Վերալցումների վերաբերյալ խնդիրները, հավանաբար, նույնքան հին են, որքան մաթեմատիկան: Առանց շատ հեռուն գնալու, նշենք, որ այդ խնդիրներից հանդիպում են Е. И. Игнатьев «В царстве смекалки» գրքում: Այսպես, այդ գրքի 1914թ. հրատարակված (չորրորդ հրատարակություն) առաջին մասի 35-րդ խնդիրն այսպիսին է. «Երկու մարդ պետք է հավասրապես բաժանեին ութ դույլ գինին, որը լցված է ութ դույլանոց տակառում: Նրանք ունեին հինգ և երեք դույլանոց երկու տակառ: Ինչպե՞ս կարող են կիսել գինին, օգտվելու միայն այդ երեք տակառներից»: Այդ գրքում հաջորդ երկու խնդիրները նույնատիպ խնդիրներ են: Այսպիսի խնդիրներ հանդիպում են թվաբանության վերաբերյալ գրեթե բոլոր գրքերում և դասագրքերում: Ուսուցիչների մեծ մասը լուծում են այսպիսի խնդիրներ իրենց դասերի ընթացքում:
«Մաթեմատիկոսի գործունեություն» ընտրությամբ դասաժամերին, որոշեցինք 4-5 -րդ դասարանցիների հետ ավելի մանրամասն զբաղվել վերալցումների վերաբերյալ խնդիրերով:
Խնդիրը կարելի է այսպես ձևակերպել. «Ունենք տարբեր տարողությամբ երկու տարա, որոնց վրա նշումներ չկան: Ինչպե՞ս ջրի տարբեր ծավալներ ստանանք»:
Մեր առջև դրված նպատակը ոչ թե միայն այդպիսի խնդիրներ լուծելն էր, այլ դրանք որպես նյութ օգտագործելով` մաթեմատիկայով զբաղվելը:
Սկսեցինք պարզագույն դեպքից:
Խնդիր 1: Ունենք ջրի ծորակ և երկու տարբեր տարողությամբ տարաներ`1լ, 3լ:
Հարց: Փորձեք ստանալ 1լ, 2լ, 3լ ջուր:
Լուծում: Նախ ուսումնասիրեցինք տարաները, պարզեցինք, որ 1լ տարողությամբ տարայի մեջ հնարավոր չէ տեղավորել 2 լ ջուր, առավել ևս` 3լ:
1լ ստանալու համար 1լ տարողությամբ տարան ամբողջությամբ լցնենք ջրով:
3լ ստանալու համար 3լ տարողությամբ տարան ամբողջությամբ լցնենք ջրով:
2 լ ստանալու համար 1լ տարայի մեջ լցնենք ջուր, դատարկենք 3լ տարայի մեջ: Կրկնենք այս աշխատանքը:
Կամ՝ 3 լիտրանոց տարան լիքը լցնենք ջրով, և դրանից դատարկենք մեկ լիտրանոց տարայի մեջ: Այդ դեպքում 3 լիտրանոց տարայում կմնա ճիշտ 2լ:
Խնդիր 2։ Ունենք 1լ և 4 լ տարողությամբ երկու տարա: Ինչպե՞ս ստանանք` 1լ, 2լ, 3լ, 4լ ծավալով ջուր:
Լուծում:
1լ ստանալու համար1լ տարողությամբ տարան ամբողջությամբ լցնենք ջրով:
2լ ստանալու համար չորս լիտրանոց տարայի մեջ դատարկենք նախապես լցված մեկ լիտր տարողությամբ տարայի ջուրը, աշխատանքը կրկնենք: Կամ 4 լիտրանոցը լիքը լցնենք և երկու անգամ 1 լիտրանոցով դատարկենք:
3լ ստանալու համար մեկ լիտր տարողությամբ տարան երեք անգամ ջուր լցնենք և ջուրը դատարկենք չորս լիտրանոց տարայի մեջ: Կամ 4 լիտրանոցը լիքը լցնենք ջրով և մեկ լիտրը դատարկենք:
4լ ստանալու համար 4լ տարողությամբ տարան ամբողջությամբ լցնենք ջրով:
Տեսանք, որ եթե տարաներից մեկը մեկլիտրանոց է, խնդիրը միշտ պարզ լուծում է ունենում:
Խնդիր 3։ Ունենք 3լ և 5 լ տարողությամբ երկու տարա: Ինչպե՞ս ստանանք` 1լ, 2լ, 3լ, 4լ, 5լ ջուր:
