Սկիզբը
15
«Լուրջ» թեորեմ ասելով` ընդունված է հասկանալ «արժեքավոր» գաղափար պարունակողը: Ինձ թվում է` պետք է փորձենք ավելի մանրամասն վերլուծել այն հատկությունները, որոնք մաթեմատիկական գաղափարը դարձնում են արժեքավոր: Դա անելը շատ դժվար է, և քիչ հավանական է, որ իմ արած վերլուծությունը շատ արժեքավոր լինի: «Արժեքավոր» գաղափարի հանդիպելիս այն ճանաչում ենք, ինչպես ճանաչեցին արժեքավոր գաղափարները Էվկլիդեսի և Պյութագորասի վերոհիշյալ թեորեմներում, բայց կարևորը ճանաչելու կարողությունը շատ բարձր կարգի մաթեմատիկական իմաստություն և մաթեմատիկական գաղափարների իմացություն է պահանջում, ինչը ձեռք է բերվում միայն դրանց շրջանում երկար լինելու արդյունքում: Այդ պատճառով կփորձեմ մաթեմատիկական գաղափարի «լրջությունը» ինչ-որ չափով վերլուծել և վերլուծությունը, որքան հնարավոր է, խելամիտ և հասկանալի դարձնել, չնայած իր ողջ անհամազորությանը: Էական դեր ունի երկու հատկություն` գաղափարի ընդհանրությունը և խորությունը, բայց դրանցից ոչ մեկը հեշտ և հասարակ չի սահմանվում:
Կարևոր մաթեմատիկական գաղափարը, մաթեմատիկական լուրջ թեորեմը ինչ-որ իմաստով պետք «ընդհանրություն» ունենա: Գաղափարը պետք է տարբեր տեսակի շատ թեորեմներ ապացուցելու համար օգտագործվող մաթեմատիկական շատ կառույցների բաղկացուցիչ լինի: Թեորեմը պետք է այնպիսին լինի, որ նույնիսկ եթե սկզբում մասնավոր տեսքով է ձևակերպվել (ինչպես Պյութագորասի թեորեմը), էական ընդհանրացումներ թույլ տա և տիպական լինի նման թեորեմների ամբողջ դասի համար: Դրա ապացուցման ժամանակ բացահայտվող հարաբերությունները պետք է տարբեր մաթեմատիկական գաղափարներ կապեն իրար: Այս ամենը շատ աղոտ է և բազմաթիվ ճշգրտումներ է պահանջում: Բայց, ինչպես դժվար չէ նկատելը, թեորեմը դժվար թե հավակնի լուրջ լինելու, եթե նրա այս հատկություններն ակնհայտորեն բացակայում են: Մնում է առանձին կուրիոզների օրինակներ բերել, որոնք շատ են հանդիպում թվաբանության մեջ: Ռոուզ Բոլի և Կոկսետերի «Մաթեմատիկական էսեներ և զվարճալիքներ» գրքից համարյա պատահաբար փոխ վերցրած երկու օրինակ բերեմ:
ա) բացի 8712 և 9801 թվերից, ուրիշ քառանիշ թիվ չկա, որը հավասար լինի նույն թվանշաններով, բայց հակառակ դասավորությամբ գրված թվի բազմապատիկին.
8712 = 4•2178, 9801 = 9•1089.
