Մանկական անհաջողությունների պատճառները

Սկիզբը
Նախորդ հատվա

1961, մարտի  5

Որոշ մարդիկ կարդալ չիմացող երեխաների մասին ասում են. «Այս երեխաները չեն կարդում կամ չեն կարողանում կարդալ, որովհետև իրենց ուղեղը սխալ են օգտագործում»: Ուրիշներն առարկում են. «Ոչ, որովհետև նրանց ուղեղն այն չէ»: Հիմնավորումները նույնքան սխալ են, որքան և անօգուտ` խոսակցություն խոսակցության համար. նման տարբերություն մեր ուղեղներում և դրանց օգտագործման մեջ չկա: Մարդկային ուղեղը մեքենա չէ, որպեսզի մեր մեջ ինչ-որ մեկը կամ ինչ-որ բան այն օգտագործի ավելի կամ պակաս հաջողությամբ: Ուղեղը կա, աշխատում է՝ վատ կամ լավ, բայց գործնականում միանման բոլոր դեպքերում:

Մեզ պատմում են, որ հնդկական կրոնավորները կարող են տարիներով կանգնել ձեռքը բարձրացրած կամ ձեռքը կամ ոտքը ինչ-որ անբնական վիճակում պահած: Որոշ ժամանակ հետո այդ անդամը բթանում է: Ինչ իմաստ ունի վիճելը, թե ինչն է պատճառը՝ նրա կազմությո՞ւնը, թե՞ կիրառությունը: Պարզ է, որ ձեռքը կամ ոտքը որոշակի ձևով են օգտագործվում, հենց դա էլ նրանց ձեռք կամ ոտք է դարձնում, այլ ոչ ուրիշ բան: Հնարավոր է, որ դա նաև ուղեղին է վերաբերում, և այն, թե ինչպես ենք օգտագործում, որոշում են նրա հնարավորությունները:  Եթե ուղեղը երկար ժամանակ վատ է օգտագործվում, նրա պոտենցիալ հնարավորությունները փոքրանում են: Ուղեղի ակտիվ կիրառումը ընդարձակում է նրա պոտենցիալ հնարավորությունները:

Հետևաբար, պետք է մեծ զգուշությամբ վերաբերվել արտահայտություններին`քանի որ ուսման դժվարությունները ուղեղի վատ աշխատանքով են պայմանավորված, դրանք վերացնելը հնարավոր չէ: Ուղեղը՝ որպես մարդկային մարմնի օրգան, ավելի մեծ ճկունություն և վերարտադրելու կարողություն ունի, քան պատկերացնում ենք: Ինչը չի կարելի անել մի ճանապարհով, հնարավոր է, որ արվի ուրիշով: Եվ հակառակը՝ մեզ պետք է հաշիվ տանք, որ երեխայի ուղեղը բավարար չափով չծանրաբեռնելով, առաջացնում ենք նրա հնարավորությունների փոքրացում:

1961, մարտի 20

Այսօր Էնդիի հետ երկար և լարված աշխատեցի: Ի վերջո նա խնդիրը լուծեց: Հարցն այն է, թե նա ինչ սովորեց: Վախենամ՝ քիչ բան. որոշակիորեն չյուրացրեց բազմապատկման էությունը, նշանակում է՝ ես արդյունքի չհասա: Իր հերթին նա ինձ հիշեցրեց անհաջողությունների, հիասթափությունների, հուզմունքների երկար շքերթ: Նույնիսկ բավարարվածություն չզգաց խնդիրը լուծելով, այլ միայն թեթևություն, որ էլ ստիպված չէ այդ մասին մտածել:

Նա ամենևին էլ հիմար չէ: Չնայած իր նյարդայնությանը և անհանգստությանը՝ նա որոշ բաներով հետաքրքրվում է, հնարամիտ է, էնտուզիազմով լի, տպավորվող է. նրա շարադրություններում անսովոր երևակայություն է զգացվում: Բայց նա վախեցած է գիտակցությունը կորցնելու աստիճանի: Չի կարողանում մաթեմատիկա սովորել, որովհետև նրա ուղեղում մի միտքը այնքան ետ է մնում մյուսից, որ նրանց միջև որևէ կապ կորչում է: Նա ի վիճակի չէ հշելու, թե ինչ է սովորել, հենց այն պատճառով, որ չի վստահում իր հիշողությանը: Նա կարող է ամեն օր 9-ին 7 գումարել, որպեսզի արդյունքում 16 ստանա և համոզվի, որ ոչինչ չի փոխվել, կամ որ ինքը հերթական սխալը չի արել: Ուրիշ ինչպե՞ս հավատա սեփական մտքին, եթե այն այդքան անգամներ սխալվել է:

Չեմ պատկերացնում, թե ինչ կյանք է սպասում նրան, եթե չքանդի անհաջողությունների, ճնշվածության և վախի այդ անիծյալ շրջանը, որում պտտվում է, ինչպես թակարդում: Բայց ինչպե՞ս է քանդելու: Ամենավատն այն է, որ, իմ կարծիքով, մենք՝ մեծերս, իրականում դա չենք ցանկանում: Պատահական չէ, որ տղան վախեցած է: Նրան գիտակցաբար վախեցրել ենք, մեր կամքով, որպեսզի հեշտ լինի նրա վարքը վերահսկելը և ստիպելը, որ անի՝ ինչ մենք ենք ուզում:

Սարսափում եմ, երբ մտածում եմ, թե որքան հաճախ եմ ինքս օգտագործում վախը, անհանգստությունը` որպես ղեկավարման միջոց: Ճիշտ է, կարծում եմ, կամ, համենայն դեպս, հուսով եմ, որ իմ դասարանում երեխաներն ավելի քիչ են վախենում, քան մյուս դասարաններում: Ես ձգտում եմ ղեկավարելու և ստիպելու միջոցները հնարավորին չափ քիչ օգտագործել: Բայց աշխատանքը պետք է կատարվի, ճիշտ չէ՞, և դասարանում երեխաների գործողությունների ազատությունը պետք է սահման ունենա, և նպատակին հասնելու համար իմ կիրառած մեթոդները, ի վերջո հենվում են վախի վրա՝ հարաբերությունները ինձ հետ, կամ դպրոցի հետ, կամ ծնեղների հետ փչացնելու վախի:

Ահա Էնդին, որի վախերը նրան գործնականում դարձրել են կառուցողական մտածողության և աշխատանքի անկարող: Մի կողմից՝ ես ձգտում եմ ցրել այդ վախերը: Բայց մյուս կողմից՝ պետք է ստիպեմ, որ լուծի ատելի մաթեմատիկական խնդիրները: Ինչպե՞ս ստիպեմ: Պատիժներով, այն չափով արդյունավետ, որքանով որ վախ են առաջացնում, որոնք էլ հետո ձգտում եմ վերացնել: Ընդ որում երեխաները, որոնք իրենց համար սովորական դարձած վախից որոշակի ազատության համ են զգացել, սկսում են իրենց պահել ճիշտ այնպես, ինչպես ազատություն զգացած բոլոր մարդիկ՝ բանտախցից դուրս պրծած կալանավորները, հաղթանակած հեղափոխականները: Սկսում են հիմարություններ անել, դառնում են կատաղի և անկառավարելի և կարող են վրեժ հանել մեծերից, որոնք իրենց այդքան երկար ճնշել էին: Արդյունքում, այդպիսի տղային շրջանակում պահելու համար, որպեսզի դպրոցը և ընտանիքը գոհ լինեն, նրան պետք է վախի մեջ պահեմ: Ստացվում է, որ մի ձեռքով ես նրան վախից ազատություն եմ տալիս, իսկ մյուսով իսկույն վերցնում եմ:

Այս ամենի մեջ իմաստ կա՞:

III գլուխ. լուրջ ուսուցում

1958, ապրիլի 20

Գրառումներ մաթեմատիկայի մեթոդական հանձնաժողովի համար

Մենք երեխաներից պահանջում ենք, որ մտածեն իրենց արածի իմաստի մասին: Ասում ենք, որ սա ճիշտ պատասխանը ստանալու հաստատ ճանապարհն է: Սակայն սա կարող է հանգեցնել տարրական մաթեմատիկային այնքան բնորոշ պարադոքսներից կամ հակասություններից մեկին։ Նման դեպքերում «Դե լավ, կանեմ այնպես, ինչպես պահանջում են, իմ հոգսը չէ:» ստերեոտիպով շարժվող աշակերտը հինալի կերպով կատարում է առաջադրանքը, մինչդեռ մյուս աշակերտը, ով ընդունում է ուսուցչի պահանջը տառացիորեն և փորձում է կշռադատել իր յուրաքանչյուր գործողությունը, ինքը խճճվում է և խճճում է ուսուցչին` զարմանալու աստիճանի:  

Հինգերորդ դասարաններից մեկում աշակերտներին առաջարկվել էր մտածել, թե ինչպես ամբողջը բաժանենք կոտորակի: Ուսուցիչն ասաց. «Փորձեք ինքնուրույն 6-ը բաժանել ½-ի»: Աշակերտները հստակ յուրացրել էին այն, ինչն իրենց առաջ սովորեցրել էին, որ «8-ը 4-ի բաժանելը» պետք է մեկնաբանել կա՛մ «Քանի՞ անգամ է չորսը պարունակվում 8-ի մեջ», կա՛մ «Եթե 8-ը բաժանենք 4 հավասար մասի, որքան կպարունակի յուրաքանչյուր մասը»:    Դասարանի մեծ մասը գնաց առաջին ճանապարհով. «Քանի՞ անգամ ½-ը կպարունակվի 6-ի մեջ», և հանգեց ճիշտ պատասխանի՝ 12: Բայց աղջիկներից երկուսը, որ մի քանի օր առաջ փայլուն յուրացրել էր կոտորակով բազմապատկումը, որոշեց այլ ճանապարհով գնալ. «Եթե 6-ը բաժանեք կեսի, որքա՞ն կլինի յուրաքանչյուր մասը». «Բնականաբար՝ 3»: Աղջիկների տրամաբնությունը անթերի էր, իմը` անպիտան, և հանգեցրեց անախորժությունների: Ես նրանց չասացի, որ երկրորդ մեկնաբանությունը այստեղ տեղին չէ, դեռ ավելին՝ կոտորակների դեպքում անիմաստ է: Չասացի, որովհետև ինքս էլ չէի հասկանում: Քանի որ ես նրանց պատմել էի կանոնը, նրանք եզրակացրել էին, որ դա պետք է իմաստ ունենա, և փաստորեն այն ձևափոխել էին այնպես, որ իմաստ ունենար: 6-ը ½-ի բաժանելը կնշանակեր միայն 6-ը կիսել:

Նրանց չհասկանալը պայմանավորված էր իմ ոչ ճիշտ սահմանումով: Ինչպես մարդկանց մեծ մասի մոտ, «բաժանել» բառի իմ կիրառությունը հակասում է նրա մաթեմատիկական իմաստին: Ասում ենք. «Կարկանդակը բաժանիր չորս մասի», հասկանալով, որ կարկանդակը պետք է կտրտել երկու փոխուղղահայաց գծերով, որոնք հատվում են կարկանդակի կենտրոնում, ասում ենք. «Հատվածը կիսիր», նկատի ունենալով, որ պետք է գտնել այդ հատվածի միջնակետը. կարճ ասած, մենք ասում ենք կեսերի բաժանել, երբ ճիշտ կլիներ առաջարկել բաժանել 2-ի: Այդ պատճառով էլ այդ աղջիկների համար լրիվ բնական էր որոշելը, որ 6-ը ½-ի վրա բաժանելու, այսինքն՝ կիսելու, արդյունքը 3 է լինում:

Տղաներից մեկը, ինքն էլ չուզենալով, ավելի մեծ խառնաշփոթ առաջացրեց: Դասի սկզբում նա գրատախտակի մոտ շատ հասկանալի բացատրեց, որ խնդրի իմաստը պարզելն է թե ինչքան ½ է պարունակվում 6-ի մեջ. պատասխան՝ 12: Եվ անմիջապես մի սխալ արեց, որը կանեին և շատ մեծահասակներ: «Տասներկու ի՞նչ»,- հարցրեց նա և պատասխանեց. «Տասներկու կես»,- և գրատախտակին համապատասխանաբար գրեց 12/2: Նա անմիջապես նկատեց իր սխալը, ուղղեց, բայց արդեն ուշ էր. ընդդիմությունը իր առաջնորդին գրատախտակի մոտ ուղարկեց, և նա, օգտվելով բաժանման այլ մեկնաբանությունից, ապացուցեց, որ 6:1/2=12/2, այսինքն 6: Քանի որ սա անհեթեթություն էր, բոլոր կողմերը իրենց կարծիքին մնացին:

Քննարկման մեջ ուրիշ աշակերտներ ընդգրկվեցին, որպեսզի աղջիկներին ապացուցեն, որ նրանք ճիշտ չեն, բայց ոչինչ չստացվեց: Որպեսզի մոլորված մարդկանց անտառից դուրս հանես, պետք է հասնես նրանց: Բայց ոչ ոք չկարողացավ հասկանալ, թե աղջիկներն ինչպես էին այդպիսի արդյունք ստանում, և ոչ ոք չկարողացավ նրանց օգնել: Յուրաքանչյուրն անընդհատ իրենն էր կրկնում: Վերջապես մեկը գլխի ընկավ, որ աղջիկներին խնդրի՝  գրատախտակի վրա հաշվեն 6×1/2-ը։ Նա գրեց 6×1/2= 3: Լավ, կնշանակի՝ 6-ը և՛ 1/2–ով բազմապատկելիս, և ½-ի բաժանելիս նույն արդյո՞ւնքն է ստացվում: Այստեղ աղջիկն ասաց. «Մեզ խաբել են»: Հետաքրքիր է, թե որքան հաճախ են երեխաները խաբված զգում մեր՝ ուսուցիչներիս կողմից:

Մյուս աղջիկը շշնջաց ընկերուհուն. «Անհարմար վիճակի մեջ ընկանք», հետո կմկմաց, որ կոտորակի վրա բաժանելը և բազմապատկելը, հավանաբար, նույնն են: Նա չէր հասկանում, որ երկու անգամ էլ կոտորակով բազմապատկում է: Չդիմանալով ընդհանուր ճնշմանը՝ նա ընկերուհուն ասաց. «Դե, լավ, չվիճենք: 6-ի կեսը 12 է: Չգիտեմ, թե ինչու, բայց 12 է»:

Այս բառերը պարզորոշ բացահայտում են երեխաների վերաբերմունքը այն ամենի նկատմամբ, ինչ տեղի է ունենում դպրոցում: Ինչքա՞ն բան կա, որ սովորեցնում եմ, և աշակերտների կողմից այս ձևով է ընկալվում: Երեխային կարող էր թվալ, որ իմ բառերը հակասում են առողջ դատողությանը, անգլերեն բառերի իմաստին և նույնիսկ այն բանին, ինչ ինքս որոշ ժամանակ առաջ ասել էի, բայց նա պետք է ենթարկվեր ուսուցչի հեղինակությանը, և նրա խոսքը ընդուներ անկախ նրանից՝ դրանցում իմաստ կա, թե ոչ: 

Ի վերջո, աղջիկներին օգնեցի հասկանալու իրենց սխալը և ազնվորեն խոստովանեցի, որ պատճառը իմ սեփական բառերն են եղել: Բայց հետո մի քանի շաբաթ մտածեցի դասարանում իմ բացատրությունների հնարավոր հակասությունների մասին և դրանց նկատմամբ զգայունություն ձեռք բերեցի:  Այս դեպքն ինձ ցույց տվեց, որ ուսուցիչներս, պետք է սկսենք մեր գաղափարները և մեթոդիկաները դիտարկել նրա աչքերով, որ ոչինչ չգիտե, ում ամեն ինչ պետք է ապացուցել, և ով չի հանդուրժում անհետևողականություն և պարադոքսներ: Մենք պետք է ազատվենք դասարանում ոչ միարժեքությունից, անճշտությունից և հակասություններից: «Տարրական» մաթեմատիակայում հստակություն և հետևողականություն ներմուծելու անհրաժեշտությունը մաթեմատիկոսների առջև կանգնած հիմնական խնդիրներից է, և հեշտ խնդիր չէ:

1958, հուլիսի 28

Մի անգամ, մի քանի տարի առաջ, ընկերներիցս մեկը հարցրեց ինձ. «Երբևէ տեսե՞լ ես սիլիկոնե ծեփամածիկ»,- և, լսելով իմ բացասական պատասխանը, մի գունդ մեկնեց ինձ: Ես տրորեցի, տափակեցրի, ձգեցի դարձրի երկար բարակ պարան, կտրտեցի փոքրիկ կտորների:  «Հիմա գնդիկ սարքիր և գցիր գետին»,- առաջարակեց ինձ: Այդպես էլ արեցի: Աչքերս, ուղեղս, յուրաքանչյուր ոսկորս գիտեին, թե ինչ պետք է լիներ. ծեփամածիկը պետք է տափակեր հատակին և կպած մնար: Երբ գունդը գցեցի հատակին, հայացքս, լրիվ բնազդորեն, ետեևից ուղղվեց ներքև, բայց գնդիկը հայտնվեց գրեթե աչքերիս մակարդակին. այն վեր էր թռել: Վայրկայնի մի սարսափելի (փոքր) մասի ընթացքում տիեզերքը շուրջս տատանվեց: Ես վայրի սարսափի եզրին էի: Բայց իսկույն ինչ-որ բան միացավ գլխումս, ներքին մի ձայն ասաց. «Ահ, թռչկոտում է. մարդիկ ինչ ասես չեն հորինի»,- և աշխարհում նորից կարգը և բանականությունը տիրեցին:  

Դա ինձ հիշեցրեց մի փոքրիկ աղջկա մասին՝ առաջի՞ն, թե՞ երկրորդ դասարանցի, որը լաց էր եղել, երբ դասարանում ուսուցիչը ցույց էր տվել, թե ինչպես է գրվում «մի անգամ» բառը: Ուսուցիչը վստահ էր, որ աղջիկը լաց է լինում, որովհետև բառը դժվար է: Բայց բացառված չէ, որ նա լաց լիներ այն պատճառով, որ փշրվել էր իր պատկերացումը այն մասին, թե ինչպես պետք է բառերը գրվեն: Միգուցե նրա համար ավելի հեշտ լիներ, եթե ուսուցիչը հնարավոր համարեր, որ բառերը գրելու կանոնները անհասանելի են նորմալ ուղեղի համար: Հավանաբար, երեխաներին դպրոցից վանում է ոչ միայն այն, որ ուսուցչի բառերը նրանց անհեթեթ են թվում, այլ ավելի շուտ ուսուցչի՝ անմիտ բաները նորմալների հետ մի շարքում մատուցելու սովորությունը, և երեխան սկսում է զգալ, որ եթե ինքը ինչ որ բան չի հասկացել, իր մեղքն է, ինչպես և մտածված էր: 

Այն, ինչը մեզ թվում է հասարակ, բնական և ակնհայտ, երեխայի համար ամենևին էլ այդպիսին չէ: Օրինակ, վերցնենք 10 թիվը: Մենք այնպես ենք վարժվել դրան, որ չենք պատկերացնում, թե 1-ը և 0-ն առանձին-առանձին ճանաչող մեկն ինչ զարմանք կարող է ապրել, երբ նրան ասեն, որ այդ երկու թվանշանները միասին ավելի մեծ թիվ են նշանակում: Երեխաներին այդ թվի հետ ծանոթացնելիս պետք է հասկացնենք, որ այստեղ պայմանականություն կա, որպեսզի նրանք չշվարեն այդ գաղտնիքի առաջ: Հակառակ դեպքում շոկի մեջ կընկնեն, որը երբեք չի ջնջվի նրանց հիշողությունից:

Բայց կարդալը ինքուրույն սովորած երեխաները հիստերիկայի մեջ չեն ընկնում «մի անգամ» բառի տեսքից, կամ ցանկացած այլ բառի, որը այնպես չի գրվում, ինչպես լսվում է: Երեխաները, որոնք ինքնուրույն են սովորել այն, ինչը իրենց հետաքրքիր է, չեն շփոթվում ինչ-որ տարօրինակ կամ անսովոր բանից: Նրանք կարող են մտածել և երևակայել այն թեմայով, որ չեն հասկանում, բայց չհասկանալու փաստը նրանց ամենևին չի անհանգստացնի: Անհանգստությունն առաջանում է այն ժամանակ, երբ մեծերն սկսում են հսկել նրանց ուսումը ու փաթաթում են իրենց պատկերացումները, և երեխաները սկսում են հուզվել չհասկանալուց, որպես մեծերի կողմից տհաճությունների պոտենցիալ աղբյուրի:

Ճիշտ նույն ձևով երեխային չի հուզի և վախեցնի 10 թվի խնդիրը, եթե նրան հնարավորություն տրվի դրա հետ ծանոթանալու ինչպես ուրիշ երեխայի հետ, այսինքն՝ թույլ տրվի նրա հետ գործ ունենալ և մտածել այն ժամանակ, երբ ինքը ցանկանա: Հենց որ վարժվի 10-ին, այդ թիվը արդեն նրան տարօրինակ չի թվա, և ինքն էլ կզարմանա, թե այդտեղ ինչ զարմանալի բան կար:

Մանուկ հասակում ինձ ոչ մեկը չի «բացատրել» 10-ը, կամ հիմքի ֆունկցիան, կամ նրա դերը համրանքի մեր համակարգում: Ես սովորել եմ հին կարգով դպրոցում, որտեղ սահմանափակվում էին նրանով, որ ցույց էին տալիս, թե ինչպես պետք է խնդիրը լուծել, առանց բարեհաճելու բացատրել, թե ինչու պետք է այդպես անել, այլ ոչ ուրիշ կերպ, և որն է դրա իմաստը:  Հավանաբար, առանց հասկանալու կրկնօրինակելուն չհակված երեխաների համար այդ դպրոցում սովորելը դժվար է եղել: Բայց իմ դեպքում ամեն ինչ կարգին էր, ես հանգիստ անում էի այն, ինչ ինձնից պահանջում էին, իսկ ազատ ժամանակ, երբ ցանկացել եմ, մինչև վերջ կշռադատել եմ 10-ի իմաստը, և էլի ուրիշ բաների:

Որովհետև անհաջող բացատրություններն ավելի վատ են, քան դրանց բացակայությունը:

1958, նոյեմբերի 12

Թվաբանության դժվարությունները երեխաների մոտ առաջանում են այն պատճառով, որ նրանք պետք է մեծ քանակի փաստացի նյութ հիշեն, որը նրանց ինչ-որ վերացական բան է թվում՝ առանց պատկերի, մտքի և հետաքրքրության. նաև նրանց ստիպում բազում կանոններ հիշել, որպեսզի կարողանան գործողություններ կատարել այդ փաստերի հետ, և այդ ամենը երեխաները պետք է ընդունեն հավատալով: Ես կարիք չունեմ ամեն անգամ ստուգելու իմ թվաբանական գործողությունները գործնականում, քանի որ ինձ համար ապացուցել եմ, որ թվերի հետ աշխատանքի կանոնները հիմնված են թվերի աշխարհում գործող իրական օրենքների վրա: Ես վստահ եմ, որ հանգիստ կարող եմ կիրառել բազմապատկման ավանդական մեթոդը, որպեսզի 24-ը բազմապատկեմ 36-ով, այսինքն՝ 24×36=(20×30)+(4*30)+(20×6)+(4*6): Բայց եթե վստահ չեմ, որ լուծումը ճշմարտացի է, ավանդական մեթոդների կիրառումն իմաստը կորցնում է: Ո՞րն է երաշխիքը, որ այդ բոլոր խորամանկ ձեռնածությունները, ինչպես «զրոյի տեղափոխումը արտադրյալում» կամ «հաջորդ տողը մի կարգ տեղափոխելը» ճիշտ արդյունք կտան: Ինչպե՞ս դրանում համոզվել առողջ բանականությամբ:

Կուիզեների փայտիկների առավելությունը այն է, որ նրանց միջոցով երեխաները կարող են գլխի ընկնել, թե ինչպես ինքնուրույն կատարեն որոշ գործողություններ, ինչպես նաև համոզվեն դրանց լրիվ համապատասխանությանը թվերի աշխարհի իրական փաստերին:

Քանի որ պատրաստվում եմ պատմել Կուիզեների փայտիկներով երեխաների աշխատանքի մասին, եկել է այդ փայտիկների մասին պատմելու ժամանակը:  Դրանք հորինել է բելգիացի մանկավարժ Կուիզեները: Դրանք մեկ սանտիմետրը մեկ սանտիմետրի վրա հատույթով փայտիկներ են (մոտավորապես ճկույթի հաստության) և 1սմ-ից մինչև 10սմ տարբեր երկարություններով: Փայտիկները տարբեր գույների են. նույն երկարության փայտիկները նույն գույնն ունեն. 1սմ-ը` սպիտակ, 2սմ-ը՝ կարմիր, 3սմ-ը՝ բաց կանաչ, 4-ը՝ մորեգույն (երեխաները հաճախ դրանց վարդագույն են անվանում), 5-ը՝ դեղին, 6-ը՝ մուգ կանաչ, 7-ը՝ սև, 8-ը՝ շագանակագույն, 9-ը՝ երկնագույն, 10-ը՝ նարնջագույն: Այդ փայտիկների մասին խոսելիս հաճախ դրանց գույներով կանվանեմ, բայց փակագծերում կնշեմ երկարությունը, օրինակ դեղին (5): Երեխաների հետ թվաբանությամբ զբաղվողներին խորհուրդ է տրվում ձեռք բերել այդ փայտիկների հավաքածուն, այդ դեպքում նրանք իրենք կհամոզվեն՝ ինչքան ճշմարտացի են իմ պատմածները։

Փայտիկները հորինել և առաջինը կիրառել է Կուիզեները, բայց դրանց տարածման և կիրառման գործում մեծ դեր է ունեցել դոկտոր Քալեբ Գատենիոն (Caleb Gattegno)՝ մաթեմատիկայի և հոգեբանության անգլիացի պրոֆեսոր, որ դրանք տարածեց շատ երկրներում, այդ թվում՝ նաև Միացյալ Նահանգներում, որտեղ դրանք շատ դպրոցներում են օգտագործում (և հաճախ ոչ ճիշտ):

«Կուիզեների փայտիկների արժանիքները…»։ Հիմա ես սրան թերհավատորեն եմ վերաբերում: Բիլը և ես հրապուրվեցինք այդ փայտիկներով, քանի որ սերտ կապ տեսանք այդ փայտիկների ու թվերի աշխարհների միջև և ենթադրեցինք, որ երեխաները, փայտիկներով աշխատելով, կնկատեն թվերի աշխարհի գործողությունների իմաստը: Բայց ամբողջ դժբախտությունն այն էր, որ ես ու Բիլն արդեն թվերի աշխարհի մասին ամեն ինչ գիտեինք: Կարող էինք ասել. «Փայտիկներն իրենց ճիշտ այնպես են պահում, ինչպես թվերը»: Բայց եթե թվերի աշխարհին անտեղյակ լինեինք, կկարողանայի՞նք դա նկատել: Վստահ չեմ: Իհարկե, դրանք օգնեցին իմ և մյուս դասարանների երեխաներին: Բայց նույնքան հաճախ էլ չօգնեցին: Շատ հաճախ էլ դրանք օգտագործող ուսուցիչները չէին տիրապետում մեթոդիկային: Նրանք չեն տեսնում այդ փայտիկների կապը թվերի աշխարհի և թվերի հետ գործողությունների միջև. բնական է, որ չեն կարող օգտագործել փայտիկները թվաբանության դասերին` նյութը բացատրելու համար:

1958, նոյեմբերի 26

Կարո՞ղ են արդյոք Կուիզեների փայտիկներն օգնել ղեկավարելու թույլ աշակերտների ռազմավարությունը, ինչպես մենք ենք ցանկանում: Եվ չի՞ լինի այնպես, որ մեր «ռազմավարները» սխալ գտնեն ուսուցչի տրամաբանության մեջ: Թեկուզ մեր հին ծանոթ Էմիլիին պատկերացնենք: Հարցնում եմ. «Ի՞նչ կստացվի, եթե 3-ը բաժանենք 4-ի»։ «Երեք քառորդ»: «4-ը 3-ի՞»։  «Չորս երրորդ»:  «4-ը` 5-ի՞»։ «Չորս հինգերորդ»: «5-ը բաժանենք 4-ի՞»։ «Հինգ չորրորդ»: Իհարկե, երեխաներին խնդրում եմ փայտիկներին նայել: Իսկ փայտիկները հուշո՞ւմ են պատասխանը: Միգուցե՞ սա մի խաղ է: Ենթադրենք, որ իմ հաջորդ հարցը այսպես ձևակերպեի. «Իսկ եթե պլիխը բաժանենք պլյուխի՞»: Նա կպատասխանե՞ր «Պլիխ պլյուխերորդ»:  «Իսկ եթե պլյուխը պլիխի՞»։ «Պլյուխ պլիխերորդ»: Լավ ռազմավարություն է, եթե ճիշտ պատասխաններ է տալիս: Ենթադրում եմ, որ մյուսներն էլ նույն բանն են անում, իսկ Գիլը ընկերներին այսպիսի խորհուրդ է տալիս. «Կոտորակի համարիչը վերցրու առաջին թիվը…» Եվ այս ռազմավարությունից նրանց չես շեղի, եթե սահմանափակվես միայն փայտիկները բռնել և նայել խորհուրդ տալով:

Այդ «ռազմավարներին» ջրի երես հանելու միջոցներից մեկը հարցերի ձևը փոխելն է: Վերցնենք դեղին փայտիկը (5) և հարցնենք. «Եթե սա 1 է (ամբողջ), ցույց տուր 3/5-ը: Այսպիսի հարցերը թույլ են տալիս պարզել, թե իսկապես նրանք տեսնում են փայտիկները և նրանց հարաբերակցությունը:

Միգուցե այստեղ ինչ-որ բա՞ն կա, երբ հարցին պատասխանել պետք է գործողությամբ, այլ ոչ թե բառերով: Ինչ-որ բան անել, հարցին պատասխանը ցույց տալ…

«Ահա հարցի պատասխանը…»։ Վատ գաղափար չէ, միայն թե դրանով տարվել չարժի: Խոսելու փոխարեն երեխաներին գործել ստիպելը վիճակը ամենևին չի լավացնում, եթե այդ ժամանակ էլ երեխաները առաջվա նման կարիքը ունեն, որպեսզի ուսուցիչը գնահատի իրենց պատասխանը որպես ճիշտ կամ սխալ:

Մեզ պետք են խնդիրներ, որտեղ նպատակը հստակ որոշված է, ինչպես գլուխկոտրուկներում` անջատել օղակները, գնդակը փոսիկը գցել և այլն: Ոչ մեկը չի հարցնի. «Ես ճի՞շտ լուծեցի գլուխկոտրուկը», ամեն ինչ այնպես էլ պարզ է:

Այս մասին հետո կխոսեմ, երբ խոսք լինի մաթեմատիկական լաբորատորիայի մասին:

1958, դեկտեմբերի 6

Բիլ Հալի դասարանում արված դիտարկումներ

Երեկ  դասի ժամանակ աշակերտներին ցույց տվեցիք երկու փայտիկ և առաջարկեցիք որոշել դրանց երկարությունների հարաբերությունը: Որոշ ժամանակ անց ես նկատեցի, որ դուք անընդհատ հարցնում էիք փոքր փայտիկի հարաբերությունը մեծին: Որպես պատասխան երեխաները ասում էին կոտորակ, որի համարիչում փոքր թիվն էր: Եթե ուշացնում էիք արձագանքը, անվճռականություն էիք ցուցաբերում կամ նորից հարցնում, նրանցից մի քանիսը անմիջապես փոխում էին համարիչի և հայտարարի տեղերը. եթե սկզբում ասել էին հինգ յոթերորդ, ապա ուղղված տարբերակով ասում էին յոթ հինգերորդ: Երեքը այդպես վարվեցին՝ Ռեյչելը, տղաներից մեկը և Բարբարան:

Հատկապես Բարբարան, որ սովորաբար մտածող է և խելացի, ինձ ստիպեց այդ երևույթին ուշադրություն դարձնել: Ցույց տալով սև (7) և երկնագույն (9) փայտիկները և փոխելով դրանց տեղերը, հարցրեցիք «Երկրագույնը սևի ո՞ր մասն է կազմում»: Այսինքն՝ փոխեցիք հարցերի հերթականությունը: Աղջիկը պատասխանեց. «Յոթ իններորդ», բայց, տեսնելով ձեր անվճռականությունը, կարմրելով վրա բերեց. «Ինը յոթերորդ»: Ես ո՛չ նրա դեմքին, ո՛չ ձայնում, ո՛չ շարժումներում չտեսա անգամ ակնարկ, որ նա հասկանում է, թե ինչու առաջին պատասխանը սխալ էր, կամ վստահություն, թե ինչու էր երկրորդ պատասխանը ճիշտ: Եթե նա վստահ չէ, վստա՞հ են մյուսները:

Փայտիկները մեզ պետք են, որպեսզի թվաբանության ջունգլիներում երեխաներին ճանապարհ ցույց տանք: Բայց ջունգլիները կուլ չե՞ն տա ճանապարհը: Ի՞նչ իմաստ ունի համոզել Մոնիկային նայել փայտիկներին, եթե դրանցով չի տեսնում պատասխանը: Մի գլուխկոտրուկի փոխարեն նա բախվում է ուրիշին:

1958, դեկտեմբերի 7

Մի անգամ դասասենյակում փորձեցի աշակերտներին ցույց տալ, որ բաժանումը գործողություն է, որը կարելի կատարել ոչ միայն թվերի հետ, և որ այն կարող է անել մարդ, որ ամենևին ծանոթ չէ թվերին: Ասացի՝ պատկերացրեք, որ ունեք գնդիկներով լի մեծ պարկ, որոնք պետք է հավասարապես բաժանեք չորս մարդկանց, ընդ որում գնդիկները հաշվել հնարավոր չէ: Երեխաների մեծ մասն առաջարկեց գնդիկները հերթով բաժանել, մինչև վերջանան: Բայց Պատը և էլի մի տղա որոշեցին այլ կերպ բաժանել: Պատը գրեց. «Կարելի է քանոնով չափել պարկի երկարությունը: Ենթադրենք, ստացվել է 8 դյույմ. 8-ը բաժանում ենք 4-ի, ստանում ենք 2 դյույմ: Կարելի է պարկը բաժանել 2 դյույմանոց նշագծերով (այստեղ առաջարկվեց պարկի գծագիրը, ուղիղներով կտրտած, որոնք նշանակում էին հատույթները) և այդպիսով հավասարապես բաժանել գնդիկները:

Մի տղան մոտավորապես նույնպիսի գաղափար առաջարկեց: Ես նրանց հետ հերթով խոսեցի երես առ երես: Նրանցից յուրաքանչյուրի համար նկարեցի գնդիկներով լի մեծ ծանր պարկը, որին մոտենում եմ մկրատով. «Սկզբում պարկը կիսեմ, և ի՞նչ կստացվի»: Երկուսն էլ շատ ուրախացան՝ տեսանելի պատկերացնելով սեփական բաժանման ձևը, որը մինչ այդ մաքուր տեսություն էր»:

Իհարկե, եթե նրանք կյանքում այդ խնդրին հանդիպեին, երբեք խելքներին չէր փչի պարկը կտրտելը: Միայն դպրոցում են այդպես մտածում:

Սրա հետ կապված մի դեպք եմ հիշում: Ընկերս քիմիայի քննության էր պատրաստվում: Նա փորձում էր հիշել ջրում լուծվող աղերի թվարկումը: Կրկնելով թվարկումը՝ լուծվող աղերի թվում ասաց կալիցումի կարբոնատը: Նրան առաջարկեցի հիշել, թե որ նյութերի մեջ կա այդ աղը: Նա անմիջապես ասաց կիր, գրանիտ և մարմար: «Հետաքրքիր է,- ասացի,- շա՞տ ես տեսել, որ գրանիտը անձրևի տակ հալչի»: Նման գործնական մոտեցում նրա մտքով չէր էլ անցել: Այն քիմիայի, որը նա սովորում էր, և իրական աշխարհի, իր զգացողությունների և առողջ դատողության աշխարհի միջև ոչ մի կապ չկար:

1959, փետրվարի 6

Հանկարծ գլխի ընկա: Ենթադրենք երեխաներին առաջադրանք ենք տալիս, որ երկու հատված գծեն, ընդ որում այնպես, որ նրանցից մեկը հավասար լինի մյուսի հինգ յոթերորդ մասին: Հավանաբար նրանք 5 և 7 դյույմանոց հատվածներ կգծեն: Իսկ հիմա առաջարկենք գծել երկու այլ հատված այնպես, որ մեկի երկարությունը լինի հավասար մյուսի հինգ տանյոթերորդ մասին: Գրեթե բոլորը կասեն, որ դա հնարավոր չէ անել, քանի որ տետրի էջում չի տեղավորվի տասնյոթ դյույմը:

Միակ սփոփանքը այս վիճակում այն է, որ ինչքան շատ ենք հասկանում, թե ինչն ինչոց է, այնքան լավ ենք կարողանում սխալները ուղղել: Եթե ցանկանում ենք, որ երեխաները կոտորակները հասկանան, պետք է կոտորակները կիրառելու տարբեր ձևեր հորինենք:

Զգում եմ, որ ես էլ սկսեցի հասկանալ տարբերությունը կոտորակի, որպես թիվ և կոտորակի՝ որպես օպերատոր: 1/2+1/3=5/6 արտահայտությունը կարող է նշանակել. 1) միավորի 1/2 մասին գումարած միավորի 1/3 մասը հավասար է միավորի 5/6 մասին, 2) ինչ-որ բանի 1/2-ին գումարած նույն բանի 1/3-ը հավասար այդ բանի 5/6-ին, լրիվ անկախ այն բանից, թե ինչ է դա:

Բայց մեկ րոպե սպասեք: Մի՞թե բոլոր թվերը օպերատոր չեն: Երբ ասում ենք. 2+3=5, մի՞թե չենք ենթադրում, որ ինչ-որ բանից 2-ին գումարած նույն բանից 3-ը հավասար է այդ բանից 5: Կարճ ասած, երբ թվաբանություն ենք սովորեցնում, մի՞թե միաժամանակ նաև հանրահաշիվ չենք սովորեցնում: Արդյո՞ք մեր բոլոր դժվարությունները դրանից չեն, որ դա չենք գիտակցում:  Նշանակում է, եթե գրում ենք 2+2=4, ենթադրում ենք, որ 2x+2x=4x:

Մենք վարժվել ենք նրան, որ կոտորակները չենք կարող գումարել, եթե նրանց հայտարարները տարբեր են: Բայց նույնն էլ ամբողջ թվերին է վերաբերում: 2ձի+2ձի=4ձի, բայց 2ձի+3բեռնատար գնացք=ի՞նչ: Հավանաբար 5 օբյեկտ, 5 իր: Այսպիսով մենք ձիերին և բեռնատար գնացքներին ընդհանուր հայտարար ենք վերագրում: (Երեք տարի հետո առաջին դասարանում գրատախտակին գրեցի` առանց նախօրոք որևէ բան բացատրելու՝ 2ձի+3կով=  : Եվ մի քանի երեխա գրեց՝ 5 կենդանի):

Ես վաղուց էի կասկածում, որ թվաբանություն «հասկանալու» տակ ավելի մեծ բան է թաքնված, քան երևում է մակերեսային հայացքով, իսկ հիմա հասկանում եմ, թե այդ «բանը» որքա՜ն մեծ է: «Հասարակ» թվաբանությունում հասարակ բան չկա: Եվ մտածել այն մասին, որ ցանկացած բարի, բարետես կին կարող է երեխաներին սովորեցնել թվաբանություն «հասկանալ», ուղղակի անմտություն է: 

Շուտով համոզվեցինք նաև մեկ այլ մտքի անհեթեթության մեջ` որ մաթեմատիկական գիտությունների դոկտորները կարող են երեխաներին թվաբանություն «հասկացնել»: Մաթեմատիկայի դասավանդման գործում լայնորեն գովազդվող ոչ մի հեղափոխություն՝ ինչ-որ պրոֆեսորի հովանու ներքո, արմատական լավացման չի բերել. անկասկած, նրանք մանր հարցերում որոշ լավ գաղափարներ տվել են, բայց երբեմն նաև վնասել են:

Ես շատ կասկածում եմ, թե կարելի մեկին սովորեցնել ինչ-որ բան հասկանալ, այսինքն՝ տեսնել առանձին մասերի միջև փոխհարաբերությունները և մտովի կազմել կառուցվածքի մոդելը: Մենք կարող ենք հայտնել անուններ և թվեր, բայց ոչ մեկին չենք կարող փոխանցել մեր մտավոր կառույցները: Յուրաքանչյուր մարդ ինքը պետք է դրանք կառուցի: Շատերը կարծիք են հայտնում, թե գիտելիքի կամ փորձի ցանկացած բնագավառ կարող է վերափոխվել հարցերի և պատասխանների շարքի, ինչը ծրագրավորված ուսուցման հիմքն է: Տասմեկերորդցի մի տղա, որ մեկ կամ երկու տարի այդ ձևով սովորել էր, մի անգամ ինձ ասաց, առանց կասկածելու, որ բացահայտում է այդ մեթոդի հիմնական թերությունը. «Երբ ինձ հարց են տալիս, կարող եմ հիշել պատասխանների մեծ մասը, բայց երբեք չեմ հիշում հարցերը»: Սա է ամբողջ խնդիրը:

Շարունակությունը

Թարգմանություն ռուսերենից

Թարգմանիչ՝ Գևորգ Հակոբյան
Լուսանկարը՝ Սմբատ Պետրոսյանի