Լուծում:
3լ ստանալու համար 3 լիտրանոցը ամբողջությամբ կլցնենք ջրով:
5 լ ստանալու համար 5 լիտրանոցը ամբողջությամբ կլցնենք ջրով:
1լ ստանալու համար 3 լիտրանոցը լիքը կլցնենք և կդատարկենք 5 լիտրանոցի մեջ, նորից 3 լիտրանոցը լիքը կլցնենք և կդատարկեն 5 լիտրանոցի մեջ, մինչև այն լիքը լցվի: Այդ դեպքում 3 լիտրանոցի մեջ կմնա 1 լիտր ջուր:
2լ ստանալու համար 5 լիտրանոցը ամբողջությամբ կլցնենք, հետո կդատարկենք 3 լիտրանոցի մեջ, մինչև այն լցվի. 5 լիտրանոցի մեջ կմնա ճիշտ 2 լ ջուր:
4լ ստանալու համար կրկնենք 1լիտր ստանալու համար արված քայլերը, մինչև 5 լիտրանոցում ունենանք 1լ ջուր, այնուհետև ավելացնենք ևս 3 լիտր ջուր: 5 լիտրանոցում կունենանք 4լ ջուր:
Վերալցումների վերաբերյալ խնդիրների լուծման ժամանակ հարմար է քայլերը գրառել աղյուսակի տեսքով:
Խնդիր 4: Ունենք 3լ և 7 լ տարողությամբ երկու տարա: Ինչպե՞ս ստանանք.
Ա) 1լ
Բ) 2լ
Գ) 3լ
Դ) 4լ
Ե) 5 լ
Զ) 6լ
Է) 7լ ջուր:
Լուծում:
Ա) 1լ ստանալու համար 7 լիտրանոցը պետք է լիքը լցնենք, հետո երկու անգամ դրանից 3լ դատարկենք: Այս լուծումը հարմար է աղյուսակի տեսքով ներկայացնել: Այպես լուծումը ավելի տեսանելի է, հակիրճ է, երևում է քայլերի քանակը:
| 3լ | 0 | 3 | 0 | 3 |
| 7լ | 7 | 4 | 4 | 1 |
Բ) 2լ ստանալու համար`
| 3լ | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 | 2 |
| 7լ | 0 | 3 | 3 | 6 | 6 | 7 |
Գ) 3լ ստանալու համար`
| 3լ | 3 |
| 7լ | 0 |
Դ) 4լ ստանալու համար`
| 3լ | 0 | 3 |
| 7լ | 7 | 4 |
Ե) 5լ ստանալու համար`
| 3լ | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 | 2 | 2 | 0 | 3 | 0 |
| 7լ | 0 | 3 | 3 | 6 | 6 | 7 | 0 | 2 | 2 | 5 |
Կամ
| 3լ | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 1 | 1 | 3 |
| 7լ | 7 | 4 | 4 | 1 | 1 | 0 | 7 | 5 |
Զ) 6լ ստանալու համար`
| 3լ | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
| 7լ | 0 | 3 | 3 | 6 | 6 |
Է) 7լ ստանալու համար`
| 3լ | 0 |
| 7լ | 7 |
Խնդիրը մի քանի տարբեր տարաների համար (տարաների տարողությունները մենք էինք տալիս) լուծելուց հետո առաջարկեցինք, որ յուրաքանչյուր սովորող ինքը ընտրի տարաների տարողությունը և փորձի խնդիրը լուծել: Եղան սովորողներ, որ գործը հեշտացնելու համար տարաներից մեկը վերցրին մեկ լիտրանոց: Պատահեցին նաև մեզ հետաքրքրող դեպքեր՝ 3լ և 6լ, 2լ և 10լ, 3լ և 9լ: Այս թվազույգերը ընտրած սովորողները չկարողացան (մենք էլ չկարողացանք) բոլոր անհրաժեշտ ծավալներն ստանալ: Մեզ հետաքրքրեց պատճառը, թե ինչու որոշ թվազույգերի համար կարողանում ենք ստանալ բոլոր ծավալները, իսկ ուրիշների համար՝ ոչ: Դրա համար կազմեցինք թվազույգերի համար աղյուսակ՝
| կարողանում ենք | (3, 5) | (3, 8) | (3, 7) | (4, 7) |
| չենք կարողանում | (3, 6) | (2, 10) | (3, 9) | (5, 10) |
