Մաթեմատիկական հայտնություն

Ուսուցչի դիմանկար

Ջորջ Փոյա

Ականավոր մաթեմատիկոս և մանկավարժ Ջորջ Փոյան[1] ծնվել է Հունգարիայում, 1888թվականին։ Երկրորդ աշխարհամարտին նախորդող տարիներին ապրել և աշխատել է Շվեյցարիայում, Անգլիայում և Գերմանիայում։ Ֆաշիստական կուսակցության իշխանության գալը և եվրոպական շատ երկրների զավթումը գիտնականին ստիպել են ԱՄՆ արտագաղթելու, որտեղ նա հաջողությամբ շարունակել է գիտական և մանկավարժական գործունեությունը (մասնավորապես՝ Սթենֆորդի համալսարանում)։

Մաթեմատիկոսներին Փոյան քաջ հայտնի է որպես բազմաթիվ ու բազմաբնույթ գիտական աշխատությունների և մենագրությունների հեղինակ (մի քանիսը՝ հայտնի մաթեմատիկոսներ Գ. Հարդիի, Ջ. Լիթլվուդի, Գ. Սեգյոլի համահեղինակությամբ)։ Դրանցից առավել արժեքավոր են համարվում «Անհավասարություններ», «Խնդիրներ ու թեորեմներ մաթեմատիկական վերլուծությունից» գրքերը, որոնք բացառիկ են նյութի բովանդակալից շարադրման և քննարկվող առարկաների մանրակրկիտ վերլուծության առումով։

Ցավոք, նշանավոր գիտնականները միշտ չէ, որ օժտված են եղել մանկավարժական տաղանդով և տիրապետել նաև դասավանդման մեթոդիկայի գաղտնիքներին (հանրահայտ է, ասենք, դանիացի հռչակավոր ֆիզիկոս Նիլս Բորի օրինակը)։ Դեռ ավելին`ֆրանսիացի մեծ գիտնական Դալամբերն, օրինակ, պնդում էր. «Խորհել սովորեցնող դասախոսություններն ու գրքերը կարող են օգտակար լինել միայն այն անձանց, ովքեր առանց դրանց էլ յոլա կգնային»։ Բարեբախտաբար, կան նաև «երջանիկ բացառություններ» և այդ թվում՝ գերմանացի հանրահայտ մաթեմատիկոս Լեոնարդ էյլերը, ով իր աշխատություններում միշտ անկեղծորեն և հմտորեն գծանշում էր այն ուղիները, որոնցից օգտվում էր իր մաթեմատիկական ստեղծագործության մեջ։

Այդպիսի մոտեցման եոանդուն ջատագովներից էր նաև Ջորջ Փոյան։ Նշանակալից է, օրինակ, որ նրա «Ինչպե՞ս խնդիր լուծել» գրքի վերաբերյալ ժամանակակից տաղանդավոր մաթեմատիկոս, հանրահաշվի մասնագետ Բ. Լ. Վան-դեր-Վարդենը 1952 թվականի փետրվարի 2-ին Ցյուրիխի համալսարանում կարդացած իր ներածական դասախոսության մեջ շեշտել է. «Յուրաքանչյուր ուսանող, յուրաքանչյուր գիտնական և մանավանդ՝ յուրաքանչյուր ուսուցիչ պետք է ընթերցի այս գրավիչ գիրքը»։

Փոյայի դասավանդման մեթոդիկայի ղեկավար սկզբունքն է՝ սովորողների մեջ ոչ միայն տրամաբանական դատողությունների, այլև՝ իմացաբանական (էվրիսթիկ) մտածողության հաստատուն ունակությունների սերմանումը։ Այդ նպատակով նա բազում հնարքներ է կիրառում` մանրազնին կշռադատված, հստակ ցուցումների համակարգ, բազմատեսակ խորհուրդ-հանձնարարականներ, «գլխի գցող» հարցեր, մակածական (ինդուկտիվ կամ, ինչպես Փոյան է անվանում, «ճշմարտանման») դատողություններ, ամենատարբեր բնագավառներից (մաթեմատիկա, ֆիզիկա, աստղագիտություն, անգամ`բժշկություն և դատական գործունեություն) օրինակներ և այլն։ Եվ հիմնական եզրակացությունը, որին հանգում և որը համոզիչ կերպով հիմնավորում է գիտնականը, հետևյալն է` մաթեմատիկոսն իր յուրահատուկ («մաթեմատիկական») ստեղծագործության մեջ նույն կերպ կիրառում է դիտարկումներն ու ընդհանրացումները, հիպոթեզներն ու գիտափորձերը, ինչպես և ցանկացած այլ բնագավառի հետազոտող-մասնագետ. և աոաջին հերթին`հենց այդպիսի մոտեցումն է անհրաժեշտ մանկավարժին ու դասախոսին։ Այլ կերպ ասած` մաթեմատիկան ամենևին էլ չոր, վերացական, կյանքից կտրված գիտություն չէ (ինչպես շատերն են կարծում դպրոցն ավարտելուց հետո), այլ ընդհակառակը՝ կենսունակ, լայն կիրառելի և անչափ հետաքրքիր մի բնագավառ…

Բայց այս ամենը գերադասելի է լսել հենց իրենից՝ Ջորջ Փոյայից։

Արդ՝ ընթերցողի ուշադրությանն ենք արժանացնում ուսուցման, դասավանդման և դասավանդում սովորեցնելու առեղծներին նվիրված մի գլուխ` «Մաթեմատիկական հայտնություն» գրքից («Նաուկա» հրատ. Մոսկվա. 1970 թ. )։ Զուր չէ ասված, որ գրողին լավագույնս իր իսկ ստեղծագործություններն են բնորոշում։ Ստորև ներկայացվող դրվագն ընթերցելիս, կարծում ենք, ձեր առջև կհառնի իմաստուն, նպատակասլաց, «կյանք տեսած» (միգուցե իր իմաստնությունից նույնիսկ մի փոքր հոգնած, բայց և լավատեսությունը չկորցրած), ցանկացած նյութ հետաքրքիր ու մատչելի շարադրելու հմտությամբ լիուլի օժտված, սրամիտ, կատակն ու մեղմ, բարի հումորը գնահատող (և հումորին տիրապետող) ծեր գիտնականի՝ Ուսուցչի դիմանկարը…

Ներածությունը՝ թարգմանչի
1994թ. 

Գլուխ 14
Ուսուցման, դասավանդման և դասավանդում սովորեցնելու մասին

13-րդ գլուխը

Այն, ինչն ստիպված եք եղել ինքներդ հայտնաբերել, թողնում է ձեր մտքի մեջ մի շավիղ, որից կրկին կարող եք օգտվել, երբ դրա անհրաժեշտությունն առաջանա։
Գ. Լիխթենբերգ «Աֆորիզմներ», Բեռլին. 1902-1906

Ամեն մի մարդկային իմացություն սկսում է հայեցություններից, դրանցից անցնում հասկացություններին և ավարտի հասնում հիմնասկզբունքներով։
Կանտ «Զուտ բանականության քննադատություն», երկեր, հատոր 3, Մոսկվա. 1961, էջ 591

Ես ջանացել եմ գրել այնպես, որ ուսումնասիրողը միշտ կարողանա տեսնել իր կողմից հետազոտվող աոարկաների ներքին հիմնակմախքը, որ կարողանա գտնել հայտնագործման աղբյուրը և հետևապես ամեն ինչից այնպես գլուխ հանել, ինչպես եթե ինքն այդ հնարած լիներ։
Լայբնից. “Mathematische Schriften” Հատ, VII, Բեռլին. 1880, Էջ 9

1. Դասավանդումը գիտություն չէ

Ես ձեզ կներկայացնեմ ուսուցման գործընթացի, դասավանդման արվեստի և դասավանդում սովորեցնելու վերաբերյալ իմ որոշ տեսակետները։

Այդ տեսակետները բազմամյա փորձի արգասիք են: Ընդհանուր առմամբ, անձնական տեսակետների արտահայտումը միշտ չէ որ տեղին է, ես չէի համարձակվի ձեզանից ժամանակ խլել, եթե դասավանդումը լիովին կարգավորվեր գիտական փաստերով և տեսությունններով։ Սակայն իրականության մեջ դա այդպես չէ։ Իմ կարծիքով՝ դասավանդումը նաև ընդամենը միայն գործնական հոգեբանության մի ճյուղը չէ (համենայն դեպս` ներկայումս)։

Դասավանդումը որոշակի կապի մեջ է ուսուցման հետ։ Ուսումնասիրման (նոր գիտելիքների ձեռքբերման) գործընթացի փորձարարական և տեսական հետազոտությունը հոգեբանության ընդարձակ և արդյունավետ զարգացող մի ճյուղն է։ Սակայն այժմ ես այլ բան նկատի ունեմ։ Այստեղ մենք գլխավորապես կզբաղվենք ուսուցման բարդ գործընթացներով, ինչպիսիք են հանրահաշվի ուսուցումը կամ մաթեմատիկայի մեթոդիկա սովորեցնելը, որոնք շաղկապված են երկարատև մանկավարժական ներգործությունների հետ։ Իսկ հոգեբանությունը հիմնականում զբաղվում է կարճատև, պարզեցված իրադրություններով և համարյա ողջ ուշադրությունը դրան է հատկացնում։ Արդ` հոգեբանությունը կարող է մեզ հետաքրքիր ինչ-որ բաներ հուշել, բայց դրանք մեզ հետաքրքրող առեղծների լուծման նշույլներ կլինեն միայն, որոնք վերջնական եզրակացության կայացմանը չեն հավակնի[2]։

2. Դասավանդման նպատակը

Մենք չենք կարող ուսուցչի գործողությունները գնահատել, եթե չգիտենք նրա նպատակը։ Սենք չենք կարող ուսուցման գործընթացը իմաստավորված կերպով քննարկել, քանի դեռ որոշակի համաձայնության չենք եկել այն բանի շուրջ, թե ո՛րն է դասավանդման նպատակը։

Ուզում եմ ավելի կոնկրետ լինել։ Ես այստեղ նկատի ունեմ միջին դպրոցի դասընթացի ծավալով մաթեմատիկայի դասավանդումը և «հնատարազ» գաղափարն այն մասին, թե ինչպիսին պետք է լինի նշված նպատակը` նախ և աոաջ (և դա անտարակույս ամենագլխավորն է) հարկ է երիտասարդությանը մտածել սովորեցնել։

Դա իմ հաստատ համոզմունքն է. դուք կարող եք այն լիովին չընդունել, բայց կարծում եմ`թեկուզ մասնակիորեն համաձայն եք դրան։ Եթե դուք չեք ընդունում մտածողական ընդունակության դաստիարակությունը որպես միջին դպրոցի մաթեմատիկայի դասընթացի առաջնահերթ նպատակ, ապա գուցե այդ նպատակը երկրորդային եք համարում, անգամ այդ դեպքում հետագա վիճաբանությունների բեղմնավորության համար մենք բավականաչափ շփման կետեր կգտնենք։

«Մտածել սովորեցնել» կարգախոսը նշանակում է, որ մաթեմատիկայի ուսուցիչը ոչ միայն տեղեկատվության աղբյուր պետք է ծառայի, այլ պարտավոր է ջանալ նաև այդ տեղեկատվության օգտագործմանն ուղղված՝ սովորողների ընդունակությունները զարգացնել, նա իր աշակերտների մոտ պետք է աճեցնի մտածելու կարողություն, դրան վերաբերող ունակություններ, խելքի որոշակի կերտվածք։ Հնարավոր է` այդ նպատակն ավելի մանրամասն լուսաբանման կարիք ունի (դասավանդման հարցերին նվիրված իմ բոլոր տպագիր աշխատությունները կարող են նման լուսաբանում դիտվել)։ Այստեղ սակայն բավական է միայն երկու հանգամանք շեշտել:

Նախ`այն մտորումները, որոնց մասին խոսում ենք այստեղ, ոչ թե պարապ հերյուրանքներ են, այլ` «նպատակաուղղված մտորմունքներ» կամ «կամային մտորմունքներ» (Ուիլյամ Ջեյմս[3]). կամ «արգասավոր մտորմունքներ» (Մաքս Վերթհայմեր[4])։ Նման «մտորումները» կարելի է նույնացնել, գոնե առաջին մոտավորությամբ, «խնդիրների լուծման» հետ։ Եվ ես համարում եմ, որ միջին դպրոցում մաթեմատիկայի դասընթացի կարևորագույն նպատակներից մեկը սովորողների մոտ խնդիրներ լուծելու կարողություն զարգացնելն է։

Երկրորդ` մաթեմատիկական մտածողությունը չի կարելի զուտ «ձևական» համարել, այն խարսխված չէ միայն աքսիոմների, սահմանումների և խիստ ապացույցների վրա, այլ բացի դրանցից շատ ուրիշ բաներ է նաև ներգրավում, քննարկված դեպքերի ընդհանրացում, համանմանության օգտագործում, մի ինչ-որ կոնկրետ իրադրության մեջ մաթեմատիկական բովանդակության հայտաբերում կամ զատում։ Մաթեմատիկայի ուսուցիչը շատ հարմար առիթներ ունի` ծանոթացնելու իր աշակերտներին մտածողական գործընթացի այդ չափազանց կարևոր «ոչ ձևական» շրջաններին, և ինձ թվում է, թե նման առիթները նա պետք է որ ավելի լայն, շատ ավելի լայն օգտագործեր, քան դա անում է ներկայումս։ Այդ նույն միտքը հակիրճ, թեև ոչ լրիվ տեսքով արտահայտելով` կարելի է ասել` հարկավոր է բոլոր միջոցներով սովորեցնել ապացուցելու արվեստը` միաժամանակ չմոռանալով նաև կռահելու արվեստի մասին։

3. Դասավանդումն արվեստ է

Դասավանդումը ոչ թե գիտություն է, այլ` արվեստ։ Այդ կարծիքն արտահայտվել է այնքան մարդկանց կողմից և այնքան անգամ, որ նույնիսկ անհարմար եմ ինձ զգում՝ կրկնելով այն։ Սակայն, եթե թողնենք բավականին ծեծված ընդհանրացումները և անցնենք կոնկրետ մանրամասներին, ապա այդ մաշված ասույթը մեզ թույլ կտա ցայտուն կերպով լուսաբանել մեր մասնագիտության մեջ հանդիպող որոշ հնարքները։