Այս հատկությունը ունեցող և 10000-ը չգերազնացող ուրիշ թիվ չկա:
բ) Միայն չորս թիվ գոյություն ունի (1-ից բացի), որ հավասար լինի իր թվանշանների խորանարդների գումարին, օրինակ
153 = 13 + 53+33, 370 = 33 + 73+03,
371 = З3 + 73 + 13, 407 = 43 + 03 + 73:
Այս բոլորը հետաքրքիր փաստեր են՝ հարմար թերթերի գլուխկոտրուկներով սյունակների համար, որոնք կարող են զբաղեցնել սիրողներին, բայց մաթեմատիկոսի սիրտը դրանց չի կպչի: Դրանց ապացույցները ո´չ դժվար, ո´չ էլ հետաքրքիր, ընդամենը մի քիչ տաղտկալի են: Համապատասխան պնդումներն էլ, ինչպես թեորեմներ, լուրջ չեն: Պարզ է, որ պատճառներից մեկը (թերևս, ոչ ամենակարևորը) դրանց ինչպես ձևակերպման, այնպես էլ ապացույցի որևէ ընդհանրացում թույլ չտվող չափազանց կոնկրետությունն է:
16
«Ընդհանրությունը» բազմիմաստ և շատ վտանգավոր բառ է, և պետք է ուշադիր հետևենք, որ շատ չհանդիպի մեր դատողություններում: Այն օգտագործվում է տարբեր իմաստներով և´ մաթեմատիկայի, և´ մաթեմատիկայի մասին գրականության մեջ, և ընդհանրության ընկալման մի իմաստի վրա տրամաբանները հատուկ շեշտադրում են անում, չնայած մեզ համար տրամաբանների այդպիսի ընկալումն այստեղ բոլորովին տեղին չէ: Այդ իմաստով, դժվար չէ ապացուցել, մաթեմատիկական բոլոր թեորեմները միանման և ամբողջական «ընդհանրություն» ունեն:
«Մաթեմատիկայի որոշակիությունը,- ասում է Ուայթհեդը,- կախված է նրա բացարձակ վերացարկված ընդհանրությունից»: Երբ պնդում ենք, որ 2+3=5, խոսում ենք «առարկաների» երեք խմբի միջև եղած առնչության մասին, և այդ «առարկաները» խնձորներ, դրամներ կամ այլ տեսակի կոնկրետ առարկաներ չեն, այլ ուղղակի «առարկաներ», «ցանկացած տեսակի առարկաներ»: Պնդման իմաստը բոլորովին կախված չէ խմբերի առանձին անդամներից: Մաթեմատիկական բոլոր «օբյեկտները», «իմաստները» կամ «հարաբերությունները», ինչպիսիք են «2», «3», «5» կամ «=», և մաթեմատիկական բոլոր նախադասությունները, որոնցում դրանք մասնակցում են, բացարձակ ընդհանուր բնույթ ունեն այն իմաստով, որ դրանք բացարձակապես վերացարկված են: Ուայթհեդի պնդման մեջ բառերից մեկն ավելորդ է, քանի որ այս իմաստով ընդհանրությունը հենց վերացարկվածությունն է:
«Ընդհանրություն» բառի այս իմաստը կարևոր է, և տրամաբանները լրիվ արդարացի են՝ ընդգծելով այն, քանի որ այն իր մեջ տափակություն է պարունակում, որի մասին շատերը, ովքեր պետք է այդ հարցում ավելի լավ գլուխ հանեին, հակված են մոռանալու: Օրինակ` հաճախ կարելի է լսել, թե ինչպես որևէ աստղագետ կամ ֆիզիկոս հայտարարում է, որ իրեն հաջողվել է գտնել այն բանի «մաթեմատիկական ապացույցը», որ ֆիզիկական տիեզերքը պետք է այս կերպ, այլ ոչ թե ուրիշ կերպ դրսևորվի: Այդպիսի բոլոր հայտարարությունները, եթե բառացի մեկնաբանենք, բացարձակ անհեթեթ են: Հնարավոր չէ մաթեմատիկորեն ապացուցել, որ վաղը արևի կամ լուսնի խավարում կլինի, որովհետև խավարումները և մյուս ֆիզիկական երևույթները որպես բաղադրիչներ չեն տեղավորվում մաթեմատիկայի վերացարկված աշխարհում: Համոզված եմ, որ բոլոր աստղագետներն ստիպված կլինեին ընդունել այս պնդման ճշմարտացիությունը, քանի խավարում էլ, որ կանխատեսած լինեն մինչ այդ:
Պարզ է, որ հիմա մեզ այլ տեսակի «ընդհանրություն» է հետաքրքրում: Մենք տարբերություններ ենք փնտրում ընդհանրությունների մեջ. բոլոր մաթեմատիկական թեորեմները Ուայթհեդի իմաստով ունեն միատեսակ ընդհանրություն: Այսպիսով § 15-ում բերված ա) և բ) «պարզագույն» թեորեմները նույնքան «վերացական» և «ընդհանուր» են, ինչպես Էվկլիդեսի և Պյութագորասի թեորեմները կամ ցանկացած շախմատային խնդիր: Շախմատյին խնդրի համար միևնույն է, թե ինչ գույնի են ֆիգուրները՝ սպիտակ ու սև, թե կարմիր ու կանաչ, և, ընդհանրապես, գոյություն ունե՞ն ֆիզիկական «ֆիգուրներ»: Այս բոլոր դեպքերում գործ ունենք միևնույն խնդրի հետ, որը գիտակը հանգիստ պահում է մտքում, իսկ մենք ստիպված են ջանասիրաբար այն վերարտադրել շախմատի տախտակի վրա: Պետք է նշել, որ շախմատի տախտակն ու ֆիգուրները միայն մեր ծույլ երևակայությունը խթանելու միջոց են և խնդրի էության հետ ավելի շատ կապ չունեն, քան կավիճն ու գրատախտակը` այն թեորեմների հետ, որ ապացուցում ենք մաթեմատիկայի դասերին:
Խոսքն այն ընդհանրության մասին չէ, որ բնորոշ է մաթեմատիկական բոլոր թեորեմներին, որի փնտրտուքով զբաղված էինք մինչ այժմ: Հիմա մեզ հետաքրքրում է ավելի նուրբ և չերևացող այն ընդհանրությունը, որը փորձեցի ընդհանուր գծերով նկարագրել § 15-ում: Եվ պետք է ուշադիր հետևենք, որ չափից դուրս չշեշտենք նույնիսկ այդպիսի ընդհանրությունը (այդպես անելու սովորություն ունեն տրամաբանները, օրինակ Ուայթհեդը): Սա միայն արդի մաթեմատիկայի կարևոր նվաճումների թվին պատկանող «ընդհանրացումների նրբություններն ընդհանրացնելու նրբությունների վրա բարդելը» չէ: Ընդհանրության որոշակի բաժին պետք է պարունակի բարձր կարգի ցանկացած թեորեմ, բայց չափազանց ընդհանրացումն անխուսափելիորեն կհանգեցնի թեորեմի «դժգունությանը»: «Ամեն ինչ այն է, ինչ կա, և ոչ ուրիշ բան», և առարկաների միջև տարբերությունները պակաս հետաքրքիր չեն, քան նրանց նմանությունները: Մեր ընկերներին ընտրում ենք ոչ այն պատճառով, որ նրանք մարդուն հատուկ բոլոր լավ որակներն ունեն, այլ որովհետև նրանք այն են, ինչ կան: Այդպես է և մաթեմատիկայում. չափից շատ օբյեկտների համար ընդհանուր հատկությունը դժվար թե շատ հետաքրքիր լինի, և մաթեմատիկական գաղափարներն էլ տաղտկալի են դառնում, եթե բավարար անհատականություն չունեն: Այստեղ կարող եմ գոնե Ուայթհեդին մեջբերել, որ տվյալ դեպքում իմ կողմից է. «Արգասաբեր հայեցակարգը լայն ընդհանրացումն է, որը սահմանափակված է հաջող մասնավորեցմամբ»:
17
Նշանակալի գաղափարից պահանջվող երկրորդ հատկությունը խորությունն է: Դա սահմանելն ավելի դժվար է: Դա ինչ-որ կերպ կապված է դժվարության հետ. «ավելի խորը» գաղափարները սովորաբար ավելի դժվար ըմբռնելի են, բայց դրա հետ մեկտեղ նույն բանը չեն: Պյութագորասի թեորեմի և դրա ընդհանրացումների հիմքում ընկած գաղափարները շատ խորն են, բայց ժամանակակից մաթեմատիկոսը դրանք դժվար չի համարի: Մյուս կողմից, թեորեմը կարող է իր էությամբ մակերեսային լինել, բայց ապացուցման համար շատ դժվար (այդպիսիք են, օրինակ, «դիոֆանտյան»[1] շատ թեորեմներ, այսինքն` ամբողջ թվերում հավասարումների լուծումների մասին թեորեմները):
Տպավորություն է ստացվում, որ մաթեմատիկական գաղափարները շերտավորված են, այսինքն` շերտերով են դասավորված, մի շերտի գաղափարները միմյանց հետ և իրենցից ներքև և վերև գտնվող շերտերի գաղափարների հետ կապված են բազմաթիվ հարաբերություններով: Որքան ներքև է շերտը, այնքան խոր (և, որպես կանոն, ավելի դժվար) է գաղափարը: Այսպես, «իռացիոնալ թվի» գաղափարն ավելի խորն է, քան ամբողջ թվինը, և այդ պատճառով էլ Պյութագորասի թեորեմն ավելի խորն է, քան Էվկլիդեսինը:
Ուշադրությունը կենտրոնացնենք ամբողջ թվերի կամ որևէ կոնկրետ շերտում ընկած ուրիշ օբյեկտների խմբում եղած հարաբերություններին: Հնարավոր է, որ այդ հարաբերություններից մեկը լրիվ հասկանալի լինի, որ կարողանանք ճանաչել և ապացուցել, օրինակ, ամբողջ թվերի որևէ հատկություն, առանց իմանալու ավելի ներքևում գտնվող շերտի պարունակության մասին: Այսպես, Էվկլիդեսի թեորեմն ապացուցեցինք` դիտարկելով միայն ամբողջ թվերի հատկությունները: Բայց քիչ չեն ամբողջ թվերի մասին այնպիսի թեորեմները, որ չենք կարող արժանի ձևով գնահատել, առավել ևս՝ ապացուցել, եթե ավելի խոր «չփորփրենք» և չպարզենք այն, ինչ տեղի է ունենում ավելի ստորին շերտերում:
Դժվար չէ այդպիսի օրինակներ բերել պարզ թվերի տեսությունից: Էվկլիդեսի թեորեմը շատ կարևոր է, բայց առանձնապես խոր չէ. կարող ենք ապացուցել, որ գոյություն ունեն անվերջ թվով պարզ թվեր` չօգտվելով «բաժանելություն» հասկացությունից ավելի խորը որևէ բանից: Բայց հենց իմանում ենք, որ պարզ թվերն անվերջ են, միանգամից նոր հարցեր են առաջանում: Լավ, պարզ թվերն անվերջ են, իսկ ինչպե՞ս են նրանք բաշխված: Ենթադրենք N-ը մի մեծ թիվ է, օրինակ 1080 կամ (1010)10 [2] : N-ը չգերազանցող քանի՞ պարզ թիվ կա[3]: Բավական է այս հարցերը տալ, և հայտնվում ենք լրիվ այլ իրավիճակում: Կարող ենք դրանց պատասխանել զարմանալի ճշգրտությամբ, բայց պետք է ավելի խոր փորփրենք` ժամանակավորապես մի կողմ թողնելով ամբողջ թվերը, և օգտվենք ֆունկցիաների ժամանակակից տեսության ամենահզոր զենքերից: Այսպիսով մեր հարցին պատասխանող թեորեմը (այսպես կոչված` «պարզ թվերի բաշխման թեորեմը») շատ ավելի խորն է, քան Էվկլիդեսի կամ նույնիսկ Պյութագորասի թեորեմը:
Կարող էի հեշտությամբ էլի օրինակներ բերել, բայց «խորության» հասկացությունը չբռնվող է նաև մաթեմատիկոսի համար, որ կարող է այն ճանաչել, և դժվար թե էլի ինչ-որ բան կարողանամ ասել այս հասկացության մասին, որ օգտակար լինի ոչ մասնագետ ընթերցողին:
18
Էլի մեկ հարց, որ մնացել է § 11-ից, որտեղ ինձ թույլ տվեցի համեմատել «իսկական» մաթեմատիկան և շախմատը: Հիմա կարող ենք անկասկած համարել, որ իր էությամբ, խստությամբ և կարևորությամբ իսկական մաթեմատիկական թեորեմը մեծ առավելություն ունի շախմատի նկատմամբ: Մարզված մտքի համար գրեթե նույնքան ակնհայտ է, որ իսկական մաթեմատիկան գեղեցկության հարցում էլ մեծ առավելություն ունի, բայց ավելի դժվար է այդ առավելությունը որոշելը և նրա տեղը ցույց տալը, քանի որ շախմատային պարտիայի հիմնական թերությունը նրա «պարզությունն» է, և այս իմաստով հակադրությունը խառնվում է ցանկացած մաքուր գեղագիտական դատողության հետ և գրգռում վերջինին: Ի՞նչ «մաքուր գեղագիտական» հատկություններ կարող ենք գտնել այնպիսի թեորեմներում, ինչպիսիք են Էվկլիդեսի և Պյութագորասի թեորեմները: Կհամարձակվեմ միայն առանձին մեկնաբանություններ անել:
Երկու թեորեմն էլ (հասկանալի է, որ թեորեմներում ընդգրկում եմ ոչ միայն ձևակերպումները, այլև ապացույցները) աչքի է ընկնում անսպասելիության բարձր աստիճանով՝ անկասկածի և խնայողականի զուգորդմամբ: Ապացույցները ձևով անսովոր են ու զարմանալի, օգտագործվող գործիքները մանկականորեն պարզ են թվում հեռահար արդյունքների համեմատ, բայց բոլոր եզրահանգումները անհրաժեշտաբար հետևում են թեորեմից: Մանրուքները չեն խանգարում ապացույցի հիմնական գծին. յուրաքանչյուր դեպքում մեկ ուղղությամբ գրոհելը բավարար է: Նույնը վերաբերում է նաև ավելի դժվար շատ թեորեմների: Դրանք ըստ արժանավույն գնահատելու համար մաթեմատիկայից հիմնարար գիտելիք է պահանջվում: Մաթեմատիկական թեորեմ ապացուցելիս «բազմատարբերակություն» չի պահանջվում. բոլոր դեպքերի թվարկումը մաթեմատիկական ապացույցների ամենաձանձրալի ձևերից է: Մաթեմատիկական ապացույցը վառ աստղերով և հստակ ուրվագծերով համաստեղություն պիտի հիշեցնի, այլ ոչ թե լղոզված սահմաններով Ծիր Կաթնի աստղաբույլ:
Շախմատային խնդիրը նմանապես օժտված է անսպասելիությամբ և որոշակի խնայողությամբ: Էական է , որ քայլն անսպասելի լինի, և տախտակի վրա յուրաքանչյուր ֆիգուր իր դերն ունենա: Բայց գեղագիտական էֆեկտը կուտակային ազդեցություն ունի: Էական է նաև (միայն եթե շախմատային խնդիրը շատ պարզ չլինի, որ իսկապես զվարճալի լինի), որ վճռորոշ քայլից հետո եկող քայլերը շատ տարբերակներ ունենան, որոնցից յուրաքանչյուրն իր անհատական պատասխանը ունենա: «Եթե սպիտակները զինվորով գալիս են b5 դաշտը, սևերը պատասխանում են ձիու քայլով` e6, եթե…., ապա…., եթե….., ապա….»: Տպավորությունը կփչանար, եթե խաղացողը հակառակորդի ամեն քայլի դիմաց քայլերի այդքան շատ տարբերակ չունենար: Այս ամենն իսկական մաթեմատիկա է և իր արժանիքներն ունի, բայց շախմատային ապացույցները բոլոր հնարավոր տարբերակները թվարկելու միջոցով ապացույցների թվին են պատկանում, որոնք իրարից այնքան էլ շատ չեն տարբերվում, և որոնց իսկական մաթեմատիկայում արհամարհանքով են վերաբերում:
Հակված եմ մտածելու, որ կարող էի ուժեղացնել իմ փաստարկները` դիմելով շախմատիստների զգացմունքներին: Կասկած չի հարուցում, որ վարպետ շախմատիստը, նշանավոր պարտիաների և մրցամարտերի մասնակիցը, հոգու խորքում արհամարհանքով է վերաբերում շախմատային խնդիրներ լուծելու մաքուր մաթեմատիկական արվեստին: Շախմատի իսկական վարպետը բավականին պահուստ ունի, որտեղից անհրաժեշտության դեպքում կարող է օգտվել պետքական քայլը գտնելու համար. «եթե հակառակորդս այսպիսի քայլ անի, կարող եմ պատասխանել հաղթանակի հասցնող այսպիսի կոմբինացիայով»: Բայց շախամատային նշանավոր պարտիան հիմնականում լավ մարզված երկու ուղեղների հոգեբանական մրցամարտ է և ոչ թե ընդամենը մաթեմատիկական ոչ մեծ թեորեմների հավաքածու:
19
Անհրաժեշտ է, որ վերդառնամ օքսֆորդյան իմ պաշտպանական խոսքին և ավելի ուշադիր քննարկեմ դրա կետերից մի քանիսը, որոնք հետաձգել էի § 6-ում: Արդեն ակնհայտ է, որ ինձ մաթեմատիկան հետաքրքրում է որպես արվեստ, որպես ստեղծական գործունեության տեսակ: Բայց պետք է նաև ուրիշ հարցեր քննարկել, մասնավորապես, մաթեմատիկայի օգտակարության (կամ ոչ օգտակարության) հարցը, որի մասին շատ անորոշություններ կան: Նաև անհրաժեշտ է քննարկել՝ իրականում արդյո՞ք մաթեմատիկան «անվտանգ» է, ինչպես պնդել եմ օքսֆորդյան իմ դասախոսությունում:
Գիտությունը կամ արվեստը ընդունված է «օգտակար» համարել, եթե դրանք, գոնե անուղղակի ավելացնում են մարդկանց նյութական բարեկեցությունը և հարմարավետությունը, կամ նպաստում են երջանկությանը, եթե օգտվենք այդ բառի պարզագույն առօրեական իմաստից: Օրինակ, բժշկությունը և ֆիզիոլոգիան օգտակար են, քանի որ նրանք բուժում են տառապանքներից, ճարտարագիտությունն օգտակար է, քանի որ մեզ օգնում է շենքեր և կամուրջներ կառուցելիս և այդպիսով նպաստում մեր կյանքի մակարդակը բարձրացնելուն (հասկանալի է, ճարտարագիտությունը նաև վնաս է տալիս, բայց հիմա խոսքը դրա մասին չէ): Այս իմաստով մաթեմատիկայի ինչ-որ մաս, անկասկած, օգտակար է: Ճարտարագետները չէին կարող իրենց խնդիրները լուծել առանց լավ «աշխատող» մաթեմատիկական գիտելիքի, ու մաթեմատիկան սկսել է կիրառություն գտնել նաև ֆիզիոլոգիայում: Այսպիսով, այստեղ մաթեմատիկան պաշտպանելու հող ենք գտնում: Հնարավոր է, որ սա լավագույն և նույնիսկ ամենաուժեղ պաշտպանությունը չէ, բայց անհրաժեշտ է այն ուսումնասիրել: Մաթեմատիկայի ավելի «ազնիվ» կիրառումները, եթե այդպիսիք կան, ստեղծական գործունեության բոլոր տեսակներին վերաբերող կիրառումներ են, մեր վերլուծության համար էական չեն: Պոեզիայի և երաժշտության նման մաթեմատիկան կարող է նպաստել «մտքի հնարավոր սովորությունը պահպանելուն և զարգացնելուն» և այդպիսով ավելացնել մաթեմատիկոսների և նույնիսկ ոչ մաթեմատիկոսների երջանկությունը, բայց այս իմաստով մաթեմատիկան պաշտպանելը կնշանակեր կրկնել այն, ինչ արդեն ասել եմ: Այն, ինչը հիմա պետք է վերլուծենք, մաթեմատիկայից «կոպիտ» օգուտն է:
Շարունակությունը
Թարգմանություն ռուսերենից
Թարգմանիչ՝ Գևորգ Հակոբյան
Նկարը` Հերմինե Անտոնյանի բլոգից
[1] Դիոֆանտ — մոտ 250թ. հելլենիզմի շրջանի մաթեմատիկոս: Պահպանվել են նրա ստեղծագործություններից երկուսը՝ «Թվաբանություն» և «Բազմանկյուն թվերի մասին»:
[2] Ենթադրվում է, որ ամբողջ տիեզերքում 1080 հատ պրոտոն կա: Եթե գրենք (1010)10 թիվը, այն 50000 միջին չափսի հատոր կզբաղեցնի:
[3] 14-րդ պարագրաֆում նշեցի, որ 1000000000-ը չգերազանցող 50847478 հատ պարզ թիվ կա, սա սահմանն է, մինչև որը հասնում է մեր ճշգրիտ իմացությունը: Հիմա այս սահմանը ընդարձակվել է. օրինակ 1024-ից փոքր պարզ թվերի քանակը 18 435 599 767 349 200 867 866 է: (Լրացումը թարգանիչինն է:)