Մաթեմատիկան երեկ և այսօր

Ձերդ գերազանցություն, պարոնայք նախարարներ, հարգելի ունկնդիր, ավանդույթը պահանջում է հանդիսավոր տոնել ուսումնական տարվա սկիզբը, և միջոցառումներից մեկն էլ հանրային  դասախոսությունն է։ Ներկա եմ գտնվել նման բազում տոնախմբությունների, սակայն երբեք բախտ չի վիճակվել լսել մաթեմատիկոսի ելույթ, քանզի սովորաբար այդ պատվավոր դերը վստահվել է հումանիտար գիտության մասնագետներին (առավել հաճախ՝ փիլիսոփաներին կամ պատմաբաններին, հատկապես՝ գրականագետ-պատմաբաններին), հազվադեպ ելույթ են ունեցել իրավաբանները, երբեմն անգամ բնագետներն ու բժիշկները և անգամ ֆիզիկոսները, բայց երբեք՝ մաթեմատիկոսները։ Ահա թե ինչու, երբ Նորին Գերազանցությունն ինձ հանձնարարեց հրապարակային դասախոսություն կարդալ այս ուսումնական տարվա մեկնարկի կապակցությամբ, որը 14-րդն է Վրոցլավում, ինքս ինձ ասացի, որ վաղուց վաստակել եմ այդ իրավունքը։ Այդ իսկ պատճառով ընտրեցի այնպիսի մի վերնագիր, որը դուր կգա հումանիտար գիտությունների մասնագետներին կամ՝ գոնե պատմաբաններին։ Ափսոսանքով եմ խոստովանում, որ պատմաբան չեմ և երբևէ այս դահլիճում չէի համարձակվի խոսել մաթեմատիկայի «երեկվա» մասին, եթե ամռանը արտասահմանում հանդիպած չլինեի մի լեհ երիտասարդ կենդանաբանի, որը  ինձ հետևյալ պարզ հարցով դիմեց․ «Ինչո՞ւ բոլոր ժամանակակից թեորեմները ապացուցված չեն եղել դեռևս հին ժամանակներում»:

Սկզբում ես անգամ չհասկացա հարցի իմաստը, սակայն, կարծիքների փոխանակումից հետո, խնդիրը պարզ դարձավ։ Երիտասարադը կենսաբանության և մաթեմատիկայի սկզբունքային տարբերությունը համարում էր այն ակնհայտ փաստը, որ բնագիտության մեջ անընդհատ նոր մեթոդներ և գործիքներ են հայտնվում և կիրառվում։ 

 Հետազոտության նոր գործիք դարձան մանրադիտակը (երբ այն հորինեցին ֆիզիկոսները), մանրահատը (երբ ճշգրիտ մեխանիկան թույլ տվեց այն պատրաստել), ներկող նյութերը (երբ դրանք բացահայտեցին քիմիկոսները)։ Երիտասարդ կենսաբանը հասկանում էր, որ մաթեմատիկան չի կարող «հույս դնել նման արտաքին աջակցության վրա» (որը բնագիտության մեջ առաջընթացի գլխավոր շարժիչն էր) և զարմանում էր, որ հազարամյակների ընթացքում մաթեմատիկան չի սպառել իր ամբողջ հնարավորությունները, որոնք ներփակված էին հնագույն հասկացություններում, այլ կերպ ասած, չի վերածվել մեռած գիտության, ինչպես օրինակ որևէ հնադարյան լեզվի քերականությունը։  

 Այսօր կցանկանայի պատասխանել այդ հարցին, որն անուղղակիորեն շոշափում է դասախոսության վերնագիրը, սակայն մտավախություն ունեմ, որ բարդ խնդիր եմ դրել իմ առջև․ մաթեմատիկայի մասին դասախոսությունը՝ հասցեագրված այնպիսի մի լսարանի, որտեղ մաթեմատիկոսները փոքրամասնություն են, չի կարող հավակնել լսարանի արձագանքին։ Հումանիտար գիտությունների մասնագետները միշտ ավելի շահեկան վիճակում են գտնվում, թեկուզ միայն այն պատճառով, որ բոլորին հասկանալի լեզվով են խոսում և այնպիսի հասկացությունների մասին, որոնք հստակ մոդելներ ունեն․․․ (Թե որքան վատ են մարդիկ ծանոթ մաթեմատիկական մոդելներին, ես համոզվեցի՝ լսելով լավ համբավ ունեցող մի ռադիոկայանի հաղորդում․ տաղավարում մի երիտասարդ արհեստավորի էին քննում, ով չգիտեր, թե քանի նիստ ունի խորանարդը, և ամենագետ քննողը հայտնեց նրան և ամբողջ երկրագնդին, որ խորանարդն ունի 8 նիստ)։

Ասենք, մաթեմատիկոսի դերը միշտ էլ անշնորհակալ է, ոչ միայն հրապարակային ելույթ ունենալիս։ Խնդիրն այն չէ, որ մաթեմատիկան դժվար է և անհասկանալի, այլ որ խորթ և անհասկանալի է լայն հասարակության համար։ Ֆիզիկոսը կամ քիմիկոսը կարող է հույս ունենալ, որ հասարակությունը ավելի արագ կարձագանքի։ Վրոցլավում Վրուբլևսկու անվան փողոց կա, և եթե որևէ մեկը հարցնի, թե կրակովյան այդ գիտնականը ինչով է արժանացել հասարակության հարգանքին, ապա կարելի է պատասխանել, որ հենց նա է աշխարհում առաջինը ստացել  հեղուկ օդ, և որ այդ հայտնագործությունը օգտագործվում է ժամանակակից սառնարաններում (որտեղ ամոնիակի տաքացումը առաջացնում է ջերմաստիճանի անկում)։ Փողոցում հանդիպած ցանկացած մարդ (որն անգամ չգիտի, թե ինչպես է Վրուբլևսկու այս փորձը հանգեցրել ջերմադինամիկայի օրենքների այս հակասական  հետևանքներին, և ծանոթ չէ ժամանակակից սառնարանների կառուցվածքին), կհասկանա, թե ինչի մասին է խոսքը, և կասի, որ փողոցն ըստ արժանվույն է անվանակոչվել այս ֆիզիկոսի պատվին։ 

Այլ է Բանախի անվան փողոցի հարցը։ Բացառությամբ մի քանի մասնագետի, որևէ մեկը աշխարհում և Լեհաստանում չգիտի, թե ինչով է հայտնի Բանախը և, եթե անգամ անցորդներից մեկը հարցներ փորձագետ-մաթեմատիկոսներին, նրանք էլ հիմնավորված պատասխանի համար համապատասխան բառեր չէին գտնի։ 

Պատկերացրեք, որ լրագրող-անցորդը որոշել է իր քարտարանը լրացնել լեհական և արտասահմանյան թերթերից վերցված տարաբնույթ հետաքրքիր տեղեկություններով (չանտեսելով, ինչպես վայել է իսկական լրագրողին, բամբասանքն ու ասեկոսները), որոնք թույլ կտան արագ պատասխան ստանալ այն հարցին, թե ով և ինչու իրավունք ունի մաթեմատիկոս կոչվելու։ Նրա քարտարանի «Մաթեմատիկա» բաժինը շատ արագ կլցվեր,  որտեղ կհայտնվեին նաև պաշտոնական տեղեկություններ այն մասին, որ ընթացիկ տարում բոլոր լեհական համալսարանները մաթեմատիկայի բաժին ընդունել են առանց սահմանափակումների, մինչդեռ այլ բաժիններում ընդունվողների քանակը սահմանափակվել է տեղերի քանակով։ Այնտեղ կհայտնվեր KOSMOS ամսագրից մի կտրածո, ինչը կհայտներ Կրակովի հանրակրթական մի դպրոցի սովորողների կողմից Պետական Խորհրդի անդամ Եժի Զավեյսկուն ուղարկված  նամակի մասին, որով կխնդրեին աջակցել դպրոցներում մաթեմատիկայի դասավանդումը դադարեցնելուն, քանի որ (ըստ սովորողների կարծիքի) մաթեմատիկան որևէ բանի համար հարկավոր չէ։ 

Հնարավոր է, որ այնտեղ հայտնվեր նաև լոնդոնյան «Observer» ամսագրի հավաքածուն, որտեղ հրապարակվում են մաթեմատիկոսներ փնտրող գործարանների հայտարարությունները․ դրանք կարելի է գտնել յուրաքանչյուր համարում և կարծիք կազմել, որ Անգլիայում մաթեմատիկոսների պակաս կա, քանի որ հայտարություններում նրանց հիանալի պայմաններ են խոստանում։ Սրա հետ կապված՝ կարելի է նման հայտարարություններ փնտրել մեր մամուլում և․․․ Չգտնել ոչ մի հատ։  Սակայն, Trybuna Ludu-ի հավելվածում կարելի է գտնել «լավ աշխատանքի» մասին Կոտարբինսկու ցիտատը «Traktat» -ից և կարդալ հետևյալ դատողությունը․ «արդյունաբերության զարգացման ժամանակակից միտումները մեծ նշանակություն են տալիս գործող սուբյեկտների կարողությունների կատարելագործմանը, որոնք ուղղված են  մտավոր կարողությունների և գիտելիքի ձեռքբերմանը ու մտքի արագությանը՝ մեխանիզմների ճշգրիտ կառավարման հարցում»։ 

Կարդալով այս գիտական ձևակերպումը՝ հարկավոր է հասկանալ, թե արդյոք ունենք մաթեմատիկոսների բավարար քանակ։ Խնդիրն ավելի խորը ուսումնասիրելու նպատակով սկսենք թերթել ամերիկյան տեղեկատվական ամսագրերը և American Mathematical Monthly (64, 1957, էջ. 557-566) ամսագրում  մաթեմատիկայի գործնական կիրառման մասին մի հոդված կգտնենք։ Հոդվածի հեղինակ Ռ․Յու․ Գասքելը գրում է, որ խնդրի գործնական կողմն էապես կախված է հասարակական կարծիքից, թե ինչի համար գոյություն ունեն մաթեմատիկան և մաթեմատիկոսները։ «Բարեբախտաբար, գրում է Գասքելը, մաթեմատիկան խորը ներթափանցում է սպառման շուկա, սակայն, այնումենայնիվ, ամենուրեք տարածված է մաթեմատիկայի և նրա հնարավորությունների մասին թյուրըմբռնում։ Ավելին, որոշ մարդկանց մոտ ուժգին, բռնի և վարակիչ տգիտություն է առաջանում․․․Կարելի է հանդիպել մարդկանց, որոնք կարծում են, որ մաթեմատիկոսները, համեմատած այլոց, ավելի հեշտ են հիշում, թե ինչ է տեղի ունենում բրիջ խաղալիս, իսկ շատերն անգամ տարբերություն չեն տեսնում մաթեմատիկոսի և հաշվապահի միջև։ Ճարտարագետները և որոշ այլ մասնագետներ նույնականացնում են մաթեմատիկան բանաձևերի, դիագրամների, գրաֆիկական սխեմաների և հաշվողական մեքենաների հետ»։

Այս ճանապարհին մեր հետազոտողը պատահաբար կարող է հանդիպել Ստեֆան Բանախի բնութագրին, որն իր մահից հետո (1946 թ․) հրապարակվեց  Bulletin of the American Mathematical Society-ում (52, էջ. 600-603) (Ամերիկյան մաթեմատիկական հասարակության տեղեկագիր)։ Այդ շատ հակիրճ, բայց միևնույն ժամանակ՝ դիպուկ և հետաքրքիր բնութագրում քիչ են դիլետանտի համար անհասկանալի նախադասությունները, բայց հենց դրանք են պատասխանում այն հարցին, թե ինչու այսօրվա բոլոր մաթեմատիկական ամսագրերում, որոնք նվիրված են արդիական մաթեմատիկական խնդիրներին,  կարելի է գտնել Բանախի անունը։ Պատճառն այն է, որ, այսպես կոչված, «բանախյան տարածությունը» դարձել է համընդհանուր  ընդունված հայեցակարգ, որի հիման վրա անընդհատ նոր աշխատանքներ են հայտնվում։ Անխոնջ լրագրողը կսկսի անձնական տվյալներ փնտրել և կհետաքրքրվի այդ լվովյան մաթեմատիկոսի մասին մահախոսականների հեղինակներով։ Եթե բախտը բերի, կհադիպի ամերիկյան մի թերթում հրապարակված մահախոսական հոդվածի (վերնագրված՝ «Չափազանց ուշ ճանաչում գտած գիտնականը»), որի հեղինակը Բանախի աշակերտ Ստանիսլավ Ուլամն է։ Ավարտելով Լվովի համալսարանի պոլիտեխնիկական ֆակուլտետը՝ Ուլամը դոկտորի կոչում է ստացել, սակայն հոդվածների հավաքագրմամբ զբաղվող լրագրողին ավելի շատ կհետաքրքրի ամերիկյան մեկ այլ թերթում հրապարակված տեղեկություն (ԱՄՆ Սենատին ներկայացրել է սենտաոր Քլինթոն Պ․ Անդերսոնը՝ միջմոլորակային տարածությունում թռիչքները ուսումնասիրող հանձնաժողովի նախագահը) այն մասին, որ հենց Ուլամը, այլ ոչ թե Էդվարդ Թելլերն է (ինչպես նախկինում ենթադրվում էր) առաջարկել ստեղծել ջրածնային ռումբը։ Լվովի այն սակավաթիվ բնակիչները, որոնք դեռ հիշում էին, թե ինչպես էին Բանախն ու Ուլամը ժամերով զրուցում լվովյան սրճարաններում (արագ պարզաբանելով իրենց բառերը գաղտնի սիմվոլներով, որոնք մատիտով նկարում էին սեղանների վրա), անգամ չէին ենթադրում, որ զրուցակիցներից մեկը 10 տարի անց իր վրա պատասխանատվություն կվերցնի այն բանի համար, որ լայնածավալ շղթայական ռեակցիա իրականացնելու առաջին փորձը կարող է բառացիորեն ավարտվել ոչնչով։ 

Հավանական է, որ ոչ այդ զրույցների պատահական վկաները, ոչ էլ հենց իրենք՝ զրուցակիցները, չէին կարող իրադարձությունների նման զարգացում կանխատեսել։ Ինչի՞ մասին կարող էր  զրուցել Բանախը  իր աշակերտի հետ։ Հնարավոր է՝ Բանախ-Տարսկու թեորեմի մասին, որը թույլ է տալիս գունդը բաժանել մի քանի մասերի այնպես, որ այնուհետև դրանից կարելի լինի հավաքել սկզբնականից ավելի մեծ գունդ։ Մաթեմատիկական այս թեորեմը դեռ որևէ կիրառություն չի գտել (հնարավոր է, որ երբևէ չկիրառվի) և այն առարկություն է առաջացնում  յուրաքանչյուր ֆիզիկոսի մոտ։

Սակայն էվկլիդեսյան երկրաչափության  հիման վրա կարելի է դուրս բերել այլ հակասական, տրամաբանական  եզրահանգումներ, որոնք որևէ բանով չեն տարբերվում մաթեմատիկոսների կողմից դարերով կիրառածներից․․․

Սա նորից հիշեցնում է կենսաբանի մեկնաբանությունը, որը կարելի է  գրեթե անհեթեթ հարցի տեսքով ձևակերպել. «Ինչո՞ւ Էվկլիդեսը չգիտեր Բանախ-Տարսկու թեորեմը»:

Էվկլիդեսը համարվում է առաջին մաթեմատիկոսը՝ այդ բառի լայն իմաստով։ Նա է ստեղծել երկրաչափությունը, այսինքն՝ այն տարրական երկրաչափությունը, որը հույն ուսուցիչները դասավանդում էին հռոմեական պատրիկների երեխաներին, և որը անգլիական դպրոցներում մինչև վերջերս անվանում էին ուղղակի «Էվկլիդես»։ Հենց այդ երկրաչափությունն են մտցրել մեր գլուխները, և Եժի Զավեյսկուց հենց դրա չեղարկումն են այսօր պահանջում կրակովյան աշակերտները։ Այս առումով արժե պատշաճ հարգանքով ուսումնասիրել Էվկլիդեսի բնագիր գրքերը, քանի որ դրանք գրվել են մ․թ․ 300 տարի առաջ Ալեքսանդիայում, որն այն ժամանակ համարվում էր հելլինիստական մշակույթի կենտրոն։ Հունարենով այդ գրքերի անվանումը հնչում է ինչպես «Stoicheia», որը լատիներեն թարգմանվել է «Elementa» (ռուսերեն թարգմանվել է որպես  «Начала Евклида». — М.-Л.: Гостехиздат, 1948–1950 )(Հայերեն թարգմանության մասին՝ տե՛ս այստեղ)։

Գրքերը սկսվում են սահմանումներով և աքսիոմներով, որոնք բաժանվում են երկու խմբի։ Առաջինը ընդգրկում է «komai ennoeiai» (այսինքն՝ բոլորին ծանոթ հատկություններ և հարաբերություններ, որոնք կասկած չեն առաջացնում․ այդ խումբը նման է ժամանակակից բազմությունների տեսության հիմնական դրույթներին), իսկ երկրորդն սկսվում է «aitestho» հրամայականից, որը համապատասխանում է ժամանակակից «հարկավոր է ընդունել» և «ընդունենք, որ» արտահայտություններին։ Հետևաբար, դրանք պետք է համարել պոստուլատներ, իսկ դրանց ներմուծումը ցույց է տալիս, որ Էվկլիդեսը հասկանում էր երկրաչափության հիմունքներում համաձայնությունների դերը (և անգամ դրանց անհրաժեշտությունը)։ Տասնհինգ գրքերը պարունակում են մի քանի հարյուր թեորեմ, որոնցից յուրաքանչյուրը սահմանումների և աքսիոմների  տրամաբանական հետևությունն  է և յուրաքանչյուրը ուղեկցվում է ապացույցով։ 

Սակայն էվկլիդեսյան համակարգի կատարելությունը դրսևորվեց միայն ժամանակակից մաթեմատիկայում, իսկ դրա հայտնագործության  պատմությունը իսկապես գերող է։ Դեռ հին դարերի գիտնականներին (որոնց շարքում և մեծն Պտղոմեոս Ալեքսանդրիացին, ով համարվում է աստղագիտության հայրը), դուր չէր գալիս զուգահեռների մասին Էվկլիդեսի պոստուլատը․ հարթության վրա ուղիղները հատվում են երրորդով, որի հետ կազմում են անկյուններ, որոնց գումարը փոքր է լրիվ անկյան կեսից, որոնք գտնվում է հատող գծի տարբեր կողմերում։ Համարվում է, որ այդ պոստուլատը, որը ավելի ուշ կոչվեց XI աքսիոմա, այն ժամանակ շատ բարդ էր և դատապարտում էր «Elementa»-ին, որ չհամարվեն ակնհայտ ճշմարտություն։ Անգամ փորձ էր արվում այդ պոստուլատը արտածել մնացած աքսիոմներից, սակայն բծախնդիր ընթերցողները միշտ այդ փորձերում սխալներ էին գտնում, որոնք ավելի հաճախ XI աքսիոմի արտածման համար ինչ-որ նոր ինտուիտիվ աքսիոմ էին ներդրմուծում, որը համարժեք էր այդ պոստուլատին։ Այդ ապարդյուն փորձերը շարունակվեցին մինչև XIX դար, սակայն միայն 1825 թվականին  երկրաչափության այդ անհասանելի գագաթը կարողացան նվաճել, իրարից անկախ, երեք հանճարեղ մարդիկ։ Դրանք էին՝ Գաուսը, Բոյային (կրտսերը) և Լոբաչեվսկին։ 

.Բոյայի ընտանիքը ծագումով Տրասիլվանիայից էր, և այնտեղից Կասպար Բոյայի դե Բոյան տեղափոխվեց Հունգարիա՝ Մարոշ-Վաշարխելի։ Նրա որդի՝  Վոլֆգանգը, անսովոր ընդունակ երեխա էր։ XVII դարում տրանսիլվանիայի ազնվականությունը սովորություն ուներ իրենց որդիներին ուղարկել Գերմանիա՝ կրթություն ստանալու, և,  տրանսիլվանական բարոնների շնորհիվ, աղքատացած Կասպարը կարողացավ իր որդուն ուղարկել Գեթինգեն։ Վոլֆգանգը 21 տարեկան էր, երբ ծանոթացավ Գաուսի հետ, որը իրենից երկու տարով երիտասարդ էր։ Երբ մի օր Գաուսի մայրը հարցրեց Վոլֆգանգին, թե ինչ է դառնալու իր որդին, Վոլֆգանգը, առանց երկմտելու, պատասխանեց՝ Եվրոպայի մեծագույն մաթեմատիկոսը։ Գաուսն ու Բոյային այդ ժամանակ արդեն զբաղվում էին XI աքսիոմայով։ 

Մի քանի տարի անց Գաուսը վերադառնում է Բրունսվիկ, որտեղ լիարժեք ներառվում է այն աշխատանքում, որի շնորհիվ ստանում է «մաթեմատիկոսների թագավոր» մականունը, և որը (բացի մաթեմատիկայի տարբեր բնագավառների) ներառում էր գիտության այլ բնագավառներ՝ մեխանիկա, էլեկտրականության տեսություն, աստղագիտություն, գեոդեզիա: Սակայն այս աշխատանքը նրան որևէ նյութական շահ չտվեց, ինչը ամբողջ ընտանիքի դժգոհության պատճառ դարձավ։ Նրա գործընկեր Բոյային պետք է վերադառնար Մարոշ-Վաշարխելի և գումար վաստակելու նպատակով նա դարձավ տեղի համալսարանի մաթեմատիկայի պրոֆեսոր, իսկ հետո՝ նույն համալսարանի ռեկտոր։ Մաթեմատիկոսների թագավորի հետ նրա ընկերությունը շարունակվում էր, սակայն XI աքսիոման շարունակում էր Բոյայիի համար գաղտնիք մնալ։ Նա անընդhատ փորձեր էր անում ապացուցելու այն և նույն հետևողականությամբ հերքում էր դրանք։ 1804 թվականին նա Գաուսին է ուղարկում «Զուգահեռների գեթինգենյան տեսությունը» անվանումով իր վերջին տարբերակը և խնդրում նրան հայտնել իր կարծիքը։ Գաուսը անսպասիլորեն արագ, ընկերական, խելամիտ տոնով պատասխանեց, որ ինքն էլ է ցանկանում բացել  այդ գորդյան հանգույցը, սակայն իր բոլոր փորձերը անհաջողության են մատնվել։  «Զուգահեռների գեթինգենյան տեսության» ապացույցը Գաուսը ոչ բավարար համարեց և մատնացույց արեց, թե որն է սխալը (սակայն չարժե այսօր խոսել Գաուսի նախատինքի մանրամասների մասին)։Գաուսը համարում էր, որ Բոյային օգտագործել է նույն այն փաստարկը, որի համաձայն Զենոն Էլեացին եզրակացրել էր, որ արագավազ Աքիլեսը երբեք չի կարող հասնել դանդաղաշարժ կրիային։ 

Վոլֆգանգի՝ Գաուսին գրած նամակներից իմանում ենք, որ նա Յան անունով որդի ուներ, և որ, Մարոշ-Վաշարխելիում դպրոցն ավարտելիս, 15-ամյա Յանը արդեն գիտեր դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշիվ ու անալիտիկ մեխանիկայի խնդիրներ էր լուծում։ Տասը տարեկանում դասական քառյակներում  նա առաջին ջութակ էր նվագում և ինքն էլ ստեղծագործում։ Նաև իր հոր նման փայլուն տիրապետում էր լատիներենի։ Երիտասարդ Բոյային երազում էր մնալ տանը և ամբողջությամբ նվիրվել մաթեմատիկային, սակայն փողի բացակայությունը, տնտեսական հարցերում հոր զանազան ձախողումները ստիպեցին Յանին օգնության ուղիներ փնտրել։  Եվ այս անգամ էլ նման օգնություն ցուցաբերեց ընտանիքի տրանսիլվանացի մի հարուստ ընկեր, որը խոստացավ 4 տարի վճարել երիտասարդի ուսումը Վենայի զինվորական-ինժեներական ակադեմիայում և հոգալ դրա հետ կապված բոլոր այլ ծախսերը։ Երբ Յանը պոդպորուչիկի կոչումով ավարտեց ակադեմիան, նա արդեն գերազանց սպա էր։ Մուգ կապույտ աչքերով, թխահեր, բարձրահասակ երիտասարդը, լինելով նաև հմուտ ձիավար, ակադեմիայի լավագույն մաթեմատիկոսն էր, անպարտելի սուսերամարտիկը, դամասկոսյան պողպատե սրով երկաթ կտրողը, անընդհատ հոր ուշադրության կենտրոնում էր։ Հայրն իր նամակներում անընդհատ զգուշացնում էր նրան մենամարտի և կանանց սիրահետելու հարցերում։ Սակայն ավելի շատ զգուշացնում  էր XI աքսիոմը հիմնավորել փորձելու հարցում։ Ահա մի հատված 1820 թվականին գրված նրա նամակից․ «Մի՛ գնա այս ճանապարհով, ես այն մինչև վերջ գիտեմ․ ես նույնպես գնացի այդ ճանապարհով օր ու գիշեր, կյանքիս բոլոր ուրախությունները մարեցին այդ ճանապարհին։ Ի սեր Աստծո, հանգիստ թող զուգահեռների մասին գիտությունը…» Եվ հաջորդիվ գրում է․ «…ուզում էի զոհաբերել ինձ հանուն ճշմարտության,  պատրաստ էի նահատակ դառնալ, միայն թե հանձնեի մարդկությանը այս բաց կետից ազատված երկրաչափությունը»։ Եվ այնուհետև. «Այստեղ է իմ հետագա բոլոր սխալների և անհաջողությունների արմատը»: Եվ, վերջապես. «Այստեղ են  Հերկուլեսյան սյուները, մի քայլ անգամ առաջ մի գնա, որովհետև կկործանվես»:

Ահա այսպես էր պատասխանել հայրը 1820 թվականի գարնանը Յանի ուղարկած նամակին, որտեղ նա հայտնում էր հորը XI աքսիոմի հիմնավորման փորձերի մասին։ Սակայն հոր արգելքներն էլ ավելի բորբոքեցին երիտասարդ սպայի պատվախնդրությունը, ով որոշեց ամեն գնով ուսումնասիրել խնդիրը։ 1823 թվականին նա մի կտոր թղթի վրա գրում է․ «Ես այնպիսի մի բան եմ գտել, որ ինքս եմ զարմացած, սակայն դեռևս որևէ բան չեմ կարող ասել, բացի այն, որ այս ամենը նոր, բացարձակապես այլ աշխարհ է բացահայտում»։ Երբ 1825 թվականին Յանը Մարոշ-Վաշարխելիում այցելեց հորը, բացարձակ երկրաչափության հայտնագործումը (ինչպես ինքն էր այն անվանում) արդեն իրականացված էր, սակայն հետո հիասթափվեց։ Առաջինն այն էր, որ հայրը չէր կարողանում հասկանալ, որ երբ հերքվում է XI աքսիոման, կարող են գոյույթյուն ունենալ անվերջ քանակի տարբեր երկրաչափություններ, և որ այդ  աքսիոմի ճշմարիտ կամ կեղծ լինելու հարցը անիմաստ է, քանզի  և՛ աքսիոմը, և՛ դրա ժխտումը մյուս աքսիոմների հետ միասին, կազմում են հակասություններից զերծ համակարգ։

Երբ 1830 թվականին  Տիմիշոարայի իր առաջին կայազորից Յանին տեղափոխեցին Լվով, նա որոշեց հոր միջնորդությամբ Գաուսի դատին հանձնել իր աշխատանքը, սակայն ձեռագիրը կորավ, և 1832 թվականին Գետինգեն հասավ դրա մեկ այլ, բարելավված տարբերակը։ Գաուսը պատասխանեց, որ աշխատանքը համահունչ է իր այն մտքերին, որոնց մասին նա մտորում էր վերջին 30 տարիների ընթացքում, և նա ուրախ է, որ իր ընկերոջ որդին իրենից առաջ  ընկավ։ Իր մեկ ուրիշ ընկերոջը հասցեագրված նամակում նա Յանին առաջին մեծության հանճար է անվանում և խոստովանում է, որ իր իսկ գաղափարները հեռու էին այն հասունությունից, որին հասել էր Բոյայի-կրտսերը։

Սակայն այդ ամենը չբավարարեց  Յանի անսահման պատվախնդրությունը, նա անգամ չէր հավատում, որ Գաուսը ճշմարտություն է գրում, և սկսեց կասկածել, որ իր հայրը խաբեությամբ ընկերոջն է ներկայացրել  նոր երկրաչափության գաղտնիքները։

Այս անհեթեթ կասկածը Յանին հեռացրեց այս երկու մարդկանցից, որոնք հասկանում էին խնդրի կարևորությունը, և երիտասարդ Բոյայիի շրջապատում որևէ այլ մեկը չէր կարող փոխարինել նրանց։ Յանը մեկուսացավ, նրա հավակնությունները բոլորի նկատմամբ գնալով մեծանում էին, հատկապես հոր նկատմամբ, ում նա անգամ մենամարտի կանչեց։ Զինվորական ղեկավարության տված ծառայողական բնութագրում գրված էր․ «1832 թվականին թագավորական արքունիկի խորհրդական, մեծագույն մաթեմատիկոս  Գաուսից շնորակալագիր է ստացել մի գրքույկի համար։ Պիտանի է մաթեմատիակայի պրոֆեսորի պաշտոնի համար»։ Այնուհետև նույն բնութագրում գրված էր․ «սակավախոս է, դյուրագրգիռ, տաքարյուն, չի շփվում սպաների հետ, ինժեներական աշխատանքում եռանդ չի ցուցաբերում, մոլի շախմատիստ է»

Յանին 1833 թվականին ուղարկում են թոշակի․ նրա հետագա ճակատագիրը իր ընտանիքի, շրջապատի հետ խռով լինելը և միայնակ մարդու պատմություն է։ Փայլուն սպայից նա վերածվեց տարօրինակ, ազնվական կոչումները կորցրած կռվարար մի մարդու, որին բոլորը մատնացույց էին անում։ Միայն ջութակն ու մաթեմատիկան էին փրկում նրան վերջնական կործանումից։

 Երբ 1860 թվականին նա Տրանսիլվանիայում մահացավ, ոչ ոք այդպես էլ չիմացավ, որ կյանքից հեռացավ մեծագույն մտածողներից  մեկը։ Երբ խոսքը գնում է երեկվա և այսօրվա մաթեմատիկայի մասին, ապա Վոլֆգանգ Բոյայիին հարկավոր է ընդունել որպես երեկվա, իսկ իր որդուն՝ այսօրվա մաթեմատիկայի ներկայացուցիչ, ինչպես նաև Լոբաչևսկուն, որը Գաուսի և Բոյայի-կրտսերի հետ բացահայտեց ոչ Էվկլիդեսյան երկրաչափությունը։ Արևմուտքում  ռուսերենի չիմացությունն էր պատճառը, որ Կազանում գրված Լոբաչևսկու աշխատանքները բավականին ուշ հասան Գերմանիա և այլ երկրներ։   Ո՞րն է ոչ Էվկլիդեսյան երկրաչափության իմաստը։ Այն չի ապացուցում ոչ այն, որ հարթության մեջ ուղիղ գծի վրա չգտնվող կետից անցնում է նրան զուգահեռ միայն մեկ ուղիղ, ոչ էլ այն, որ նման զուգահեռները մեկից ավել են։ Վոլֆգանգ Բոյայիի «Tentamen» աշխատության հավելման մեջ հենց  Յան Բոյային ապացուցեց, որ զուգահեռի եզակիության, ինչպես նաև զուգահեռի բազմակիության մասին հաստատումը համահունչ է Էվկլիդեսի մնացած աքսիոմների հետ, և որ Էվկլիդեսը ճիշտ էր՝ XI աքսիոմը պոստուլատների շարքում դասելով: 

Եթե այդ պոստուլատը բաց թողնվեր, ապա կստացվեր, այսպես կոչված ,«պաներկրաչափություն», իսկ եթե այն փոխարինվեր բազմակի զուգահեռների հաստատումով, ապա կստացվեր Բոյայի-Լոբաչևսկու ոչ էվկլիդեսյան երկրաչափությունը։Այս ճանապարհով առաջ գնալով՝ ժամանակակից մաթեմատիկական տրամաբանությունը, ի դեմս Գյոդելի, եկավ այն եզրակացության, որ այս հակասությունը (որը Վոլֆգանգ Բոյային անվանում էր սպիտակ բիծ, Արարչի բացթողում), աքսիոմների յուրաքանչյուր համակարգի առանձնահատկություն  է․ աքսիոմների ոչ մի համակարգ ամբողջական չէ, քանզի յուրաքանչյուրում կարելի է ձևակերպել անլուծելի դրույթ։ 

Ինչու՞  այլ երկրաչափությունների հայտնագործումը, որոնք նույնիսկ այսօր անհայտ են բարձրագույն կրթություն ունեցող մարդկանց (եթե նրանք մաթեմատիկոս չեն),  գիտության պատմության վճրորոշ փուլ պետք է համարել: Արդյո՞ք հարկավոր է կարևորել այնպիսի հայտնագործությունները, որոնք միայն դժվարությամբ կարելի է բացատրել, այն էլ բարձրակարգ կրթությամբ մարդկանց միայն մի որոշ տոկոսին։ Բանն այն է, որ տարրական երկրաչափությունը, որի դրույթները հիմնել էր Էվկլիդեսը (այն այժմ ուսումնասիրում են հանրակրթական դպրոցներում, և այն հասանելի է երիտասարդության մեծ մասին), հիանալի կերպով հարմար է պինդ մարմինների նկարագրության համար և օպտիկական պարզունակ երևութների բացատրության համար։ 

Սրա հիմքում ընկած է  բազմաթիվ սերունդների փորձը և  նման մարմինների վարքագծի մասին գիտելիքները, որոնք ձեռք են բերվել մարդկության ձևավորման սկզբում,  իսկ Էվկլիդեսի աքսիոմները միայն տեսողության և հպման միջոցով ձեռք բերված տարածության մասին գիտելիքների շարադրություն են: Սա է այն հիմնական պատճառը, որ այլ երկրաչափությունները երկար ժամանակ համարվում էին գիտնականների անհավանական հորինվածքներ, որոնց իմաստը պարզ և հասկանի երևույթները մթության մեջ պահելն էր։ 

Շարունակություն․․․