Դասավանդումն, ակներևորեն, շատ ընդհանրություններ ունի թատերական արվեստի հետ։ Դիցուք` պահանջվում է ցուցադրել ձեր դասարանին մի ապացույց, որը հիանալի գիտեք, քանզի բազմիցս այն շարադրել եք անցած տարիներին այդ նույն առարկան վարելիս։ Իհարկե, այդ ապացույցը ձեզ այլևս չի կարող հետաքրքրել, բայց խնդրում եմ դասարանին դա ցույց մի՛ տվեք, եթե դասարանը նկատի, որ ձեզ համար դա ձանձրալի է, ապա այն իսկույն տաղտկալի կդառնա նաև բոլորի համար։ Ձեռնամուխ լինելով ապացույցին` աշխատեք հետաքրքրված երևալ, ապացույցի ընթացքում ձեռքից բաց մի՛ թողեք հետաքրքիր գաղափարների վրա սովորողների ուշադրությունն ուղղելու հնարավորությունը։ Ապացույցն ավարտելով` աշխատեք փոքր-ինչ զարմացած թվալ և սովորողներին հնարավորություն տվեք նկատելու ձեր բարձր տրամադրությունը։ Դուք պետք է մի փոքրիկ ներկայացում տաք այն սովորողների շահերից դրդված, որոնց քննարկվող հարցի նկատմամբ ձեր վերաբերմունքը կարող է ավելին ընձեռել, քան դրա բուն էությունը։

Պետք է խոստովանեմ, որ բավականություն եմ ստանում նման փոքրիկ ներկայացումներից` առանձնապես այժմ, երբ արդեն ծեր եմ և մաթեմատիկայի մեջ շատ հազվադեպ եմ ինչ-որ մի նոր բան հայտնաբերում. թատերախաղը, որտեղ անցյալում այս կամ այն մանրամասնի հայտնագործումը նմանակող տեսարան եմ ներկայացնում, փոքրիկ բավարարվածություն կարող է ինձ պատճառել։

Դասավանդումը (թեև դա պակաս նկատելի է) նաև երաժշտության հետ ինչ-որ ընդհանուր բան ունի[5]։ Դուք, իհարկե, գիտեք, որ ուսուցիչը հաճախակի ստիպված է լինում միևնույն առարկայի մասին խոսել ոչ թե մեկ կամ երկու, այլ երեք, չորս, հինգ անգամ… Սակայն միևնույն ասելիքի բազմաթիվ անգամներ, առանց ընդհատման և առանց ձայնի ելևէջի փոփոխման կրկնությունը կարող է ունկնդրին վանել պատմած նյութից և դրանով իսկ վնաս հասցնել այն նպատակին, հանուն որի կրկնվում եք։ Սովորե՛ք երգահաններից, թե ինչպես դա ավելի լավ անել։ Կարևորագույն երաժշտական ձևերից մեկն է «թեման տարափոխումներով (վարիացիաներով)»։ Մանկավարժություն փոխադրելով այդ երաժշտական ձևը` սկսեք ձեր ասելիքի շարադրանքից` դրա պարզագույն տեսքով, երկրորդ անգամ կրկնեք այն մի փոքր փոփոխությամբ, երրորդ անգամ նոր, ավելի վառ երանգներ ավելացրեք և այլն։ Ավարտելով`կարող եք վերադառնալ սկզբնական պարզ ձևակերպմանը։ Մեկ այլ, կարևոր երաժշտական ձև է «ռոնդոն»։ Մանկավարժություն փոխադրելով նաև այդ երաժշտական ձևը` ձեր հիմնական միտքը կրկնում եք մի քանի անգամ` փոքրիկ փոփոխություններով կամ բոլորովին առանց փոփոխությունների, սակայն միաժամանակ ներառնում եք կրկնումների միջև համապատասխան կերպով ընտրած ցուցադրական նյութը։ Հուսով եմ, որ հաջորդ անգամ Բեթհովենի թեման տարափոխումներով (վարիացիաներով) կամ Մոցարտի ռոնդոն լսելիս`փոքր–ինչ կմտածեք նաև դասավանդման մեթոդիկայի առեղծների մասին…

Ժամանակ առ ժամանակ դասավանդումը կարող է մոտենալ բանաստեղծական արվեստին, իսկ երբեմն` անպատկառությանը (ցինիզմին)։ Թույլ տվեք պատմել ձեզ մի փոքրիկ անցք մեծն Էնշտեյնի մասին։ Մի անգամ ներկա էի Էնշտեյնի հետ մի խումբ ֆիզիկոսների զրույցին։ «Ինչո՞ւ բոլոր էլեկտրոնները նույնական լիցք ունեն,- հարցը կրկնեց Էնշտեյնը։- Դե, լա՛վ, իսկ ինչո՞ւ այծի բոլոր թրիքագնդիկները նույն չափսն ունեն»։ Ինչպե՞ս կարող էր Էնշտեյնն իրեն թույլ տալ այդպես արտահայտվելու: Արդյո՞ք միմիայն բարձրաշխարհիկ (սնոբ) մի քանիսին շփոթեցնելու համար։ Չեմ կարծում, որ դա էր նրա նպատակը։ Հավանաբար, հիմքերն այստեղ ավելի խորն են։ Կարծում եմ` պատահականորեն իմ կողմից լսված դիտողությունն այնքան էլ պատահական չէր։ Այսպես թե այնպես` նշված դիտողությունից որոշ բան քաղեցի: Ինձ համար վերացարկումները լավ են, բայց բոլոր միջոցներն օգտագործեք այդ վերացարկումներն ավելի շոշափելի դարձնելու: Ձեր վերացական կառուցվածքները պարզեցնելու համար թող ոչինչ չթվա չափազանց լավ կամ չափազանց վատ, չափազանց բանաստեղծական կամ չափազանց ցածր։ Մոնտենն ասել է. «Ճշմարտությունն այնքան մեծ բան է, որ ոչինչ չպետք է արհամարհենք, ինչը ճշմարտությանն է հասցնում»։ Հետևապես, եթե նրբազգացությունը ձեզ թելադրում է, որ տեղին է դասարանի առջև մի քիչ բանաստեղծ կամ մի փոքր անպատկառ (ցինիկ) պատկերանալ, մի՛ հրաժարվեք դրանից` սխալ հասկացվող զսպվածությունից դրդված։

4. Ուսումնասիրման երեք սկզբունքները

Դասավանդումն արհեստ է, և ինչպես յուրաքանչյուր արհեստ` այն շատ հնարքներ և հնարամտություններ ունի։ Ամեն մի լավ ուսուցիչ իր սեփական հնարքներն ունի, և դրանով էլ ամեն մի լավ ուսուցիչ տարբերվում է ցանկացած ուրիշ լավ ուսուցչից։

Ուսուցման յուրաքանչյուր արդյունավետ հնարքը պետք է համապատասխանի ուսումնասիրման որոշակի եղանակին։ Մենք այնքան էլ շատ բան չգիտենք այն մասին, թե ինչպես է ընթանում ուսումնասիրման գործընթացը, բայց դրա մի քանի ակնհայտ գծերի նույնիսկ ամենակոպիտ ուրվագիրը կարող է ցանկալի լույս սփռել դասավանդողի հնարքների վրա։ Թույլ տվեք ներկայացնել ձեզ այդ կոպիտ ուրվագիրը` ուսումնասիրման երեք «սկզբունքների» տեսքով։ Դրանց ձևակերպումը, ինչպես նաև այդ սկզբունքների ընտրությունն ինձ են պատկանում, սակայն այդ սկզբունքներն ինքնին ոչ մի դեպքում նոր չեն։ Դրանք ամենատարբեր տեսքերով բազմիցս ձևակերպվել են ավելի վաղ, դրանք բազմադարյան փորձաոությունից են ծնված, մեծ մարդկանց դատողություններով են հաստատված և, բացի այդ, թելադրված են ուսումնասիրման գործընթացի հոգեբանական կողմի հետազոտմամբ։ Այդ «ուսումնասիրման սկզբունքները» կարող են դիտվել նաև որպես «ուսուցման սկզբունքներ», սա է գլխավոր փաստարկը` վերջիններս հենց այստեղ պարզաբանելու օգտին, սակայն ավելի մանրամասն կասեմ այդ մասին ավելի ուշ։

1. Եռանդուն ուսումնասիրում
Հաճախ և տարբեր կերպ ասվել է, որ ուսումնասիրումը պետք է լինի եռանդուն և ոչ թե կրավորական կամ ռեցեպտիվ, այսինքն` միմիայն ընկալման վրա հիմնված, սահմանափակվելով գրքերի ընթերցմամբ, դասախոսությունների ունկնդրմամբ կամ կինոնկարների դիտմամբ, ինչը չի ուղեկցվում սեփական բանականության եռանդուն գործունեությամբ, հազիվ թե կարողանաք որևէ բան ուսամնասիրել և անկասկած չեք կարողանա շատ բան ուսումնասիրել։
Կա ևս մեկ, հաճախ ձևակերպվող (և վերը նշվածին մոտ) կարծիք. «Ինչ-որ մի բան ուսումնասիրելու լավագույն եղանակն է ինքնու­րույն հայտնաբերելը»: Լիխթենբերգը (18-րդ դարի գերմանացի ֆիզիկոս, ավելի հայտնի որպես ասույթներ հորինող) այստեղ մի հետաքրքիր բնորոշ գիծ է ավելացնում. «Այն, ինչը հարկադրված եք եղել ինքներդ հայտնաբերել, թողնում է ձեր մտքի մեջ մի շավիղ, որից կրկին կկարողանաք օգտվել, երբ դրա անհրաժեշտությունը կառաջանա»: Պակաս գունեղ, բայց գուցե և ավելի լայն կիրաոելի է հետևյալ ձևակերպումը. «Որպեսզի ուսումնասիրումն ավելի գործուն լինի, սովորողը պետք է ինքնուրույն հայտնաբերի ուսումնա­սիրվող նյութի առավել մեծ մասը, որը հնարավոր է տվյալ հանգամանքներում»։
Դրան է հանգում եռանդուն ուսումնասիրման սկզբունքը (Principle of active learning. Arbeitsprinzip)։ Սկզբունքն այդ շատ հին է. այն դրված է «Սոկրատեսի մեթոդ» գաղափարի հիմքում։

2. Լավագույն շարժառիթ
Մենք ասում էինք, որ ուսումնասիրումը պետք է եռանդուն (գործուն) լինի, բայց սովորողը եռանդունություն հանդես չի բերի, եթե դրա դրդապատճառը չունենա։ Նա պետք է մտավոր եռանդունության դրդվի մի որևէ շարժառիթով, օրինակ` պարգև ստանալու հույսով։ Սակայն ուսման համար ամենալավ շարժառիթը հետաքրքրությունն է, որը սովորողի մոտ առաջացնում է ուսումնասիրվող նյութը, իսկ լարված մտավոր գործունեության համար լավագույն պարգևը նման գործունեությունից ստացված բավականությունն է։ Իսկ եթե այդ ամենալավը ունենք, ի՞նչ, այնժամ պետք է ջանանք փոխարինելու այն մի ինչ-որ լավ կամ նույնիսկ սոսկ բավականաչափ լավ բանո՞վ. պետք չէ մոռանալ նաև ուսումնասիրման այլ շարժառիթների մասին՝ զուտ ներքիններից բացի։
Սովորողը ուսումնասիրման գործունության համար պետք է հետաքրքրվի ուսումնասիրվող նյութով, հաճույք ստանա ուսումնասիրման բուն գործընթացից։ Սակայն ուսումնասիրման այդ ամենալավ շարժառիթներից բացի կան նաև ուրիշներ, որոնց մի մասը կարելի է ցանկալի համարել (սովորել չցանկանալու համար պատիժը գուցե վատագույնն է սովորողի աշխատանքի խթանման կիրառվող մեթոդներից)։
Այս պնդումն անվանենք լավագույն շարժառիթի սկզբունք։

3. Ուսումնասիրման փուլերի հաջորդականություն
Սկսենք Կանտի հաճախ մեջբերվող ասույթից. «Ամեն մի մարդկային իմացություն սկսում է հայեցություններից, դրանցից անցնում հասկացություններին և ավարտի հասնում հիմնասկզբունքներով»: Այս մտքի հայերեն թարգմանության մեջ գործածվում են հետևյալ եզրերը` «հայեցություն», «հասկացություն», «հիմնասկզբունք»։ Ես ի վիճակի չեմ (արդյո՞ք ի վիճակի է ուրիշ որևէ մեկը) վերծանելու ճշգրիտ իմաստը, որը Կանտն է ներդնում այս եզրերի մեջ, սակայն ձեր թույլտվությունն եմ խնդրում`այստեղ շարադրելու Կանտի հռչակավոր ասույթի իմ սեփական ըմբռնումը. ուսումնասիրումն սկսվում է ներգործությունից և ընկալումից, դրանցից անցնում բառերին և հասկացություններին և պետք է ավարտվի մտավոր կերտվածքի ինչ-որ նոր աոանձնահատկությունների դաստիարակմամբ։

Որպես սկիզբ` այս ասույթի իմ մեկնաբանման մեջ մտնող եզրերը ղիտարկեք, խնդրեմ, այն իմաստով, որն ի վիճակի եք սեփական փորձից օրինակներով լուսաբանելու (դրդել ձեզ մտաբերելու սեփական փորձը. ահա նպատակներից մեկը, որին ձգտում եմ)։ «Ուսումնասիրումը» պետք է ձեզ հիշեցնի դասարանը, որտեղ գտնվել եք իբրև սովորող կամ ուսուցիչ: «Ներգործությունը և ընկալումը» պետք է ձեր մեջ մտապատկեր զարթնեցնի կոնկրետ առարկաներով (մանր քարերով կամ խնձորներով, կարկինով և քանոնով, լաբորատոր գործիքներով և այլն) աշխատանքի և այդ առարկաների դիտումների մասին։

Եզրերի նման կոնկրետ մեկնությունը հեշտ և բնական կերպով է ընթանում, երբ մտածում ենք այս կամ այն պարզ, տարրական առարկաների մասին։ Սակայն ժամանակի ընթացքում կարելի է սովորել նման փուլերն առանձնացնելու` նաև ավելի բարդ նյութերով աշխատելիս։ Պայմանադրվենք տարբերել աշխատանքի երեք փուլ`հետազոտման փուլ, ձևականացման (ֆորմալիզացման) փուլ և յուրացման փուլ:

Աոաջինը` հետազոտման փուլը, ամենից ավելի մոտ է ներգործությանն ու ընկալմանը և ծավալվում է նախ և առաջ ներըմբռնողական կամ էվրիսթիկ (ճշմարտաբանական) մակարդակում:

Երկրորդը՝ ձևականացման (ֆորմալիզացման) փուլը, որը կապված է եզրաբանության, սահմանումների և ապացույցների հետ, հասնում է ավելի բարձր` հասկացությունների մակարդակին։

Երրորդը՝ յուրացման փուլր, վերջինն է, այն համապատասխանում է առեղծի «ներքին էությունը» ըմբռնելու փորձին, ուսումնասիրվող նյութն այս փուլում պետք է յուրացվի սովորողի կողմից, պետք է նրա գիտելիքների համակարգի մեջ մտնի, ընդլայնի նրա մտահորիզոնը. այս փուլը ճանապարհ է հարթում դեպի կիրառումները` մի կողմից, և դեպի ընդհանրացումներն ավելի բարձր մակարդակում`մյուս կողմից։

Ամփոփենք։ Ուսումնասիրման գործընթացի արդյունավետության համար հետազոտման փուլը պետք է նախորդի հասկացությունների բառային ձևակերպման և կազմման փուլին, իսկ ուսումնասիրված նյութը վերջում պետք է լրացնի սովորողի գիտելիքների ընդհանուր պաշարը՝ նպաստելով նրա մտավոր մակարդակի բարձրացմանը։

Այսպիսին է հաջորդական փուլերի սկզբունքը։

5. Ուսուցման երեք սկզբունքները

Ուսուցիչը պետք է ծանոթ լինի, թե ինչպես է ընթանում ուսումնասիրման գործընթացը։ Նա պետք է խուսափի գիտելիքների ձեռքբերման անարդյունավետ ճանապարհներից և օգտագործի արդյունավետ եղանակների առավելությունները։ Այդ նպատակով նա հաջողությամբ կարող է օգտագործել այն երեք սկզբունքները, որոնք հենց նոր դիտարկեցինք, այսինքն` եռանդուն ուսումնասիրման սկզբունքը, լավագույն շարժառիթի սկզբունքը և հա­ջորդական փուլերի սկզբունքը, ուսումնասիրման նշված երեք սկզբունքները միաժամանակ նաև ուսուցման երեք սկզբունքներն են։ Սակայն այստեղ պետք է հաշվի առնել մի անհրաժեշտ պայման, որպեսզի այս սկզբունքներից օգուտ քաղի, ուսուցիչը դրանց պիտի ծանոթ լինի ո՛չ միայն լսածի հիման վրա. նա պետք է խորապես վերապրի դրանք իր անձնական, լավ իմաստավորված փորձով։

1. Եռանդուն ուսումնասիրում
Այն, ինչ պատմում է ուսուցիչը դասարանում, իհարկե, կարևոր է, բայց հազար անգամ ավելի կարևոր է այն, ինչ մտածում են սովորողները։ Գաղափարները պետք է սաղմնավորվեն սովորողների մտքում, իսկ ուսուցչի դերն այս գործընթացում կարելի է համեմատել մանկաբարձուհու դերի հետ: Սա է Սոկրատեսի դասական խրատը և դրան ամենից լավ համապատասխանող ուսուցման ձևը սոկրատեսյան երկխոսությունն է: Դպրոցական ուսուցիչը որոշակի առավելություն ունի բուհական դասախոսի նկատմամբ, քանի որ շատ ավելի լայնորեն կարող է կիրարկել երկխոսության ձևը։ Բայց, ցավոք սրտի, միջին դպրոցում ևս որոշակի նյութ անցնելու համար հատկացվող ժամանակը խիստ սահմանափակ է, այնպես որ երկխոսության ձևով ողջ դասը վարելն անհնար է։ Սակայն մեր հին սկզբունքն ուժի մեջ է` թողեք հենց իրենց` սովորողներին` հայտնաբերել տվյալ հանգամանքներում առավելագույն հնարավորը։
Ես համոզված եմ, որ այդ առումով կարելի է անել շատ ավելին, քան սովորաբար արվում է։ Թույլ տվեք ձեզ հանձնարարել մի փոքրիկ հնարք. սովորողներին հնարավորություն ընձեռեք մասնակցելու այն խնդրի կազմմանը, որը նրանք պետք է լուծեն։ Եթե սովորողներն իրենց ավանդն են ներդրել խնդրի առաջադրելուն, ապա նրանք շատ ավելի եռանդուն կաշխատեն վերջինիս լուծման վրա։
Նշեմ, որ գիտնականի աշխատանքում ևս խնդրի առաջադրումը կարող է հայտնագործության առավել արժեքավոր մասը լինել: Խնդրի լուծումը շատ հաճախ պահանջում է պակաս ներթափանցում գործի էության մեջ և մտածողության պակաս ինքնօրինակություն, քան խնդրի ձևակերպումը։ Այսպիսով`սովորողներին հնարավորություն տալով իրենց ավանդը ներդնելու խնդրի նպատակահարմար պայմանը գտնելու մեջ, դուք ոչ միայն դրդում եք նրանց ավելի հաստատակամորեն աշխատելու, այլև նրանց մեջ մտածողության ցանկալի կերտվածք եք զարգացնում:

2. Լավագույն շարժառիթ
Ուսուցիչը պետք է իրեն համարի մի հանձնակատար, որը ցանկանում է պատանյակներին մի քիչ մաթեմատիկա «վաճառել»։ Բայց եթե հանձնակատարը իրացման խնդրում դժվարություններ է կրում, և նրա ապրանքը դրած է մնում, որովհետև հաճախորդները հրաժարվում են այն գնելուց, ապա նա չպետք է ամեն ինչում գնորդներին մեղադրի։ Հիշեցե՛ք, որ գնորդը միշտ իրավացի է`սկզբունքորեն, իսկ երբեմն և` գործնականորեն։ Երիտասարդը, որը հրաժարվում է մաթեմատիկա սովորելուց, գուցե և իրավացի է։ Պարտադիր չէ, որ ձեր սովորողը ծույլ կամ տխմար լինի`պարզապես նրան կարող է հետաքրքրել լրիվ այլ մի բան։ Ախր աշխարհում այնքա՜ն հետաքրքիր բան կա։ Եվ որպես ուսուցիչ, որպես գիտելիքներ մատակարարող՝ ձեր պարտքն է սովորողի մեջ հետաքրքրություն առաջացնել մաթեմատիկայի նկատմամբ, ցուցադրել նրան քննարկվող հարցի նրբագեղությունը և գեղեցկությունը, ստիպել նրան` հասկանալու, որ չի զղջա` ձեր առաջարկած խնդրի վրա ջանքեր թափելով։
Հետևապես` ուսուցիչը պետք է հատուկ ուշադրություն հատկացնի խնդրի ընտրությանը, դրա ձևակերպմանը և այն բանին, թե ինչպես վերջինս ավելի լավ մատուցի։ Խնդիրը պետք է իմաստալից տեսք ունենա ոչ միայն ուսուցչի, այլև սովորողի դիրքից։ Ցանկալի է, որ այն կապված լինի սովորողների առօրյա փորձի հետ, լավ է նաև, եթե խնդրի առաջադրումը կապակցվում է որևէ կատակի, բառախաղի կամ փոքրիկ պարադոքսի հետ։ Խնդիրը կարելի է նաև սկսել սովորողներին քաջ հայտնի մի փաստից, լավ է, եթե այն ընդսմին ընդհանուր հետաքրքրություն կամ կիրառումների հնարավորություն ներկայացնող ինչ-որ բան պարունակի։ Եթե կամենում ենք սովորողի ստեղծագործական ջանքերը խթանել, ապա պարտավոր ենք ինչ-որ հիմունքներ տալ նրան` ենթադրելու, որ նրա այդ ջանքերն ապարդյուն չեն կորչի։
Հատկապես սովորողի հետաքրքրությունն է նրա աշխատանքի լավագույն շարժառիթը։ Սակայն կան նաև այլ շարժառիթներ, որոնք չպետք է արհամարհել։ Թույլ տվեք ձեզ մի փոքրիկ խորամանկություն խորհուրդ տալ։ Նախքան սովորողները ձեռնամուխ կլինեն աշխատանքին` առաջարկեք նրանց կռահել արդյունքը կամ նույնիսկ դրա մի ինչ-որ մասը։ Որոշակի հիպոթեզ արտահայտած սովորողը դրանով իսկ իրեն կաշկանդում է` նրա հեղինակությունն ու սեփական արժանապատվության զգացումն ինչ-որ չափով այժմ կախված են գործի վախճանից, և նա անհամբեր ուզում է իմանալ` արդյո՞ք իր կռահումր ճիշտ կլինի, թե ոչ: Նա իր խնդրով և դասարանի աշխատանքով եռանդուն կերպով կհետաքրքրվի, նա չի քնի և ուշադրությունն այլ բանի վրա չի շեղի։
Նշեմ, որ գիտնականի աշխատանքում ևս կռահումը համարյա միշտ նախորդում է ապացույցին։ Այսպիսով` առաջարկելով սովորողներին կռահել արդյունքը` դուք դարձյալ ոչ միայն դրդում եք նրանց ավելի լարված աշխատելու, այլև նպաստում եք նրանց խելքի ցանկալի կերտվածքի կազմավորմանը։

3. Հաջորդական փուլեր

Մաթեմատիկայի դպրոցական դասագրքերի հիմնական թերությունն այն է, որ դրանցում պարունակվող խնդիրների հավաքածուն, սովորաբար, գրեթե բացառապես բաղկացած է քարացած նմուշներից։ Քարացած օրինակը կիրառման նեղ շրջանով մի օրինակ է. այն որևէ կանոնի լուսաբանումն է և միայն այդ կանոնի կիրառման գործնականն է ապահովում։ Նման քարացած օրինակները, հնարավոր է` օգտակար են և նույնիսկ անհրաժեշտ` դա ես չեմ ժխտում, սակայն այստեղ բացակայում են ուսուցման երկու կարևոր փուլերը` հետազոտման փուլը և յուրացման փուլը։ Այդ երկու փուլերն էլ նպատակ ունեն` դիտարկվող խնդիրը կապակցելու շրջապատող իրականության և ավելի վաղ ձեռքբերած գիտելիքների հետ: Առաջին փուլը` մինչև ձևական լուծումը գտնելը, երկրորդը` դրանից հետո։ Իսկ քարացած խնդիրն ակնհայտորեն կապակցված է միայն որոշակի մի կանոնի հետ, նրա կոչումն է` որևէ կանոնի լուսաբանմանը ծառայելը, և հազիվ թե նման խնդիրն ինչ-որ մի այլ բանի հետ առնչություն ունենա, այնպես որ այս դեպքում ավելի հեռավոր կապերի որոնումները դժվար թե օգտավետ լինեն։ Ի հակադրություն նման քարացած խնդիրների` միջին դպրոցը պետք է տրամադրի սովորողներին (գոնե ժամանակ առ ժամանակ) ավելի խորը, հարուստ, հետագա մշակման արժանի հետին պլան ունեցող, ինչպես նաև` գիտական աշխատանքի համը ճաշակելու հնարավորություն տվող խնդիրներ։
Ահա՛ մի փոքրիկ գործնական խորհուրդ` եթե խնդիրը, որը պատրաստվում եք դասարանում քննարկելու, այդ նպատակին հարմար է, ապա առաջարկեք սովորողներին` սկզբից ինչ-որ մի նախնական հետազոտում անցկացնել, դա խնդրի նաև ձևական լուծումը ստանալու ախորժակը կգրգռի։ Եվ չմոռանաք մի փոքր ժամանակ թողնել ստացված արդյունքների քննարկման համար, դա ձեզ կօգնի նաև հետագայում` ուրիշ խնդիրների լուծման ժամանակ։

4. Այս` շատ առումներով խիստ թերի քննարկմամբ ստիպված եմ սահմանափակելու ուսուցման երեք սկզբունքների` եռանդուն ուսումնասիրման, լավագույն շարժառիթի և հաջորդական փուլերի իմ վերլուծությունը։ Ինձ թվում է, որ այս սկզբունքները պետք է օրգանապես մտնեն ուսուցչի ամենօրյա աշխատանքի բոլոր տարրերի մեջ և կարող կլինեն լրջորեն օգնել նրան` իր աշխատանքում։ Կարծում եմ նաև, որ այդ երեք սկզբունքներից է անհրաժեշտ ելնել`ուսումնական դասընթացը ծրագրավորելիս, այդ դասընթացի յուրաքանչյուր առարկայի և առանձին առարկայի ծրագրում յուրաքանչյուր բաժնի ծրագիրը կազմելիս։
Եվ այնուամենայնիվ, բնավ չեմ պատրաստվում պնդել, որ այդ սկզբունքներն անվերապահորեն պետք է ընդունեք, չէ՛ որ դրանք բխում են տեսակետների որոշակի համակարգից, որոշակի տեսանկյունից, մինչդեռ ձեր տեսակետը կարող է բոլորովին այլ լինել։ Բայց ուսուցման գործում (ասենք`բավականին հաճախ և կյանքում) այնքան էլ կարևոր չէ, թե ինչպիսին է ձեր տեսակետն իրականում, շատ ավելի կարևոր է, թե ունե՛ք արդյոք ընդհանրապես մի տեսակետ տվյալ առարկայի վերաբերյալ, թե նման տեսակետ չունեք բոլորովին։ Եվ շատ կարևոր է, թե որքա՛ն եռանդուն կերպով եք աշխատում` կենսագործելու սեփական տեսակետը։ Ամբողջապես ժխտում եմ միայն այն սկզբունքները, որոնց չի հետևում հենց ի՛նքը` դրանք քարոզող անձնավորությունը։

6. Օրինակներ

Օրինակները կանոններից օգտակար են. թույլ տվեք անցնել դրանց, շատ ավելի արժեքավոր եմ համարում կոնկրետ օրինակները, քան ցանկացած ընդհանուր դատողությունները։ Այստեղ գլխավորապես շոշափել եմ ուսուցման հարցերը` միջին դպրոցի մակարդակին համապատասխան, ուստի օրինակներս այդ նույն նյութը կշոշափեն։ Հաճախ ինձ գոհունակություն է պատճառում այդպիսի օրինակների վերլուծումը, և կարող եմ ձեզ ասել, թե ինչու, ես աշխատում եմ դրանք այնպես շարադրել, որ այս կամ այն առումով հիշեցնեն ինձ սեփական հետազոտական աշխատանքիս փորձը, կարծես թե մի փոքրիկ ներկայացում եմ խաղում, որը սրտիս համար թանկ հայտնագործություններիցս որևէ մեկն է լուսաբանում` հասկանալի է. փոքրացված մասշտաբով։

1. Խնդիր յոթերորդ դասարանի համար
Դասավանդման արվեստի հիմնական ձևերից մեկն է սոկրատեսյան երկխոսությունը։ Դպրոցի միջին դասարաններից մեկում, ասենք` յոթերորդում, ուսուցիչը կարող է սկսել երկխոսությունը հետևյալ հարցով. «Ո՞ր ժամին է Սան Ֆրանցիսկո քաղաքում կեսօր լինում»։
— Բայց չէ՞ որ դա ամեն մեկը գիտե,- կարող է ուսուցչին պատասխանել աչքաբաց մի պատանյակ: Հնարավոր է` նույնիսկ այսպես ասի.
— Ա՛յ քեզ տխմար հարց, իհարկե, ժամը տասներկուսին։
— Իսկ ժամը քանիսի՞ն է կեսօր լինում Սաքրամենթո քաղաքում։
— ժամը տասներկուսին, իհարկե, ցերեկվա, այլ ոչ թե գիշերվա:
— Իսկ ժամը քանիսի՞ն է կեսօր լինում Նյու Յորքում։
— ժամը տասներկուսին։
— Բայց կարծում եմ, որ Սան Ֆրանցիսկոյում և Նյու Յորքում կեսօր է լինում տարբեր ժամերի, իսկ դուք ինձ ասում եք, որ և՛ այստեղ, և՛ այնտեղ կեսօրը լինում է ժամը տասներկուսին։
-Լա՛վ, թող այսպես լինի` Սան Ֆրանցիսկոյում կեսօր է լինում Արևմտյան ստանդարտ ժամանակով ժամը տասներկուսին, իսկ Նյու Յորքում` Արևելյան ստանդարտ ժամանակով ժամը տասներկուսին։
Իսկ ո՞րն է ստանդարտ ժամանակը Սաքրամենթոյում` Արևելյա՞ն, թե՞ Արևմտյան։
— Իհա՛րկե, Արևմտյան։
— Արդյո՞ք կեսօրը միևնույն պահին է գալիս Սան Ֆրանցիսկոյում և Սաքրամենթոյում ապրող մարդկանց համար։ Այո՞, թե՞ ոչ։
— Չե՞ք կարողանում պատասխանել։ Այդ դեպքում աշխատեք կռահել պատասխանը` որտե՞ղ է կեսօրը ավելի վաղ սկսվում` Սան Ֆրանցիսկոյո՞ւմ. թե՞ Սաքրամենթոյում։ Իսկ կամ միգուցե, այդ երկու քաղաքներում կեսօրը միաժամանա՞կ է գալիս։

Արդյո՞ք ձեզ դուր է գալիս յոթերորդ դասարանցի դպրոցականների հետ սոկրատեսյան ոգով զրույցի իմ գաղափարը։ Ի՛նչ էլ որ պատասխանեք, ձեզ համար դժվար չի լինի՝ պատկերացնել զրույցի հետագա ընթացքը։ Համապատասխան հարցերի օգնությամբ ուսուցիչը, Սոկրատեսին ընդօրինակելով, պետք է սովորողներին հասցնի այն բանի ըմբռնմանը, որ.

ա) հարկավոր է զանազանել «աստղաբաշխական միջօրեն» և պայմանական կամ «քաղաքացիական կեսօրը».
բ) «միջօրեի» կամ «կեսօրի» այդ երկու հասկացողություններն էլ սահմանման կարիք ունեն.
գ) հարկավոր է հասկանալ, թե ի՞նչ է «ստանդարտ (գոտիական) ժամանակը», ինչպե՞ս և ինչո՞ւ է երկրագնդի մակերևույթը բաժանված ժամանակային գոտիների.
դ) մեր խնդիրը հարկավոր է ձևակերպել այսպես. «Արևմտյան ստանդարտ ժամա­նակով ո՞ր ժամին է համապատասխանում աստղաբաշխական միջօրեն Սան Ֆրանցիսկո քաղաքում».
ե) միակ տվյալը, որն անհրաժեշտ է գիտենալ` դրված խնդիրը լուծելու համար Սան Ֆրանցիսկո քաղաքի երկայնությունն է (յոթերորդ դասարանին բավարարող մոտավորությամբ)։

Խնդիրն այնքան էլ հեշտ չէ։ Ես այն փորձարկել եմ միջին դպրոցի ուսուցիչներից կազմված երկու խմբերի հետ. այդ խնդիրը լուծելու համար խմբերից մեկը ծախսեց մոտ 25, իսկ մյուսը`մոտ 35 րոպե։

2. Պետք է ասել, որ յոթերորդ դասարանցիների համար նախատեսված այս խնդիրը մի շարք արժանիքներ ունի։ Դրանցից գլխավորը գուցե այն է, որ խնդրի մեջ մի շատ կարևոր մտավոր գործընթացի (որը ցավալիորեն անտեսվում է դպրոցական խնդրագրքեր կազմողների կողմից)` տվյալ կոնկրետ իրադրության մեջ սկզբունքորեն կարևոր մաթեմատիկական հասկացության ճանաչման գործընթացի նշանակությունն է շեշտվում։ Որպեսզի լուծի միջօրեի մասին խնդիրը, սովորողը պետք է հայտաբերի համեմատական կախվածությունը ժամանակի և երկայնության միջև` երկրագնդի մակերևույթի ցանկացած կետում արեգակի ամենաբարձր դիրքին համապատասխանող ժամանակը փոփոխվում է այդ կետի երկայնության հետ համեմատականորեն։

Միջին դպրոցի համար նախատեսված դպրոցական խնդրագրքերից հիվանդագին արհեստականության հասնող խնդիրների մեծամասնության հետ համեմատած` մեր խնդիրը միանգամայն «առողջ» և «իրական» է թվում։ Կիրառական մաթեմատիկայի լուրջ խնդիրներում հարցի պատշաճ ձևակերպումը միշտ կարևոր է, իսկ երբեմն`ամենից կարևոր: Մեր փոքրիկ խնդիրը, որը կարելի է առաջարկել ամեն մի միջակ յոթերորդ դասարանի, հենց այդ առանձնահատկությունն ունի։ Նշենք այնուհետև, որ կիրառական մաթեմատիկայի բնագավառի լուրջ խնդիրը կարող է լուրջ գործնական արդյունքների հանգեցնել, օրինակ` ավելի լավ արտադրական գործընթացի արմատավորմանը, մեր փոքրիկ խնդիրը բացատրում է յոթերորդ դասարանցիներին. թե ինչի՞ համար է պետք 24 «ժամային» գոտիների համակարգը` յուրաքանչյուր գոտու սահմաններում նույնական միօրինակային (ստանդարտ) ժամանակով։ Ինձ առհասարակ թվում է, որ այս խնդիրը, եթե միայն ուսուցիչը բավարար մանկավարժական հմտությամբ այն մատուցի, կկարողանա ապագա գիտնականին կամ ճարտարագետին (ինժեներին) օգնել` գտնելու իր կոչումը, նաև կարող է նպաստել այն սովորողների մտավոր զարգացմանը, ովքեր հետագայում իրենց մասնագիտական աշխատանքում մաթեմատիկա օգտագործելու հարկ չեն ունենա։

Նշենք նույնպես, որ այս խնդիրը կարող է ծառայել այն փոքրիկ հնարքների կամ խորամանկությունների լուսաբանմանը, որոնց մասին ավելի վաղ խոսվել է, ասենք թե ինչպես կարելի է սովորողներին դրդել` եռանդուն կերպով մասնակցելու խնդրի ձևակերպմանը (համեմատի՛ր §5–ի 1-ին կետի հետ)։ Խնդիրը ձևակերպելու հնարավորությունն ընձեռող հետազոտական փուլն ընդհանրապես խիստ կարևոր է (համեմատի՛ր §5–ի 3-րդ կետի հետ)։ Այնուհետև սովորողներին առաջարկվում է կռահել արդյունքի հիմնական բովանդակությունը (համեմատի՛ր §5–ի 2-րդ կետի հետ)։

3. Խնդիր տասներորդ դասարանի համար
Դիտարկենք ևս մի օրինակ։ Սկսենք, թերևս, կառուցման առավել հայտնի խնդրից` կառուցել եռանկյունի` իր երեք կողմերով։ Քանի որ համանմանությունը (անալոգիան) նոր հայտնությունների առատ աղբյուր է, ապա բնական է հարցնել`ինչպիսի՞ տեսք ունի համանման տարածաչափական խնդիրը։ Տարածաչափությանը փոքր-ինչ ծանոթ՝ միջակ սովորողը, հնարավոր է` այն կձևակերպեր այսպես` կառուցել քառանիստ իր վեց կողերով:
Կարելի է փակագծերում նշել, որ այս խնդիրը դպրոցականին բավականաչափ մոտեցնում է «տեխնիկական գծագրություն» բնագավառից գործնական խնդիրներին։ Ճարտարագետները (ինժեներները) և կաոուցագետները (կոնստրուկտորները) մեքենայի մանրամասերի (դետալների) պատրաստման կամ շինվածքների կառուցման համար անհրաժեշտ ճշգրիտ տեղեկություններ ունենալու նպատակով օգտագործում են լավ կատարված գծագրեր։ Իսկ մենք այստեղ պատրաստվում ենք քառանիստ կառուցել` գիտենալով նրա կողերը։ Հնարավոր է, որ այդ քառանիստը կամեցել ենք փայտից քանդակել:

Խնդրի այսպիսի դրվածքը հանգեցնում է քանոնի և կարկինի օգնությամբ դրա ճշգրիտ լուծման պահանջին և այն հարցի քննարկմանը, թե քառանիստի ո՞ր տարրերն է հարկավոր գտնել։ Դասարանում հմտորեն նպատակաուղղված վիճաբանությունը կարող է հանգեցնել հետևյալ վերջնական ձևակերպման մշակմանը.

ABCD քառանիստում հայտնի են վեց կողերի երկարությունները`AB, BC, CA, AD, BD, CD:

Ընդունելով ABC եռանկյունին որպես քառանիստի հիմք` կարկինի և քանոնի օգնությամբ կառուցել այդ հիմքի և մնացյալ երեք նիստերի կազմած երկնիստ անկյունները։

Հիշյալ անկյունները պետք է գիտենալ, եթե օրինակ, կամենում ենք փայտից քանդակել պահանջվող մարմինը։ Սակայն վիճաբանության ընթացքում քննարկման առարկա կարող են դաոնալ քառանիստի նաև այլ տարրերը, օրինակ.

ա) հիմքին հակադիր D գագաթից իջեցված բարձրությունը.
բ) այդ բարձրության F հիմքը՝ ABC եռանկյունու հարթության մեջ։

ա) և բ) տարրերը պահանջվող մարմնի կառուցման գործում կարող են օգնել, բացառված չէ, որ դրանց միջոցով կհաջողվի մեզ հետաքրքրող անկյունները գտնել։ Ուստի արժե փորձել նաև նշված տարրերը կառուցել։

4. Իհարկե, դժվար չէ կառուցել քառանիստի բոլոր չորս եռանկյուն նիստերը, որոնք ի մի են հավաքած նկար 1-ում (նիստերի կառուցման համար օգտագործած փոքրիկ աղեղնակները պահպանված են, որպեսզի չմոռանաք, որ AD₂ = AD₃, BD₃ = BD₁, CD₁ = CD₂)։ Պատճենենք նկար 1-ը ստվարաթղթի վրա, լրացուցիչ նկարենք երեք կափույրներ. կտրենք-հանենք ստացված ձևվածքը, այն ծալենք երեք գծերի երկայնքով և, վերջապես, սոսնձով կափույրները կպցնենք, այսպես ստանում ենք տարածական մանրակերտը (մոդելը), որի վրա կարելի է կոպիտ մոտարկումով չափել այն բարձրությունն ու անկյունները, որոնց մասին է մեր խոսքը։ Ստվարաթղթով նման աշխատանքը շատ ուսանելի է, սակայն դա ամենևին այն չէ, ինչին ձգտում ենք. չէ՞ որ մեզ պետք է կառուցել բարձրությունը, դրա հիմքը և անկյունները` կարկինի և քանոնի օգնությամբ։

5. Հնարավոր է, որ այստեղ մեզ կօգնի «ենթադրությունը, թե խնդիրը լուծված է» ամբողջապես կամ մասնակիորեն: Պատկերացնենք, թե ինչպիսի՞ տեսք կունենա նկար 1-ը այն բանից հետո, երբ քառանիստի երեք կողմնային նիստերը պահանջվող դիրքը կբարձրացվեն (այդ նպատակով` դրանցից յուրաքանչյուրը հարկ կլինի պտտեցնել հիմքի կողի շուրջը)։ Նկար 2-ում պատկերված է քառանիստի ուղղանկյուն ստվերագիծը (օրթոգոնալ պրոյեկցիան) հիմքի հարթության վրա (այսինքն` ABC եռանկյունու հարթության վրա), այստեղ F կետը D գագաթի պրոյեկցիան է, այսինքն` D կետից իջեցված բարձրության հիմքը։

6. Նկար 1-ից նկար 2-ին անցնելը կարելի է ակնառու կերպով պատկերացնել` ստվարաթղթե մանրակերտի (մոդելի) օգնությամբ կամ առանց դրա։ Ուշադրությունը կենտրոնացնենք երեք կողմնային նիստերից որևէ մեկին, ասենք` BCD₁ նիստին, որն սկզբում գտնվում էր նույն հարթության մեջ, ինչ ABC եռանկյունին, այսինքն` նկար 1-ի (հորիզոնական) հարթության մեջ։ Հետևենք BC կողմի շուրջը պտտվող BCD<sub>1</sub> եռանկյունուն` հայացքը չկտրելով այդ եռանկյունու միակ շարժական D₁ գագաթից։ Նշված D₁ գագաթը շրջանագծի աղեղ կարտագծի։ Հիշատակած շրջանագծի կենտրոնը պատկանում է BC կողին, հարթությունը, որտեղ տեղավորված է այդ շրջանագիծը, ուղղահայաց է հորիզոնական BC պտտման առանցքին։ Այսպիսով` D<sub>1</sub> կետը շարժվում է ուղղաձիգ հարթության մեջ։ Հետևապես` այդ կետի հետագծի պրոյեկցիան հորիզոնական հարթության վրա, որտեղ տեղադրված է նկար 1-ը, BC գծին ուղղահայաց և շարժվող կետի D₁ սկզբնական դիրքով անցնող ուղիղ գիծ է։

Բայց, BCD₁ եռանկյունուց բացի, ևս երկու պտտվող եռանկյունիներ կան. չէ՞ որ դրանք ընդամենը երեքն են։ Արդ` երեք պտտվող գագաթներ կան, որոնցից յուրաքանչյուրը ուղղաձիգ հարթության մեջ շրջանաձև հետագծով է տեղաշարժվում` ձգտելով հասնել մի ինչ-որ կետի (հատկապես ո՞ր կետին):

Կարծում եմ, որ տվյալ պահին ընթերցողն արդեն կռահել է արդյունքը (հնարավոր է, դա տեղի է ունեցել նույնիսկ մինչ այն. երբ նա կարդացել էր 6 կետի վերջը), երեք հատվածները, որոնք անց են կացված D₁, D₂, և D₃ կետերի սկզբնական դիրքերից (տե՛ս նկար 1-ը)` համապատասխանաբար, BC, CA և AB հատվածներին ուղղահայաց, իրար հանդիպում են միևնույն կետում, այն է` F կետում (նկար 3), որի որոնումը լրացուցիչ բ) հարցի նպատակն էր կազմում (F կետը գտնելու համար երկու ուղղահայացները բավական են, իսկ երրորդը կարելի է օգտագործել գծագրի ճշգրտությունը ստուգելու նպատակով): Մնացածը դժվար չէ։ Դիցուք M–ը D₁F և BC ուղիղ գծերի հատման կետն է (նկար 3)։ Կառուցե՛ք FMD ուղղանկյուն եռանկյունին՝ MD=MD₁ ներքնաձիգով և MF էջով (նկար 4)։ Ակնհայտ է, որ FD-ն`բարձրությունն է. իսկ FMD անկյունը` ABC հիմքով և D₁BC կողմնային նիստով կազմած երկնիստ անկյան այն գծային անկյունն է, որը և մեզանից պահանջվում էր կառուցել։

8. Լավ խնդրի արժանիքներից մեկն այն է, որ նման խնդիրը ուրիշ լավ խնդիրներ է առաջացնում։

Նկատենք, որ վերը շարադրած լուծումը կարող է և նույնիսկ պետք է որոշ կասկածներ առաջացնի։ Նկար 3-ում պատկերված արդյունքը (այն հանգում է նրան, որ մեր խնդրում հանդես եկող երեք ուղղահայացները հատվում են միևնույն կետում) ստացել էինք` դիտարկելով պտտվող մարմինների շարժումները։ Բայց չէ՞ որ մեր արդյունքը վերաբերում է երկրաչափության, այլ ոչ թե ֆիզիկայի բնագավառին, ուստի այն պետք է հաստատվի զուտ երկրաչափական միջոցներով, այսինքն`շարժման գաղափարից անկախ։

Իհարկե, նախորդ դատողությունները (տե՛ս 6 և 7 կետերը) համեմատաբար դժվար չէ ձերբազատել շարժման գաղափարից և պահանջվող արդյունքն ստանալ զուտ տարածաչափական նկատառումների հիման վրա (գնդային մակերևույթների հատում, ուղղանկյուն առաջաձգում` օրթոգոնալ պրոյեկտում): Սակայն այդ արդյունքը ոչ թե տարածաչափական, այլ` հարթաչափական թեորեմ է, և հետևապես` այն պետք է ապացուցվի առանց տարածություն դուրս գալու` միմիայն հարթաչափության միջոցներով (ինչպե՞ս)։

9. Նկատի ունեցեք, որ տասներորդ դասարանի համար նախատեսված մեր խնդիրը կարող է միջոց ծառայել՝ լուսաբանելու որոշ ընդհանուր դրույթներ, որոնց մասին խոսել ենք ավելի վաղ։ Այսպես օրինակ՝ այստեղ ևս սովորողները կարող են (և պարտավոր են) մասնակցություն ունենալ խնդրի վերջնական ձևակերպման գործին։ Այս խնդրում բավական ցայտուն է նաև հետազոտման փուլը և հարուստ է հետին պլանը։

Մեր խնդրում մի պահ ևս կա, որը կցանկանայի առանձնապես շեշտել. խնդիրն այնպես է կազմած, որ սովորողների ուշադրությունը գրավի։ Թեկուզ և այս խնդիրը անմիջական կապ չունի նրանց առօրյա փորձի հետ (ինչպես ավելի վաղ մեր դիտարկած` յոթերորդ դասարանի համար խնդիրը), բայց այն ելնում է սովորողներին առավել հայտնի մի փաստից (եռանկյունու կառուցումը երեք կողմերով), այս խնդրում ամենասկզբից հատուկ ուշադրություն է դարձվում լայն հետաքրքրություն ներկայացնող մի գաղափարի (համանմանություն), խնդիրն ուղղված է հնարավոր գործնական կիրառությունների կողմը (տեխնիկական գծագրություն)։

Անգամ փոքր հմտության, բայց շատ մեծ ցանկության դեպքում ուսուցիչը կկարողանա իր բոլոր սովորողների ուշադրությունն այս խնդրին դարձնել`բացառությամբ, թերևս, իրոք բոլորովին անհույս բթամիտների։

7. Ինչպես դասավանդում ուսուցանել

Մեզ մնաց ևս մեկ, սակայն կարևոր հարց քննարկել` ուսուցիչների նախապատրաստման հարցը։ Այս կետում ես գտնվում եմ խիստ բարենպաստ դիրքում, քանզի գրեթե ամբողջությամբ համակարծիք եմ «պաշտոնական տեսակետին» (այստեղ նկատի ունեմ «Ամերիկյան Մաթեմատիկական ընկերության հանձնարարականները մաթեմատիկայի ուսուցիչների նախապատրաստման վերաբերյալ[6])», միայն հակիրճության համար ինձ թույլ կտամ ստորև մեջբերելու այս փաստաթուղթը՝ «Պաշտոնական հանձնարարականներ» անվանումով)։ Կանգ կառնեմ միայն երկու կետերի վրա` այն հարցերի վերաբերյալ, որոնց անցյալում բավականաչափ ժամանակ և աշխատանք եմ հատկացրել` վերջին տասը տարվա ընթացքամ դասավանղողի գործնականորեն իմ ամբողջ աշխատանքը։

Կոպիտ ասած` կետերից մեկը, որ նկատի ունեմ, վերաբերում է ապագա ուսուցիչների նախապատրաստման համակարգում «առարկայական» (մաթեմատիկական) դասընթացների դերին և բովանդակությանը, իսկ երկրորդը՝ մեթոդիկայի դասընթացներին։

1. «Առարկայական» դասընթացների րովանդակությունը
Այժմ արդեն շատերն են ընդունում այն տխուր փաստը, որ միջին դպրոցների մեր ուսուցիչները, ընդհանուր աոմամբ, իրենց առարկային բավարար չեն տիրապետում։ Իհարկե, պատահել է, որ հանդիպել եմ միջին դպրոցի նաև լավ պատրաստված ուսուցիչների, բայց նրանց մեջ կան և այնպիսիք (նրանցից ոմանց հետ առնչվել եմ), որոնց օգուտ տալու փափագը կարող է յուրաքանչյուրին հիացնել, սակայն մաթեմատիկական պատրաստությունը շատ-շատ է զիջում նրանց աշխատելու ցանկությանը։ Ուսումնական դասընթացների բովանդակության շրջազննման աոումով` պաշտոնական հանձնարարականները գուցե և չի կարելի միանգամայն կատարյալ համարել, բայց, անկասկած, այդ հանձնարարականների իրացումը կհանգեցներ ուսուցիչների նախապատրաստման էական բարելավմանը։ Միայն ցանկանում եմ ուշադրություն հրավիրել մի կետի, որն, ըստ իմ խորին համոզմունքի, հարկավոր էր ներառնել պաշտոնական հանձնարարականների մեջ։
Մեր կողմից որևէ առարկայի տիրապետելը գումարվում է կուտակած գիտելիքներից և ձեոքբերած ունակություններից՝ «հմտություններից»։ Հմտությունը (know-how[7]) կուտակած գիտելիքները (տեղեկատվությունը) կիրառելու ընդունակությունն է, իհարկե, հմտությունն անհնարին է առանց որոշ ինքնօրինակության, հնարամտության, մտածողության ինքնուրույնության։ Մաթեմատիկայում հմտությունը` խնդիրներ լուծելու, ապացույցներ գտնելու, փաստարկները քննադատաբար վերլուծելու, մաթեմատիկական ապարատից բավարար հեշտությամբ օգտվելու, կոնկրետ իրադրություններում մաթեմատիկական հասկացությունները ճանաչելու ունակությունն է։
Ամեն ոք կհամաձայնի, որ մաթեմատիկայում հմտությունն ավելի կարևոր է և նույնիսկ շատ ավելի կարևոր, քան միմիայն գիտելիքը։ Բոլորը պահանջում են, որ միջին դպրոցը ոչ միայն մաթեմատիկական գիտելիքներ մատակարարի սովորողներին, այլև նրանց մոտ կարողություններ զարգացնի` ինքնուրույնություն, ինքնօրինակություն, ստեղծագործական ընդունակություններ։ Սակայն գրեթե ոչ ոք այդ հիանալի բաները չի պահանջում մաթեմատիկայի ուսուցչից` մի՞թե դա պարադոքս չէ։ Պաշտոնական հանձնարարականները նույնպես այս աոումով լռություն են պահպանում։ Գիտական աստիճան ստանալու նպատակով մաթեմատիկա ուսումնասիրող անձինք պետք է զբաղվեն գիտահետազոտական աշխատանքով, սակայն նաև մինչ գիտական աստիճան ստանալը նրանց ինքնուրույն աշխատանքի հնարավորություն է ընձեռվում ենթասեմինարներում, գիտական սեմինարներում կամ դիպլոմի նախապատրաստման ժամանակ։ Իսկ մաթեմատիկայի ապագա ուսուցչին նման հնարավորություն ոչ ոք չի ընձեռում, և պաշտոնական հանձնարարականների մեջ նույնպես խոսք անգամ չի ասվում ինքնուրույն կամ գիտահետազոտական աշխատանքի որևէ տեսակի մասին։ Բայց, եթե ուսուցիչն ինքը երբեք չի զբաղվել որևէ տեսակի ստեղծագործական աշխատանքով, ապա ինչպե՞ս կարող է ոգեշնչել, ղեկավարել, աջակցել կամ նույնիսկ պարզապես արձանագրել իր սովորողների ստեղծագործական ակտիվությունը։ Այն ուսուցիչը, ում ամբողջ մաթեմատիկական գիտելիքները ձեռքբերված են զուտ հայեցողական ճանապարհով, հազիվ թե կարողանա օժանդակել իր սովորողների կողմից առարկայի եռանդուն ուսումնասիրմանը։ Եվ միանգամայն հնարավոր է, որ այն դասատուն, ում գլխում կյանքում և ո՛չ մի անգամ պայծառ միտք չի ծագել, ինքնուրույնություն ցուցաբերած սովորողին կշտամբի` վերջինիս քաջալերելու փոխարեն։
Ըստ իս` հենց այդ է միջին դպրոցի շարքային ուսուցչի մաթեմատիկա տիրապետելու ամենամեծ բացը: Նա եռանդուն մաթեմատիկական աշխատանքի ո՛չ մի փորձ չունի, իսկ հետևապես` նրան չի կարելի վարպետ անվանել այն բնագավառում, որտեղ նա պարտավոր է դպրոցականներին սովորեցնել։
Ես չեմ կարող այստեղ որևէ համադարման առաջարկել, բայց կարող եմ հաղորդակից դարձնել իմ փորձին։ Ուսուցիչների համար կազմակերպել և բազմիցս ղեկավարել եմ խնդիրների լուծման սեմինարներ։Այդպիսի սեմինարներում առաջարկվող խնդիրները միջին դպրոցի ծրագրի շրջանակներից դուրս եկող որևէ լրացուցիչ գիտելիքներ չէին ենթադրում, բայց պահանջում էին մտքի կենտրոնացման բավականին բարձր (երբեմն նույնիսկ շատ բարձր) մակարդակ և առողջ դատողություն, արդ` խնդիրների լուծման վրա ուսուցիչների աշխատանքը միանգամայն կարելի էր «ստեղծագործական» աշխատանք անվանել։ Ես ջանացել եմ սեմինարներս այնպես կազմակերպել, որ դրանք ունկնդրողները կարողանային համարյա չձևափոխելով օգտագործել այն նյութը, որը դասավանդում են, որ կարողանային տարրական մաթեմատիկա տիրապետելու գործում իրենց ճարտարությունը կատարելագործել. նույնիսկ նրանց որոշ հնարավորություն էի ընձեռում` դասավանդման մեջ վարժվելու համար (ուսուցիչներին հանձնարարելով իրենց ընկերակիցների փոքրիկ խմբերում պարապմունքների անցկացումը)։

2. Մեթոդիկան
Մաթեմատիկայի հարյուրավոր ուսուցիչների հետ շփումներիս փորձից այն տպավորությունն եմ ստացել, որ «մեթոդական» դասընթացները նրանք սովորաբար ընկալում են խանդավառություն չհիշեցնող զգացմունքներով։ Հենց այդպես են նրանք վերաբերվում ուսուցիչներ պատրաստող բարձրագույն ուսումնական հաստատությունների մաթեմատիկական բաժանմունքներում ընթերցվող մեթոդիկայի սովորական դասընթացներին։ Մի ուսուցիչ, ում հետ ինձ հաջողվել էր անկեղծորեն մի փոքր զրուցել, այս առիթով արտահայտվեց այսպես. «Մաթեմատիկայի պարապմունքներին մեզ այնչափ կարծր «բիֆշթեքս» են առաջարկում, որ ի վիճակի չենք «ծամելու», իսկ մեթոդիկայի դասընթացները կարելի է համեմատել պասուց ապուրի հետ, որտեղ առհասարակ ո՛չ մի պատառիկ միս չկա»։
Մեզ, իհարկե, անհրաժեշտ է սիրտ առնել և հրապարակավ քննարկել այն հարցը, թե հարկավոր են արդյոք մեթոդիկայի դասընթացներն ապագա ուսուցիչներին։ Թե դրանք ընդհանրապես անօգտակար են։ Կարծում եմ` կարծիքների անկեղծ փոխանակությունն այդ առումով կտա ավելին, քան թե մշտական քրթմնջոցը։
Անտարակույս` բարդ հարցեր այստեղ շատ կան։ Արդյո՞ք կարելի է ընդհանրապես դասավանդում սովորեցնել (ինչպես շատերն են մեզանից կարծում, դասավանդումն արվեստ է` իսկ կարելի է արդյո՞ք արվեստ ուսուցանել)։ Արդյո՞ք առհասարակ գոյություն ունի այնպիսի գիտաճյուղ, ինչպիսին է մաթեմատիկայի մեթոդիկան (այն, ինչն ուսուցիչը հաղորդում է իր սովորողներին ո՛չ մի դեպքում ավելի լավ չէ այն բանից, ինչը բովանդակվում է հենց իր մեջ, դասավանդումը կախված է ուսուցչի անհատական հատկություններից, և ուսուցման լավ մեթոդներ ճիշտ այնքան կան, որքան աշխարհում լավ ուսուցիչներ)։ Ուսուցչի նախապատրաստմանը հատկացվող ժամանակը բաժանվում է մաթեմատիկայի դասընթացների, մեթոդիկայի դասընթացների և գործնական պարապմունքների միջև, գուցե մեթոդական բովանդակությամբ դասընթացներին հարկավոր է ավելի քիչ ժամանակ հատկացնել (շատ եվրոպական երկրներ այդ դասընթացներին շատ ավելի պակաս ուշադրություն են հատկացնում, քան ընդունված է ԱՄՆ-ում)։
Հուսով եմ, որ երիտասարդությունը, որն ավելի համարձակ է և ավելի եռանդուն, քան ես, ժամանակ կգտնի այդ հարցի լուրջ և անկանխակալ քննարկման համար։
Ես կարող եմ խոսել միայն իմ անձնական փորձի մասին, և դրված հարցերից գլխավորի պատասխանն ինձ հայտնի է` մեթոդիկայի դասընթացներն օգտակար եմ համարում։ Իրականում այն ամենը, ինչն այստեղ շարադրել եմ, այդպիսի դասընթացի կառուցման մի փորձ է կամ ավելի շուտ` մի քանի թեմաների ուրվագիր, որոնք պետք է մտնեն մաթեմատիկայի ուսուցիչների համար նախատեսված մեթոդիկայի դասընթացի մեջ`ըստ համոզմունքիս։ Բոլոր դասընթացները, որոնք ընթերցել եմ մաթեմատիկայի ուսուցիչներին, այնպես էին կառուցված, որ ինչ-որ չափով նաև մեթոդիկայի դասընթացներ լինեին։ Դասընթացի անվանման մեջ սովորաբար մատնանշվում էր միայն ուսումնական առարկան, որին նվիրվում էր այդ դասընթացը, իսկ հատկացվող ժամանակը բաշխվում էր մաթեմատիկայի և դրա դասավանդման մեթոդիկայի միջև` հավանաբար, ողջ ժամանակի ինը տասներորդը ծախսվում էր առարկայի, և մեկ տասներորդը` մեթոդիկայի վրա։ Ըստ հնարավորության՝ դասընթացը կառուցվում էր երկխոսության ձևով։ Որոշ մեթոդական դիտողություններ (իմ կամ սովորողների) միջադեպային բնույթ ունեին, սակայն կարևոր փաստի արտածումը կամ խնդրի լուծումը համարյա միշտ ավարտվում էին հարցի մեթոդական տեսանկյունի քննարկմամբ։ «Արդյո՞ք կարող եք դա կիրառել ձեր դասարանական պարապմունքներին, — հարցնում էի լսարանին։ — Ծրագրի ո՞ր կետն է նման կիրառում թույլ տալիս։ Ինչի՞ վրա է հարկավոր հատուկ ուշադրություն դարձնել։ Ինչպե՞ս կփորձեիք դա շարադրել դասարանին»։ Նման տեսակի հարցեր (պատշաճ տեսքով ձևակերպված) կանոնավոր կերպով ընդգրկվում էին նաև քննական տոմսերում։ Սակայն իմ գլխավոր հոգսն էր ուսուցման գործընթացի այս կամ այն կողմերը լուսաբանող խնդիրների ընտրությունը (այս գլխում դիտարկած երկու խնդիրների նման)։

3. Պաշտոնական հանձնարարականները մեթոդիկայի դասընթացներն անվանում են «նախագծերի և ծրագրերի ուսումնասիրման դասընթացներ» (cariculum-study courses) և այդ հարցում այնքան էլ պերճախոս չեն։ Սակայն կարող եք այդտեղ մի խորհուրդ գտնել, որն ինձ հոյակապ է թվում (թեպետ այդ խորհուրդը դյուրին չէ հայտաբերել, այդ նպատակով հարկ կլինի երկարատև պարզաբանում, թե ինչի՞ է հավասար երկու անգամ երկուսը՝ «Նախագծերի և ծրագրերի ուսումնասիրման դասընթացներ» բաժնի վերջին դարձվածքը զուգադրելով «IV մակարդակի»[8]  համար հանձնարարականների հետ)։ Խորհուրդն այդ այսպիսին է` քոլեջի դասախոսը, ով մտադիր է մաթեմատիկայի մեթոդիկայի դասընթաց ընթերցել պետք է հենց մաթեմատիկա բավականաչափ լավ տիրապետի: Կցանկանայի նաև ավելացնել, որ նա նմանապես պետք է ունենա գիտահետազոտական աշխատանքի որոշակի փորձ, թեկուզ ամենահամեստ։ Եթե նման փորձ նա չունի, ապա ինչպե՞ս կարող է իր ունկնդիրների մոտ խթանել այն, ինչն ապագա ուսուցչի կարևորագույն արժանիքներից մեկն է` ստեղծագործական հետազոտման ոգին։

Բավական երկար ժամանակ հոգնեցնում էի ձեզ իմ ծերունական շաղակրատանքով։ Սակայն դրանից ինչ-որ օգուտ կարող է ստացվել: Առաջարկում եմ կշռադատել մեր խոսակցությունից բխող հետևյալ առաջարկները` Մաթեմատիկական ընկերության «պաշտոնական հանձնարարականներին» ավելացնել հետևյալ երկու կետերը.

I. Մաթեմատիկայի ուսուցիչների նախապատրաստումը պետք է ներառնի համապատասխան մակարդակում ինքնուրույն («ստեղծագործական») աշխատանքի տարրեր` խնդիրների լուծման սեմինարի կամ որևէ այլ ձևով

II. Մեթոդիկայի դասընթացները պետք է սերտորեն կապված լինեն մաթեմատիկայի դասընթացների կամ գործնական դասավանդման հետ. դրանք պետք է ընթերցեն (եթե միայն դա հնարավոր է) բարձրագույն ուսումնական հաստատությունների միայն այն դասախոսները, ովքեր ունեն ինչպես մաթեմատիկայի բնագավառում գիտահետազոտական աշխատանքի, այնպես էլ` գործնական դասավանդման փորձ։

8. Ուսուցչի դիրքորոշումը[9]

Ինչպես արդեն հիշատակել եմ` ուսուցիչներին ընթերցված դասընթացներս ինչ-որ չափով «մեթոդիկայի դասընթացներ» էին։ Ընթերցելով դրանք` մշտապես ուշադրությունս բևեռել եմ այն հարցերին, որոնք ուսուցչին կարող են օգտակար լինել նրա ամենօրյա աշխատանքում։ Ուստի ոչ մի կերպ չէի կարող շրջանցել հարցը այն խնդրի մասին, որն ուսուցիչը լուծում է ամեն օր, և նրա դիրքավորման մասին։ Հետզհետե դիտողություններս սկսեցին ասույթային ձև ստանալ և ի վերջո` հակիրճ արտահայտությունը գտան հետևյալ` «Ուսուցչի տասը պատվիրաններ»–ի տեսքով.

Ուսուցչի տասը պատվիրանները

1. Հետաքրքրվեցե՛ք ձեր առարկայով։ 
2. Իմացե՛ք ձեր առարկան:
3. Իմացե՛ք, թե ո՛ր ճանապարհով կարելի է ուսումնասիրել այն, ինչը ձեզ անհրաժեշտ է: Ուսումնասիրման լավագույն ձևը ինքնուրույն հայտնաբերելն է։
4. Կարողացե՛ք կարդալ սովորողների դեմքերը։ Ջանացե՛ք տեսնել, թե ի՛նչ են սպասում նրանք ձեզանից, ըմբռնեք նրանց դժվարությունները, կարողացե՛ք ձեզ իրենց տեղը դնել։
5. Մի՛ սահմանափակվեք մերկ տեղեկատվությամբ, ջանացե՛ք սովորողների մոտ որոշակի ունակություններ, խելքի անհրաժեշտ կերտվածք և կանոնապահ աշխատանքի սովորություն զարգացնել։
6. Ջանացե՛ք նրանց կռահել սովորեցնել։
7. Ջանացե՛ք նրանց ապացուցել սովորեցնել։
8. Հայտաբերե՛ք ձեր խնդրում այն, ինչը կարող է ուրիշ խնդիրների լուծման ժամանակ պետք գալ. տվյալ կոնկրետ իրադրության խորքից ջանացե՛ք ընդհանուր մեթոդը երևան հանել։
9. Մի՛ հայտնեք անմիջապես ձեր գաղտնիքը, թող սովորողները փորձեն կռահել այդ գաղտնիքը` մինչ այն նրանց կհաղորդեք, թողե՛ք սովորողներն իրենք հնարավորին չափ շատ բան գտնեն։
10. Օգտագործե՛ք գլխի գցող ցուցումները, բայց ձեր կարծիքը բռնի կերպով մի՛ պարտադրեք։

Այժմ ցանկանում եմ այս տասը կանոնները համադրել փոքրիկ մեկնաբանություններով։

Այս կանոնները ձևակերպելով` նկատի ունեի միջին դպրոցի մաթեմատիկայի ուսուցիչների համար նախատեսված սեմինարներիս մասնակիցներին, սակայն մեր կանոնները կիրառելի են ուսուցման ցանկացած տեսակի համար, ցանկացած մակարդակով շարադրվող` ցանկացած առարկայի համար։ Բայց հենց միջին դպրոցում և հատկապես մաթեմատիկայի ուսուցիչների առջև են ամենամեծ հնարավորությունները բացվում այդ կանոններից մի քանիսի կիրառման համար, մասնավորապես` դա վերաբերում է 6. 7 և 8 կանոններին։

Ո՞ւմ հեղինակությամբ են հաստատված այս 10 պատվիրանները։ Թանկագի՛ն ընկերակից-ուսուցիչ, մի՛ ենթարկվեք ոչ մի հեղինակության` թող ձեզ ղեկավարի միայն սեփական փորձը և այդ փորձի վրա խարսխվող սեփական դատողությունը։ Աշխատե՛ք պարզ տեսնել, թե ի՛նչ է նշանակում այս կամ այն խորհուրդը կոնկրետ իրադրության մեջ, որին բախվել եք, փորձարկե՛ք այդ խորհուրդը դասարանում և կայացրե՛ք ձեր վերջնական եզրակացությունը միայն անցկացրած փորձի անաչառ վերլուծությունից հետո։

Այժմ հաջորդաբար դիտարկենք այս 10 կանոնները մեկը մյուսի հետևից` հատուկ ուշադրություն հատկացնելով մաթեմատիկայի դասավանդման խնդիրներին։

1. Գոյություն ունի դասավանդման միայն մի անխափան եղանակ. եթե ուսուցիչը հափշտակված է իր առարկայով, ապա հափշտակված կլինի նաև ամբողջ դասարանը։

Այս դատողությունը պետք է որ բավարար լինի, որպեսզի ակնհայտ դառնա ուսուցչի առաջին և ամենագլխավոր պատվիրանը. «Հետաքրքրվեցե՛ք ձեր առարկայով»։

2. Եթե առարկան ձեզ չի հետաքրքրում, ապա հրաժարվե՛ք դասավանդումից, որովհետև երբեք չեք կարողանա այն լավ շարադրել։ Հետաքրքրությունը sine qua non[10] է` միանգամայն անհրաժեշտ պայման, որը, սակայն, դեռևս բավարար չէ։ Ամենաանկեղծ շահագրգռվածությունը և մեթոդական հնարքների առատությունը ձեզ չեն օգնի ուրիշներին լավ բացատրելու այն, ինչն ինքներդ վատ եք հասկանում։

Այս դիտողությունն էլ պետք է որ բավարար լինի` ակնհայտ դարձնելու համար ուսուցչի երկրորդ պատվիրանը. «Իմացե՛ք ձեր առարկան»։

Ուսուցչին անհրաժեշտ է և՛ հետաքրքրվել իր առարկայով, և՛ գիտենալ այն։ Հետաքրքրությունը ես աոաջին տեղն եմ մղում, քանի որ իսկական հետաքրքրության առկայության դեպքում դուք լավ հնարավորություններ ունեք անհրաժեշտ գիտելիքներ ձեռք բերելու համար, այնինչ հետաքրքրության բացակայությունը անգամ առարկային որոշ չափով ծանոթ լինելու դեպքում, բացառիկ վատ ուսուցիչներ է հեշտությամբ ստեդծում։

3. Ուսումնասիրման գործընթացի հոգեբանական կողմին նվիրված լավ դասախոսություն ունկնդրելով կամ լավ գիրք ընթերցելով շատ օգուտ կարող եք քաղել, սակայն ո՛չ գրքերի ընթերցումը, ո՛չ դասախոսությունների ունկնդրումը նշված գործընթացի բացարձակապես անհրաժեշտ հատկանիշները չեն. և համենայն դեպս՝ ո՛չ մի կերպ բավարար չեն այդ գործընթացի արդյունավետության համար։ Դուք պետք է գիտենաք, թե ո՛ր ճանապարհով կարելի է ուսումնասիրել այն, ինչը ձեզ անհրաժեշտ է, ուսումնասիրման գործընթացի հետ պետք է սերտորեն ծանոթ լինեք սեփական փորձի` ինքնուրույն ուսումնասիրման գործընթացում ձեռք բերած և սեփական սովորողների զննումից քաղած փորձի հիման վրա։

Վատ է, երբ ներքին դրդապատճառներ չունենալով` համաձայնվում են սկզբունքի հետ. է՛լ ավելի վատ է, երբ միայն խոսքերով է սկզբունքին տուրք հատուցվում։ Սակայն դեպք կա, երբ իսկապես ոչ մի կերպ չի կարելի իրեն թույլ տալ` բավարարվելու սկզբունքի հետ մակերեսային կամ միայն առերևույթ համաձայնությամբ, այստեղ նկատի ունեմ դասավանդման հիմնական`եռանդուն ուսումնասիրման սկզբունքը[11]։ Դուք պետք է լիովին հասկանաք, որ ուսումնասիրման գործընթացում այդ սկզբունքը կենտրոնական տեղն է զբաղեցնում։ Ուսումնասիրման լավագույն ձևը ինքնուրույն հայտնաբերելն է։

4. Նույնիսկ իսկական գիտելիքների տիրապետելով, աշխույժ հետաքրքրություն ցուցա­բերելով և ինչ-որ չափով ուսումնասիրման գործընթացը հասկանալով` դուք կարող եք թույլ ուսուցիչ մնալ։ Ընդունում եմ, որ այդ դեպքը չի կարելի սովորական համարել, բայց դա այնքան էլ հազվադեպ չէ։ Մեզանից ոմանց վիճակվել է հանդիպել բոլոր տեսակետներից միանգամայն իրազեկ, բայց իր դասարանի հետ կապ հաստատել չկարողացող ուսուցչի։ Որպեսզի մեկ անհատականության` ուսուցչի կողմից ղեկավարվող ուսուցումը արդյունքում հանգեցնի այլ անհատականությունների` սովորողների կողմից առարկայի ուսումնասիրմանը, նրանց միջև որոշակի կապ պետք է հաստատվի` ուսուցիչր պետք է ըմբռնի սովորողի դիրքավորումը, պետք է կարողանա անհրաժեշտ պահին սատարել նրան։ Դրա վրա է խարսխվում հաջորդ պատվիրանը. «Կարողացե՛ք կարդալ սովորողների դեմքերը։ Ջանացե՛ք տեսնել, թե ի՛նչ են սպասում նրանք ձեզանից, ըմբռնել նրանց դժվարությունները, կարողացե՛ք ձեզ իրենց տեղը դնել»։

Սովորողների արձագանքն այն բանին, ինչն ուսուցանում եք նրանց, կախված է պատրաստվածության մակարդակից, ապագայի նրանց հեռանկարներից, նրանց հետաքրքրություններից։ Ուստի միշտ հիշեք և հաշվի առեք, թե ի՞նչ գիտեն նրանք և ի՞նչ չգիտեն, ի՞նչ կցանկանային իմանալ և ի՞նչը նրանց բոլորովին չի հուզում, ի՞նչ պետք է նրանք գիտենան և ի՞նչը կարող են չգիտենալ:

5. Նախորդ չորս կանոնները մանկավարժական հմտության հիմքում են դրված։ Ամբողջությամբ վերցրած` դրանք հաջողակ դասավանդման անհրաժեշտ և բավարար պայմանների նման մի բան են կազմում։ Եթե դուք հետաքրքրվում եք ձեր առարկայով և գիտեք այն, եթե, բացի այդ, կարող եք ձեզ սովորողի տեղը դնել և տեսնել, թե ի՛նչն է խթանում ուսուցումը և ի՛նչն է այն դժվարացնում, ապա դուք արդե՛ն իսկ լավ ուսուցիչ եք կամ շուտով այդպիսին կդառնաք` դուք միայն որոշ փորձի պահանջ կարող է դեռ զգաք։

Մեզ մնում է նախորդ կանոնների որոշ հետևանքները մեկնաբանել` գլխավորապես այնպիսիները, որոնք միջին դպրոցում մաթեմատիկայի ուսուցչի դիրքավորմանն են վերաբերում։

Ցանկացած գիտելիք կազմված է մասամբ` «տեղեկատվությունից»» («զուտ իմացություն») և մասամբ` «հմտությունից» (know-how): Հմտությունը վարպետություն է. սեփական նպատակներին հասնելու համար ձեր ունեցած տեղեկություններն օգտագործելու կարողությունը, հմտությունը, բացի այդ, կարելի է բնորոշել` որպես որոշակի ունակությունների ամբողջություն։ Վերջին հաշվով` հմտությունը մեթոդաբար աշխատելու կարողությունն է։

Մաթեմատիկայում հմտությունը` խնդիրներ լուծելու, ապացուցումներ կատարելու, ինչպես նաև` ստացված լուծումներն ու ապացուցումները քննադատաբար վերլուծելու ունակությունն է։ Մաթեմատիկայում հմտությունը շատ ավելի կարևոր է, քան միմիայն զուտ գիտելիքը, քան մերկ տեղեկատվությունը։ Արդ` մաթեմատիկայի ուսուցչի համար հատուկ կարևորություն ունի հաջորդ պատվիրանը. «Մի՛ սահմանափակվեք միմիայն փաստերի հաղորդմամբ, ջանացե՛ք սովորողների մոտ որոշակի ունակություններ, խելքի անհրաժեշտ կերտվածք և կանոնապահ աշխատանքի սովորություն զարգացնել»։

Քանի որ մաթեմատիկայում հմտությունը գիտելիքից կարևոր է, ապա իմ կարծիքով՝ մաթեմատիկա սովորեցնելիս շատ ավելի կարևոր է ինչպե՛ս դասավանդելը, քան այն, թե ի՛նչ եք դասավանդում։

6. Նախ` կռահեք, իսկ այնուհետև` ապացուցեք. սովորաբար այսպես է հայտնագործություն արվում։ Դուք դա պետք է գիտենաք (ամենից լավը`սեփական փորձից), և բացի այդ` պետք է իմանաք, որ մաթեմատիկայի ուսուցիչը բազմաթիվ հիանալի հնարավորություններ ունի` հայտնագործության մեջ կռահողության դերը ցուցադրելու և դրանով իսկ սովորողների մոտ խելքի այն կերտվածքի զարգացմանը նպաստելու համար, որը ցանկացած հետազոտական աշխատանքում հիմնավորապես կարևոր նշանակություն ունի։ Վերջին հանգամանքը հայտնի չէ այն չափով, որքան դա անհրաժեշտ է, և հենց այդ պատճառով հատուկ ուշադրության է արժանի։ Կցանկանայի` այդ առումով հոգ տանեիք ձեր սովորողներին։ Ջանացե՛ք նրանց կռահել սովորեցնել:

Թույլ և թեթևամիտ սովորողները կարող են առավել «վայրենի» կռահումներ և ենթադրություններ առաջադրել։ Այն, ինչը պարտավոր ենք նրանց սովորեցնել` «նպատակաուղղված», «իմաստավորված», «խելամիտ» կռահումն է։ Խելամիտ կռահումը հիմնված է մակածման (ինդուկցիայի) և համանմանության (անալոգիայի) իմաստավորված կիրառման վրա և վերջին հաշվով` ցանկացած գիտական մեթոդի մեջ կարևոր դեր խաղացող «ճշմարտանման դատողությունների» բոլոր փուլերն է ներգրավում[12]։

7. «Մաթեմատիկան ճշմարտանման դատողությունների լավ դպրոց է»: Այս պնդումն ամփոփում է նախորդ կանոնի հիմքում ընկած հետևությունը, այն կարող է ինչ-որ մեկին զարմացնել և բոլորովին նոր ծագում ունի, ինձ թվում է նույնիսկ, որ կարող եմ դրա հեղինակն անվանվելու պատվին հավակնել։

«Մաթեմատիկան արտածական (դեդուկտիվ), կամ ապացուցական դատողությունների լավ դպրոց է »: Այս պնդումը ոչ մեկին չի շվարեցնի, հնարավոր է, որ դրա մի որևէ տարբերակը նույնքան վաղեմի է, որքան և մաթեմատիկան ինքը։ Իրականում ճիշտ է շատ ավելի խիստ պնդումը` մաթեմատիկայի սահմանները ներառնում են զարգացման այն մակարդակին հասած, ցանկացած գիտությանը վերաբերող, ապացուցական դատողությունների ամբողջ տիրույթը, որի դեպքում այդ գիտությանը վերաբերող հասկացությունները կարող են արտահայտվել վերացական, տրամաբանական մաթեմատիկական ձևով։ Այդ մակարդակից ներքև` իսկապես ապացուցական դատողությունը տեղ չունի (այսպես օրինակ` մեր ամենօրյա կյանքում խիստ «ապացուցմամբ» ուղեկցվող դատողություններ հույժ հազվադեպ են հանդիպում)։ Պարզ է (և անհրաժեշտություն չունեմ բոլորի կողմից ընդունված այդ տեսակետը ընդարձակորեն փաստարկելու), որ մաթեմատիկայի ուսուցիչը պետք է իր բոլոր սովորողներին (թերևս. բացի ամենակրտսեր դասարաններում սովորողներից) ծանոթացնի ապացուցական դատողություններին։ Ջանացե՛ք նրանց ապացուցել սովորեցնել։

8. «Հմտությունները», ունակությունները մաթեմատիկական կուլտուրայի առավել կարևոր բաղկացուցիչ մասն են կազմում, շատ ավելի կարևոր, քան` որոշակի փաստերի և թեորեմների պարզապես գիտենալը։ Բայց հմտություն ինչպե՞ս սովորեցնել։ Սովորողները կարող են անհրաժեշտ ունակություններ ձեռք բերել միայն ընդօրինակման և, հատկապես, գործնական աշխատանքի ճանապարհով։

Խնդրի լուծումը ցուցադրելիս՝ առանձնացրե՛ք այդ լուծման ուսանելի կողմերը։ Լուծման որոշակի կողմը կարող է «ուսանելի» կոչվել, եթե այն արժանի է ընդօրինակման, այսինքն` եթե կարելի է այն օգտագործել ոչ միայն ինչ-որ մեկ խնդրի, այլ նաև ուրիշ խնդիրների լուծման համար, և որքան ավելի հաճախ է կիրառվել նշված առանձնահատկությունը, այնքան ավելի ուսանելի պետք է այն համարել։ Լուծման ուսանելի առանձնահատկություններն ընդգծեք ոչ միայն դրանց գովաբանմամբ (ինչը կարող է և հակառակ տպավորությունն առաջացնել), այլև գլխավորապես ձեր պահելաձևով (մի փոքր դերասանությունը շատ լավ է. լավ ուսուցիչը պետք է գոնե մի քիչ դերասան լինի)։ Հաջող կերպով զատված առանձնահատկությունը կարող է ձեր լուծումը տիպականի վերածել՝ ուսանելի մի մեթոդի, որն ընդօրինակելով` սովորողները կկարողանան բազմաթիվ այլ խնդիրներ լուծել[13]։ Այստեղից էլ կանոնը.
«Հայտաբերե՛ք ձեր խնդրում այն, ինչը կարող է ուրիշ խնդիրների լուծման ժամանակ պետք գալ. տվյալ կոնկրետ իրադրությունից ջանացե՛ք ընդհանուր մեթոդը երևան հանել»:

9. Ուզում եմ խորհուրդ տալ ձեզ մի փոքրիկ հնարք, որին ամեն մի ուսուցիչ պետք է ծանոթ լինի: Խնդրի քննարկմանը ձեռնամուխ լինելով` առաջարկեք սովորողներին` կռահել լուծումը կամ պատասխանը։ Սովորողը, ում մտքում որևէ ենթադրություն է ծագել, որը նա համարձակվել է բարձրաձայն արտահայտել, դրանով իսկ իր վրա հետագայի համար որոշ պատասխանատվություն է վերցրել, մի՛ վախենաք, որ նա այնուհետև ուշադրությունը կշեղի, նա կհետևի լուծման ընթացքին, որպեսզի իմանա` արդյո՞ք իրավացի էր[14]։

Այս փոքրիկ հնարքը կարող է դիտվել` որպես հետևյալ կանոնի (որն, իր հերթին, 3 և 6 կանոնների մի մասն է) շատ մասնահատուկ դեպք. «Մի՛ հայտնեք անմիջապես ձեր գաղտնիքը, թող սովորողները փորձեն կռահել այդ գաղտնիքը՝ մինչ այն նրանց կհաղորդեք. թողե՛ք հենց իրենք հնարավորին չափ շատ բան գտնեն»։

Իրականում այս կանոնի հայտնագործման պատիվը պատկանում է Վոլտերին` նա այն արտահայտել է հետևյալ ասույթի տեսքով. «Le secret d’etre ennuyeux c’est de tout dire» — «Եթե ձանձրալի եք ցանկանում լինել, ապա մինչև վերջ ամեն ինչ պատմեք»։

10. Սովորողն ինձ ցույց Է տալիս մի երկար հաշվարկ։ Դրա վերջին տողին հայացք ձգելով` տեսնում եմ, որ հաշվարկը ճիշտ չէ, սակայն չեմ շտապում սովորողին այդ մասին տեղեկացնել։ Գերադասում եմ «անցնել» ամբողջ հաշվարկով` տող առ տող. «Լա՛վ եք սկսել` ձեր հաշվարկի առաջին տողը ճիշտ է։ Հաջորդը նույնպես`կատարել եք այսինչը և այսինչը։ Հաջորդ տողում նույնպես սխալներ չկան։ Այսպե՛ս, այսպե՛ս` իսկ ի՞նչ կարծիքի եք ա՛յս տողի մասին»։ Սխալը հենց այդ տողից է սկիզբ առնում, և եթե սովորողն ինքը դա հայտաբերի, ապա նա հնարավորություն ունի ինչ-որ բան սովորելու։ Իսկ եթե միանգամից ասեմ. «Դա սխա՛լ է», ապա սովորողը կարող է նեղանալ և կդադարի ինձ լսել։ Եվ եթե ինձ թույլ տամ շատ հաճախակի ասել. «Դա սխա՛լ է», ապա սովորողն ինձ կատի և հենց այդ սովորողին վերաբերող` բոլոր իմ հետագա ջանքերը կկորչեն իզուր։

Թանկագի՛ն ընկերակից-ուսուցիչ, խուսափե՛ք այսպիսի բառերից` «Դուք սխալվե՛լ եք»։ Դրանց փոխարեն`ասեք. «Ընդհանուր առմամբ` իրավացի՛ եք, բայց… »։ Հավատացե՛ք ինձ՝ դա երեսպաշտություն չէ, այլ` ընդամենը միայն մարդկայնություն։ Հնարավոր է, որ նման մեթոդիկա ձեզ կհուշի կանոն 4-ը։ Սակայն այդ խորհուրդը կարելի է և ավելի բացահայտ ձևով հրամցնել. «Օգտագործե՛ք գլխի գցող ցուցումները, բայց ձեր կարծիքը բռնի կերպով մի՛ պարտադրեք»։

Մեր վերջին երկու կանոնները՝ 9 և 10, միևնույն նպատակին են ուղղված, դրանք հանձնարարում են այնքան ազատություն և նախաձեռնություն տրամադրել սովորողներին, որքան միայն հնարավոր է ուսուցման առկա պայմաններում։ ժամանակի սղությամբ կաշկանդված` մաթեմատիկայի ուսուցիչը հաճախ գայթակղության է ենթարկվում մեղանչելու այս կանոնների, այսինքն` եռանդուն ուսումնասիրման սկզբունքի դեմ։ Նա երբեմն շտապում է ստանալ լուծումը` սովորողներին բավարար չափով ժամանակ չթողնելով, որպեսզի խորամուխ լինեն այդ լուծմանը։ Նա կարող է հասկացողությունը գործադրության մեջ մտցնել կամ կանոնը ձևակերպել չափազանց արագ` առանց բավարար նախապատրաստման, նախքան սովորողներն այդպիսի հասկացողության կամ կանոնի անհրաժեշտությունը կզգան։ Երբեմն նա կարող է գործել deus ex machina[15] սկզբունքով, այսինքն` մի այնպիսի միջոցից օգտվել (օրինակ` երկրաչափական գծագրի վրա մի որևէ խորամանկամիտ օժանդակ գիծ անցկացնել), որն անմիջապես կհանգեցնի պահանջվող արդյունքին, բայց որի վերաբերյալ սովորողները երբեք չեն հասկանա, թե ինչպե՛ս մարդ կարող է այդպիսի խորամանկության հանգել, որը նրանց վրա էր թափվել` որպես երկնային մանանա[16]։

Նշված սկզբունքը խախտելու համար գայթակղություններ շատ կան։ Արդ՝ ուշադրությունը շեշտենք այդ սկզբունքի մի քանի այլ տեսանկյուններին.

• Հասե՛ք այն բանին, որ ձեր սովորողները հարցեր տան, կամ ինքնե՛րդ տվեք այն հարցերը, որոնք կարող էին նրանց մոտ ծագել։
• Հասե՛ք այն բանին, որ ձեր սովորողները կարողանան հարցերին պատասխանել կամ ինքնե՛րդ պատասխանեք այդ հարցերին, բայց այնպես, ինչպես կարող էին ձեր սովորողները դրանց պատասխանել:
• Բոլոր հանգամանքներում աշխատեք խուսափել այն հարցերից, որոնք երբեք չեն ծագում ո՛չ մեկի մոտ. այդ թվում նաև՝ հենց ձե՛զ մոտ։

Թարգմանություն ռուսերենից

Գրականություն

1. Ջ. Փոյա. Ուսուցման, դասավանդման և դասավանդում սովորեցնելու մասին (անգլերեն). «American Mathematical Monthly» 70, 1963թ., էջք 605-619։
2. Ջ. Փոյա, Գ. Սեգյո. Խնդիրներ ու թեորեմներ մաթեմատիկական վերլուծությունից, 2 հատորով (ռուսերեն). «Գոստեխիզդատ» հրատ., Մոսկվա, 1956թ.։
3. Ջ. Փոյա. Տասը պատվիրաններ ուսուցչին (անգլերեն) «Journal of Education, Vancuver and Victoria». հ. 3 (1959թ.), էջք 61-69։
4. Ջ. Փոյա. Մաթեմատիկան և ճշմարտանման դատողությունները (ռուսերեն). «Նաուկա» հրատ., Մոսկվա, 1975թ.։
5. Ջ. Փոյա. Ինչպե՛ս խնդիր լուծել (ռուսերեն). «Ուչպեդգիզ» հրատ., Մոսկվա, 1961թ.։
6. Ֆ. Դենկ, Վ. Հարթքոպֆ, Ջ. Փոյա. Իմացաբանություն (էվրիսթիկա) (գերմաներեն). «Der Mathematikunterricht» 10. 1964թ. , մաս 1-ին։
7. Ջ. Փոյա. Իմացաբանական (էվրիսթիկ) դատո­ղությունները թվերի տեսության մեջ (անգլերեն). «American Mathematical Monthly». 66. 1959թ. . Էջք 375-384։
8. Ջ. Փոյա. Արդո՞ք իմացաբանությունը (էվրիսթիկան) խելամիտ է որպես ուսումնասիրման առարկա (ֆրանսերեն). «La Methode dans les Sciences Modernes». 1958թ. . Էջք 279-285։
9. Ջ. Փոյա. Ուսուցանումը խնդիրների միջոցով (ֆրանսերեն). «Enseignement mathematique», 13. 1967/ 1968թթ. . հ. Յ. Էջք 233-241։
10. Ջ. Փոյա. Գաղափարագրային. (հիերոգլիֆային) գրչության մասին (անգլերեն). «American Mathematical Monthly». 63. 1956թ. էջք 689-697։
11. Ջ. Փոյա Մաթեմատիկայի դասավանդումն ու կենսածագումնաբանական (կենսագենետիկային) օրենքը (անգլերեն). «The Scientist Speculates», «IJ. Good» հրատ.. 1962թ.. Էջք 352-356։
12. Ջ. Փոյա. Մաթեմատիկայի դասավանդումը Շվեյցարիայում (անգլերեն), « American Mathematical Monthly». 67. 1960թ.. Էջք 907-914։
13. Ջ. Փոյա. Ավագ դպրոցի ապագա ուսուցիչների համար նախատեսված ուսումնական ծրագրի մասին (անգլերեն). « American Mathematical Monthly ». 65. 1958թ. . Էջք 101-104։
14. Ջ. Փոյա. ժողովրդական քվեների նվազագույն մի մասը, որը կարող Է հանգեցնել Միացյալ Նահանգների Նախագահի ընտրմանը (անգլերեն). «The Mathematics Teacher». 54. 1961թ. . Էջք 130-133։
15. Ավագ դպրոցի մաթեմատիկայի ուսու­մնական ծրագրի մասին (65 անձանց կողմից ստորագրած հուշագիր) (անգլերեն), « American Mathematical Monthly». 69. 1962թ. . էջք 189-193։
16. Դինկին. Ե. Բ., Մոլչանով Ս. Ա., Ռոզենտալ Ա. Լ. Մաթեմատիկական մրցույթներ՝ թվաբանություն և հանրահաշիվ (ոուսերեն). «Նաուկա» հրատ. . Մոսկվա. 1970թ.։
17. Դինկին Ե. Բ., Ուսպենսկի Վ. Ա., Մաթեմատիկական զրույցներ (ռուսերեն). «Գոստեխիզդատ» հրատ., Մոսկվա. 1952թ.։
18. Լակատոշ Ի. Ապացույցներ և հերքումներ (ռուսերեն). «Նաուկա» հրատ. Մոսկվա. 1967թ.։
19. Վիտտենբերգ Ա. Ի. Կրթությունը և մաթեմատիկան (գերմաներեն), Շտուտգարտ. 1963թ.։
20. Դուբիշ Ռ. Մաթեմատիկայի դասավանդումը (անգլերեն). Նյու Յորք. 1963թ.։

15-րդ գլուխը

Աղբյուրը` տպագիր «Դպիրի» 1994թ. 7-8-րդ համար

Լուսանկարի աղբյուրը՝ peoplecheck.de

Ծանոթությունները` թարգմանչի:

[1] Ռուսերեն գրականության մեջ գիտնականի անունն ու ազգանունը գրվում են երբեմն գերմանական` Գեորգ Պոլիա, երբեմն էլ` հունգարական տարբերակով՝ Գյերդ Պոյա: Այստեղ նախընտրել ենք ամերիկյան տարբերակը` Ջորջ Փոյա, որը վերջին տարիներին հրատարակված գրքերում առավել հաճախ է հանդիպում: 

[2] Համեմատի՛ր E.R.Hilgard «Theories of bearag» (2-րդ հրատ. Նյու Յորք,   1956թ.) գրքի 485-490 էջերի հետ։

[3] Ուիլյամ Ջեյմս (1842-1910), ականավոր ամերիկացի հոգեբան, «գիտակցության հոսքի» մոդայական տեսության ստեղծողը: Նկատելի ազդեցություն է ունեցել արևմտաեվրոպական և ամերիկացի շատ գրողների վրա (Մարսել Պրուստ, Ջեյմ Ջոյս, Էռնեստ Հեմինգուեյ և ուրիշներ):

[4] Մաքս Վերթհայմեր (1880-1943), նշանավոր գերմանացի հոգեբան, այսպես կոչված «գեշթալտ-հոգեբանության» հիմնադիրներից մեկը, որի համաձայն մարդու հոգեբանական կյանքում հիմնական դերն են խաղում որոշ կազմավորված «կերպարներ» ( գերմ.` die Gestalt): Արդի արևմտյան փիլիսոփայության մեջ շատ հանրաճանաչ այդ ուղղությանը մասամբ ձայնակցում է Ն. Բուրբակիի ֆրանսիական դպրոցից սկիզբ առնող պատկերացումը մաթեմատիկայի մասին` որպես որոշակի «մաթեմատիկական կառուցվածքի» վերաբերյալ ուսմունքի:

[5] Համեմատի՛ր հետևյալ գրքի նախաբանի հետ` Ի. Մ. Գլազման, Յու. Ի. Լյուբիչ. «Վերջավոր չափանի գծային վերլուծություն». «Նաուկա» հրատ. 1969 թ. (գիրքն այդ գրված է, ի դեպ, [2] գրքի զորեղ ազդեցության տակ):

[6] Տես The American Mathematical Monthly, 67 (1960). էջք 982-991։ (ԱՍՆ-ի բոլոր ստեղծագործաբար աշխատող մաթեմատիկոսներին և մաթեմատիկա դասավանդողներից շատերին միավորող Ամերիկյան Մաթեմատիկական ընկերությունը (The Mathematical Association of America. կրճատ՝ MAA) իր շրջանից ընտրել է բազմաթիվ նշանավոր գիտնականներ և ուսուցիչներ “ներգրավող՝ դպրոցական մաթեմատիկայի հարցերով Ծրագրային հանձնաժողովը (The Commitee on the Undergraduate Program in Mathematics, կրճատ՝ CUPM) և ուսուցիչների նախապատրաստման հարցերով հատուկ Կոմիտեն (The Panel on Teacher Training, կրճատ`PTT)՝ CUPM — ի հովանու տակ. PTT-ի նախագահ էր նշանակվել խոշոր մաթեմատիկոս և ականավոր մանկավարժ Ջոն Քեմընին միջին դպրոցում մաթեմատիկայի դասընթացի արդիականացման համար լայն միջազգային շարժման առաջնորդներից մեկը (Քեմընիի և նրա համախոհների մանկավարժական գաղափարներին կարելի է ծանոթանալ հետևյալ գրքի միջոցով՝ Ջ. Քեմընի. Ջ. Սնել. ՋԹոմփսոն. «Վերջավոր մաթեմատիկայի ներածություն». հրատ.«ԻԼ». 1963թ.)։ PTT-ի կազմած հանձնարարականները հաստատվել էին CUPM-ի և MAA–ի վարչության կողմից, ինչը Փոյային թույլ է տալիս դրանք «պաշտոնական» անվանելու։ Այդ հանձնարարականների հիմնական պաթոսը մաթեմատիկայի ուսուցիչների զուտ գիտական պատրաստության բարձրացման պահանջն է PTT-ի կողմից դիտարկվող ուսուցիչների հինգ խմբերից կամ «մակարդակներից» յուրաքանչյուրի համար՛ I մակարդակից (տարրական դպրոցի ուսուցիչներ) մինչև V մակարդակ (մաթեմատիկայի ուսուցիչներ պատրաստող «ուսուցչական քոլեջների» դասավանդոդներ). հանձնարարականներում մատնանշված են ուսուցիչների մաթեմատիկական նախապատրաստությանը ներկայացվող նվազագույն պահանջները, ընդ որում՝ լուրջ ուշադրություն է հատկացվում «վերջավոր մաթեմատիկայի» (Քեմընիի և նրա խմբի իմաստով) բաժիններով (բազմությունների հանրահաշիվ,    մաթեմատիկական    տրամաբանության տարրեր, հավանականաթյունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն) նախապատրաստման հարցերին։ Հանձնարարականներում՝ ավելի քիչ ուշա­դրություն է հատկացվել մեթոդիկայի դասընթացներին (Curriculum-study courses` տե՛ս ստորև), որոնց վերաբերյալ ասված է միայն, որ դրանք պետք Է ապահովեն.
I) դասավանդման մեջ կիրառվող և գրականության մեջ արտացոլված՝ միջին դպրոցի մաթեմատիկայի կառուցման զանազան տարբերակների իմացությունն ապագա ուսուցչի կողմից.
2) նոր մաթհմատիկական գաղափարների մակածական (ինդուկտիվ) և արտածական (դեդուկտիվ) ներմուծման տեխնիկայի տիրապետումը և նոր նյութի շարադրման այս կամ այն համակարգի համեմատական արժանիքների և տեղի գնահատումը
3) գոյություն ունեցող մաթեմատիկական և մեթոդական գրականության իմացությունը
4) տարրական մաթեմատիկայի հիմնական գաղա­փարների և գործնական դասավանդման մեջ այդ գաղա­փարների իրացման միջոցների տիրապետումը
5) միջին ղպրոցի դասընթացի մեջ ներդրված մաթեմատիկական գաղափարների և գարգացվող ապարատի գործադրման հիմնական ուղիների ըմբռնումը։)

[7] Տառացիորեն «գիտեմ՝ ինչպես», ի հակադրումն «գիտեմ, որ»-ի։

[8] Պաշտոնական հանձնարարականների IV մակարդակը (մաթեմատիկայի գծով խորացրած պատրաստությամբ դպրոցներում` մաթեմատիկական վերլուծության տարրեր, գծային հանրահաշիվ, հա­վանականությունների տեսություն և այլ հատուկ առարկաներ դասավանդողները) մեր պայմաններում համապատաս֊խանում է մասնագիտացված մաթեմատիկական դպրոցների ուսուցիչների խմբին։

[9] Տես նաև հեղինակի [3] հոդվածը։

[10] Պարտադիր պայման (լատ. )։

[11] Տե՛ս §4–ի 1-ին կետը և §5–ի I-ին կետը։ Խորհուրդ է տրվում ծանոթանալու նաև ավելի վաղ քննարկված՝ մյուս երկու սկզբունքներին։

[12] Համեմատի՛ր նաև հեղինակի [4] գրքի հետ։

[13] Համեմատիր նաև հեղինակի մի այլ մտքի հետ. մեկ անգամ կիրառված գաղափարը արհեստական եղանակ է. կրկնակի կամ եռակի կիրառված՝ արդեն մեթոդ է դառնում։ Ցանկանո՞ւմ եք արդյոք հետագա մանրամասնություններ։ Ընթերցե՛ք «Մաթեմատիկական հայտնություն» գիրքն ամբողջությամբ։

[14] Համեմատիր §5-ի 2-րդ կետի հետ։

[15] Աստված մեքենայի միջից (լատ.)։

[16] Տես հեղինակի (4) գիրքը՝ 409-րդ և հաջորդող էջերը:

Թարգմանիչ՝ Ռոբերտ Հովսեփյան

Խմբագիր՝ Մարինե Ամիրջանյան