Փորձեցինք պարզել, թե ինչ տարբեր հատկություններ ունեն այս թվազույգերը: Ճիշտ ժամանակն էր կրկնել բաժանարար, բազմապատիկ հասկացությունները, պարզ թվերը (4-րդ դասարանցիների համար սա նորություն էր, բայց շուտ ընտելացան): Փորձեցինք գտնել այդ թվազույգերում բերված թվերի բաժանարարները: Տեսանք, որ վերևում գրված թվազուգերի համար 1-ից բացի ուրիշ ընդհանուր բաժանարար չկա, մինչդեռ ներքևի տողում գրված թվերի համար կան (3-ի և 6-ի դեպքում 3-ն է, 2-ի և 10-ի դեպքում՝ 2-ը, 3-ի և 9-ի դեպքում՝ 3-ը, 5-ի և 10-ի դեպքում՝ 5-ը): Հասանք փոխադարձաբար պարզ թվերին՝ որպեսզի մեր խնդիրը կարողանանք լուծել, տարաների ծավալները արտահայտող թվերը պետք է փոխադարձաբար պարզ լինեն: Որպես մեր ստացած եզրակացության ստուգում` փորձեցինք 9լ և 10լ դեպքը և տեսանք, որ 1-ից մինչև 10 թվերից յուրաքանչյուրը կարողանում ենք ստանալ:
Վերալցումների վերաբերյալ խնդիրը քննարկելուց հետո խնդիրը ձևափոխեցինք: Մինչև հիմա փորձում էինք ստանալ տարաներից մեծի տարողությունից փոքր ծավալներ: Իսկ ի՞նչ կարելի է ասել դրանից մեծ թվերի մասին:
Խնդիր 5: 1-100 միջակայքում ընկած թվերը փորձեք ներկայացնել 3 և 7 գումարելիների գումարի տեսքով, այլ կերպ ասած` գտնել երկու այնպիսի թիվ, որ մեկը բազմապատկելով 3-ով, մյուսը՝ 7-ով և ստացված արտադրյալները գումարելով, ստանանք տրված թիվը (այս դեպքում այդ թվերը կարող են նաև 0 լինել):
Սկզբում նշեցինք 3-ի պատիկ թվերը (3×1, 3×2, 3×3, 3×4, 3×5….)։
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
11,12,13,14,15,16,17,18,19,20
21,22,23,24,25,26,27,28,29,30
31,32,33,34,35,36,37,38,39,40
41,42,43,44,45,46,47,48,49,50
51,52,53,54,55,56,57,58,59,60
61,62,63,64,65,66,67,68,69,70
71,72,73,74,75,76,77,78,79,80
81,82,83,84,85,86,87,88,89,90
91,92,93,94,95,96,97,98,99,100
Հետո նշեցինք 7-ի պատիկ թվերը (7×1, 7×2, 7×3, 7×4, 7×5….)։
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
11,12,13,14,15,16,17,18,19,20
21,22,23,24,25,26,27,28,29,30
31,32,33,34,35,36,37,38,39,40
41,42,43,44,45,46,47,48,49,50
51,52,53,54,55,56,57,58,59,60
61,62,63,64,65,66,67,68,69,70
71,72,73,74,75,76,77,78,79,80
81,82,83,84,85,86,87,88,89,90
91,92,93,94,95,96,97,98,99,100
Շարունակելով մեր փորձը` գունավորեցինք 3-ի պատիկ թվերի և 7 թվի գումարը
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
11,12,13,14,15,16,17,18,19,20
21,22,23,24,25,26,27,28,29,30
31,32,33,34,35,36,37,38,39,40
41,42,43,44,45,46,47,48,49,50
51,52,53,54,55,56,57,58,59,60
61,62,63,64,65,66,67,68,69,70
71,72,73,74,75,76,77,78,79,80
81,82,83,84,85,86,87,88,89,90
91,92,93,94,95,96,97,98,99,100
Շարունակեցինք գունավորել 7-ի պատիկ թվերի և 3 թվի գումարը։
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
11,12,13,14,15,16,17,18,19,20
21,22,23,24,25,26,27,28,29,30
31,32,33,34,35,36,37,38,39,40
41,42,43,44,45,46,47,48,49,50
51,52,53,54,55,56,57,58,59,60
61,62,63,64,65,66,67,68,69,70
71,72,73,74,75,76,77,78,79,80
81,82,83,84,85,86,87,88,89,90
91,92,93,94,95,96,97,98,99,100
Սովորողները նկատեցին, որ 11 թվից հետո բոլոր թվերը հնարավոր է ստանալ 3, 7 թվերի օգնությամբ: Նկատեցինք նաև, որ այս թվերը փոխադարձաբար պարզ թվեր են: Հարց առաջացավ` եթե թվերի զույգը փոխադարձաբար պարզ չէ, օրինակ` 5, 10 թվերը, այս դեպքում հնարավո՞ր է ստանալ 1-100 թվերը: Փորձեր կատարելուց հետո համոզվեցինք, որ դա հնարավոր չէ, ստացվում են միայն 5-ի պատիկ թվերը, քանի որ 5-ը և 10-ը ունեն ընդհանուր բաժանարար:
Դիտարկեցինք էլի մի քանի օրինակներ։
Ա) 3, 5, թվերի միջոցով, յուրաքանչյուրից քանի՞ անգամ վերցնելով կարող ենք ստանալ 1-100 թվերը: Ստացանք, որ յոթ թվից հետո բոլոր թվերը հնարավոր է ստանալ:
Բ) 4 և 11 թվերի միջոցով, յուրաքանչյուրից քանի՞ անգամ վերցնելով կարող ենք ստանալ 1-100 թվերը: Պարզվեց, որ 29 թվից հետո, հնարարվոր ստանալ բոլոր թվերը:
Այսպիսի հարց ձևակերպեցինք. իմանալով այդ երկու փոխադարձաբար պարզ թվերը` կարո՞ղ ենք գտնել այն ամենփոքր թիվը, որից մեծ ցանկացած թիվ կարող ենք ստանալ:
Նորից դիմեցին աղյուսակի օգնությանը՝
| թվազույգերը | (3, 5) | (3, 7) | (4, 11) |
| որոնելի թիվը | 7 | 11 | 29 |
Օրինակներից ելնելով` 5-2 դասարանի սովորող Արղության Անին շատ հետաքրքիր եզրակացություն արեց (իր բառերով՝ «մի գաղտնիք եմ գտել»): Եվ ներկայացրեց իր գտած «գաղտնիքը». «այդ թվերը բազմապատկենք իրար հետ, հետո ստացվածից հանենք թվերից մեկը, հետո մյուսը»:
Կամ, եթե նշված երկու թվերը փոխադարձաբար պարզ են`
1.հաշվենք այդ թվերի արտադրյալը,
2.հաշվենք այդ թվերի գումարը։
Արտադրյալի և գումարի տարբերությունը կլինի այն թիվը, որից հետո բոլոր թվերը հնարավոր է ստանալ նախապես տրված երկու թվերով:
Օրինակ` ունենք 7 և 11 թվերը:
- Հաշվենք այդ թվերի արտադրյալը` 77։
- Հաշվենք այդ թվերի գումարը`18։
- Տարբերությունը կլինի` 77-18=59։
Այսինքն` 59-ից հետո բոլոր թվերը կարելի է ստանալ 7, 11-ի միջոցով:
Ստանալուց հետո խոսեցինք, որ սա ընդամենը ենթադրություն է, որը մեր ստուգած դեպքերում ճիշտ է, և ամեն առանձին դեպքում կարող են ստուգել՝ այն ճիշտ է, թե՝ ոչ: Բայց մի քանի տարի էլ որ մեծանան, կփորձենք մեր ստացած արդյունքը ապացուցել:
Նշենք, որ մաթեմատիկական գրքերում շատ է հանդիպում հետևյալ խնդիրը. «Ապացուցեք, որ 7-ից մեծ ցանկացած թիվ կարելի է ներկայացնել 3-երի և 5-երի գումարի տեսքով»: Օրինակ՝ И. С. Соминский «Метод математической индукции», 1965թ. գրքում (առաջին գլուխ, 10-րդ օրինակ): Ի դեպ, այս գիրքը հայերեն թարգմանում է կրթահամալիրի 11-րդ դասարանի սովորող Ֆրեդ Սահակյանը: