432: Այս թվի անտիլոգարիթմը հավասար է 3,752: Սա էլ հենց փնտրվող պատասխանն է: Եթե սյունակով բաժանում կատարեք, ապա կստանաք ավելի ճշգրիտ պատասխան` 3,75192: Բայց ինչպես արդեն գիտենք, լոգարիթմները մոտավոր արժեքներ են:

Հնարավոր է, հաշվարկի այսպիսի մեթոդը դժվար և անարդյունավետ թվա, ախր բավական չէ, որ մոտավոր արժեք ենք ստանում, դեռ պետք է պատասխաններն էլ երկու աղյուսակներում փնտրենք: Ավելի հե՞շտ չէ սյունակով բազմապատկում կատարելը: Սակայն ինժեներական և գիտական հաշվարկների համար հաճախ բավարար է այն ճշգրտությունը, որը լոգարիթմական մեթոդն է տալիս: Միևնույն ժամանակ հաճախ ստիպված ենք բազմապատկաման և բաժանման բազմաթիվ գործողություններ կատարել, և լոգարիթմական մեթոդը պարզապես անփոխարինելի է: Ենթադրենք, պետք է այսպիսի օրինակ լուծել՝ (194,768х0,045х19,2²):(1,558х35,4):

Բավականին շատ ժամանակ պետք կլինի, որպեսզի բազմապատկման և բաժանման բոլոր անհրաժեշտ գործողությունները կատարեք, իսկ լոգարիթմների մեթոդն օգտագործելով, եթե լավ եք յուրացրել լոգարիթմական աղյուսակներով աշխատելու կանոնները, կարելի է այդ օրինակը շատ արագ լուծել: Պետք կլինի մի քանի անգամ նայել աղյուսակներին և կատարել մի քանի գումարման և հանման գործողություն:

Հետագայում, եթե խնդրի պայմաններով բավարար է որոշակի մոտավորությամբ պատասխան ստանալ, իսկ ինժեներական և գիտական հաշվարկներով հենց այդ էլ պահանջվում է, լոգարիթմների մեթոդը լրացուցիչ առավելություն է տալիս, քանի որ այն էականորեն կրճատում է անհրաժեշտ հաշվարկներ կատարելու ժամանակը:

Նոր համրիչներ

Լուծելու ժամանակի կրճատման բանալին կգտնենք, եթե լոգարիթմական կախվածության բնույթին ուշադրություն դարձնենք: 1,0-ի լոգարիթմը հավասար է 0,0000, 2,0-ի լոգարիթմը` 0,3010-ը, իսկ 3,0-ինը` 0,4771-ի: 1-ից 2-ը թվի մեծանալու հետ լոգարիթմի արժեքը մեծանում է 0,3010-ով; 2-ից 3-ը թվի մեծանալու հետ լոգարիթմի արժեքը մեծանում է  0,1761-ով: 4,0-ի լոգարիթմը  հավասար է 0,6020, որն էլ նշանակում է 0,1249-ով ավելացում:  9,0-ից 10-ը թվի մեծանալու հետ լոգարիթմի արժեքը մեծանում է 0,9542-ից 1,0000-ը, այսինքն՝ միայն 0,0458: 19-ից 20-ի անցման ժամանակ լոգարիթմը մեծանում է 1,2788-ից 1,3010-ը, այսինքն միայն 0,0222:

Այժմ քանոնի մի կողմում գրենք լոգարիթմի արժեքները՝ տեղադրելով հավասարաչափ, իսկ մյուս կողմում` այդ լոգարիթմներին համապատասխան թվերը (անտիլոգարիթմները): 

Տեսնում ենք, որ թվերի մեծանալուն զուգընթաց սովորական թվերն ավելի խիտ են դասավորվում: Դա արտացոլում է այն փաստը, որ թվերի մեծանալուն զուգընթաց լոգարիթմի մեծանալու արագությունը նվազում է:

Սանդղակը, որի վրա թվերը հավասարաչափ չեն դասավորված, այլ իրենց լոգարիթմական մեծության համապատասխան, կոչվում է լոգարիթմական սանդղակ: Այս լոգարիթմական սանդղակն էլ հաշվարկներ կատարելու համար շատ կարևոր մի գործիքի՝ լոգարիթմական քանոնի հայտնաբերման հիմքը դարձավ, որը անհրաժեշտ էր յուրաքանչյուր ինժեներին, նախքան հաշվիչները և համակարգիչները դրան փոխարինելու եկան:

Քանոնը հետևյալ կերպ է կառուցված: Եթե երկու սովորական քանոն, որոնց վրա լոգարիթմական սանդղակներ կան, շարժենք մեկմեկու հանդիման, կարելի է գումարման և հանման գործողություն կատարել, իսկ քանի որ քանոնի սանդղակները լոգարիթմական  են, նշանակում է, որ գումարում կամ հանում ենք լոգարիթմական թվեր, այսինքն՝ բազմապատկում կամ բաժանում ենք հենց թվերը:

Օրինակ՝ պետք է 2-ն ու 3-ը բազմապատկենք: Ինչպես նկարում է ցույց տված, քանոնի շարժական մասն այնպես դնենք, որպեսզի նրա 1-ի բաժանումը համընկնի անշարժ հատվածի 3-ի բաժանման հետ: Այնուհետև ուշադրություն ենք դարձնում շարժական մասի 2-ի բաժանմանը և նայում ենք, թե անշարժ մասի որ բաժանման դիմաց է այն կանգնել: Տեսնում ենք, որ 6-ն է: Այսինքն՝ լոգարիթմ3+լոգարիթմ2=լոգարիթմ6, իսկ 3×2=6:

Հաջորդ նկարում ցույց է տրված մի քանի սանդղակներով իրական լոգարիթմական քանոնի ուրվագիծը: Այսպիսի քանոնը տարբեր խնդիրներ արագ լուծելու հնարավորություն է տալիս և կատարելու բարդ հաշվարկներ, որոնց ճշգրտությունը կախված է սանդղակների բաժանումների չափսերից:

Փաստացի՝ այսպիսի քանոնը կոմպակտ լոգարիթմական աղյուսակ է:

Սակայն յուրաքանչյուր նոր ձեռք բերում սովորաբար ինչ-որ կորուստով է ուղեկցվում: Հենց այդպիսին է վիճակը նաև լոգարիթմական քանոնի դեպքում: Քանոնը թույլ է տալիս շատ ավելի արագ և հարմար հաշվարկներ կատարել, սակայն կորուստներ էլ կան:  Լոգարիթմական աղյուսակի օգտագործման ժամանակ հարկավոր չէ տասնորդական ստորակետի դիրքը որոշել, այն արդեն աղյուսակում նշված է: Քանոնով հաշվարկների ժամանակ տասնորդական ստորակետի դիրքն ինքներս պետք է որոշեք: Որպեսզի տասնորդական ստորակետի դիրքը որոշեք, անհրաժեշտ է լուծվող խնդրի պատասխանը կոպիտ գնահատել: Օրինակ`հաշվում ենք արտահայտությունը, որն այս գլխի սկզբում դիտարկում էինք՝ (194,768х0,045х19,2²):(1,558х35,4)։

Կլորացնենք այս արտահայտության թվերը և կստանանք, որը հավասար է (4000:50), կամ 80: Նշանակում է, որ վերը նշված արտահայտությունը  ճիշտ լուծելով, մեր ստացած պատասխանը կգտնվի 80 թվին ավելի մոտ, քան 8-ին կամ 800-ին: Այսպիսով, գնահատեցինք տասնորդական ստորակետի դիրքը, կամ այլ կերպ ասած, ապագա պատասխանի «արժեքի կարգը»:

Այժմ, օգտագործելով լոգարիթմական քանոնը, կարելի է կատարել տրված գործողությունը: Արդյունքում  կստանանք 587 պատասխանը, քանի որ գիտենք, որ պատասխանը պետք է ավելի մոտ լինի  80-ին, քան 8-ին կամ 800-ին, ապա տասնորդական ստորակետը վստահորեն կարելի է դնել աջից երկրորդ թվանշանից հետո, այսինքն՝ կստանանք 58,7: Լոգարիթմական քանոնի օգնությամբ կատարված  բոլոր հաշվարկները, այդ թվում՝ արժեքի կարգի որոշումը, ընդամենը 35 վայրկյան խլեցին ինձանից, չնայած հաշվել եմ առանց շտապելու, որպեսզի սխալներ չանեմ:

Եթե լուծենք այս օրինակը՝ սյունակով (տակետակ) բազմապատկում և բաժանում կատարելով, կարող ենք ավելի ճշգրիտ պատասխան ստանալ: Ես կատարեցի այդ հաշվումները և ստացա 58,6: Սակայն հաշվումների ընթացքում երկու սխալ թույլ տվեցի, որոնք ստիպված էի ուղղել, և հաշվարկներ անելու համար ինձ անհրաժեշտ եղավ 20 րոպե: Չեմ կարող եմ ասել, որ գործընթացն ինձ հաճույք պատճառեց: Սկզբում  տարբերություններ գտա քանոնով հաշվարկի արդյունքների հետ, հետո ստիպված էի հաշվարկի յուրաքանչյուր փուլը ստուգել և համեմատել քանոնով հաշվարկի արդյունքների հետ:

Ժամանակակից գրպանի հաշվիչները և համակարգիչները, իհարկե, բոլոր տեսակի հաշվարկներն ավելի են հեշտացրել: Սակայն երբեմն մտածում եմ, որ եթե ժամանակակից գիտնականը հնագույն գիտնականի նոր մարմնացումն է, ապա գրպանի հաշվիչը ուղղակի հնագույն համրիչի նորագույն վերարտադրությունն է:

Շարունակությունը

Թարգմանություն ռուսերենից

Թարգմանիչ՝ Մանուշակ Աբրահամյան
Խմբագիր՝ Գևորգ Հակոբյան

[1]Հոդվածը չծանրացնելու համար լոգարիթմների աղյուսակը չենք բերում: Այն հեշտությամբ կարելի է գտնել համացանցում: