Գիտություն և մեթոդ

Մաթեմատիկական սահմանումներ և դասավանդում

Սկիզբը

Թվաբանություն

12. Ամբողջ թիվը սահմանելու հարկ չկա, բայց դրա փոխարեն ամբողջ թվերի հետ գործողությունները սովորաբար սահմանում են: Ենթադրում եմ, որ աշակերտները սահմանումներն անգիր են անում և դրանց հետ ոչ մի միտք չեն կապում: Դրա համար ես երկու հիմնավորում ունեմ. առաջինը՝ աշակերտներին չափից դուրս շուտ են ստիպում սովորել սահմանումներ, երբ նրանց միտքը դրանց կարիքը բոլորովին չի զգում, երկրորդ՝ նրանց տրվող սահմանումները տրամաբանական տեսակետից անբավարար են: Գումարման համար հնարավոր չէ լավ սահմանում գտնել, քանի որ չի կարելի ամեն ինչ սահմանել, և պետք է ինչ-որ տեղ կանգ առնել: Ասել՝ «գումարումը ավելացումն է» դեռ սահմանում տալ չի նշանակում: Հնարավոր է ընդամենը մի բան անել՝ որպես ելակետ վերցնել օրինակների որոշակի քանակ և ասել. «գործողությունը, որ կատարեցինք, անվանում են գումարում»:

Հանման դեպքն այլ է. այն կարելի է տրամաբանորեն սահմանել, որպես գումարման հակառակ գործողություն: Բայց արժե՞ դրանից սկսել: Այստեղ էլ տեղին է օրինակներից սկսելը, այդ երկու գործողությունների փոխկապակցվածությունը պարզելը. այդ դեպքում սահմանումը կլինի նախապատրաստված և արդարացված:

Նույնը պետք է ասել բազմապատկման մասին: Պետք է մասնավոր խնդիր դիտարկել և ցույց տալ, որ այն կարելի է լուծել, եթե հավասար թվեր իրար գումարենք: Հետո արդեն կարելի է ցույց տալ, որ նույն արդյունքին կարելի է հասնել բազմապատկման միջոցով, այսինքն՝ այն գործողության, որը աշակերտների կողմից արդեն յուրացվել է. և այդ ժամանակ տրամաբանական սահմանում ինքն իրեն ի հայտ կգա:

Բաժանումը անհրաժեշտ է սահմանել, որպես բազմապատկմանը հակառակ գործողություն, բայց առօրյա կյանքից վերցված օրինակից, օրինակ՝ ինչ-որ առարկա հավասար մասերի բաժանելուց պետք է սկսել, և այդ օրինակով ցույց տալ, որ բաժանելին ստացվում է բազմապատկման միջոցով:

Մնում են կոտորակներով գործողությունները: Այստեղ որոշակի դժվարություն ներկայացնում է միայն բազմապատկումը: Ավելի լավ է սկզբում շարադրել համամասնությունների տեսությունը, քանի որ միայն այդտեղից կարելի է հանգել տրամաբանական սահմանմանը: Բայց որպեսզի այդ տեսության սկզբում բերվող սահմանումները կիրառելի դառնան, անհրաժեշտ է սկզբում եռակի կանոնի վերաբերյալ դասական խնդիրներից փոխառած բազմաթիվ օրինակներից օգտվել՝ դրանց մեջ կոտորակներ ներմուծելով: Աշակերտներին համամասնության հասկացության հետ ծանոթացնելու համար կարելի է առանց վախենալու դիմել երկրաչափական պատկերներին. դրա համար պետք է նրանց հիշողությունը թարմացնել, եթե արդեն ծանոթացել են երկրաչափությանը, կամ անմիջականորեն դիմել նրանց ինտուիցիային, ինչը նաև նրանց կպատրաստի երկրաչափություն ուսումնասիրելուն: Վերջապես ավելացնեմ, որ կոտորակների սահմանումը տալուց հետո անհրաժեշտ է արդարացնել այդ սահմանումը՝ ցույց տալով, որ բազմապատկումը տեղափոխական, զուգորդական և բաշխական հատկություններով գործողություն է, միևնույն ժամանակ ցույց տալ, որ այդ ապացույցը բերվում է սահմանումն արդարացնելու համար:

Այստեղից երևում է, թե այս հարցում ինչ դեր են խաղում երկրաչափական պատկերները, և այդ դերն արդարացվում է գիտության պատմությամբ ու փիլիսոփայությամբ: Եթե թվաբանությունը երկրաչափական ոչ մի խառնուրդ չունենար, միայն ամբողջ թվերը կիմանար. երկրաչափության կարիքներին հարմարեցնելու համար նա դրանցից բացի էլի ինչ-որ բաներ է հայտնագործել:

Երկրաչափություն

Երկրաչափությունում հենց առաջին քայլերից հանդիպում ենք «ուղիղ» հասկացությանը: Կարելի՞ է սահմանել ուղիղ գիծը: Նրա սովորական սահմանումը, որպես մի կետից մյուսը եղած ամենակարճ հեռավորություն, ինձ չի բավարարում: Ես ուղղակի կելնեի քանոնից և աշակերտին ցույց կտայի, թե ինչպես կարելի է քանոնը ստուգել` պտտելով այն. այսպիսի ստուգումը ուղղի իսկական սահմանումն է` ուղիղը պտտման առանցք է: Հետո աշակերտին պետք է ցույց տալ, որ քանոնը կարելի է ստուգել նաև սահեցնելու միջոցով, և այդ դեպքում կբացահայտվի ուղղի կարևոր հատկություններից էլի մեկը: Իսկ ինչ վերաբերում է այն հատկությանը, որ ուղիղը երկու կետերի միջև ամենակարճ հեռավորությունն է, ապա դա արդեն թեորեմ է, որը կարելի է ապացուցել. բայց այդ ապացույցը շատ նուրբ է, որպեսզի տեղ գտնի միջնակարգ դպրոցի ծրագրում: Ավելի լավ է ցույց տալ, որ նախօրոք ստուգված քանոնը համընկնում է ձգված լարի հետ: Այս տեսակի բոլոր դժվարությունների դեպքում առանց վախենալու կարելի է ավելացնել աքսիոմների քանակը` դրանք արդարացնելով նույնիսկ կոպիտ օրինակներով: Աքսիոմների որոշակի քանակ անհրաժեշտ է ընդունել, և եթե դրանց քանակը մի քիչ ավելին լինի, քան անհրաժեշտ է, ապա մեծ դժբախտություն չի լինի: Կարևորն այն է, որ սովորեցնենք ճիշտ դատողություններ անել արդեն ընդունած աքսիոմներով: Ծերուկ Սերսեյն ասում էր, որ թատրոնում հանդիսատեսը հաճույքով ընդունում է այն պնդումները, որոնք նրան սկզբում են տրվում, բայց հենց վարագույրը բարձրանում է, նա իր տրամաբանական պահանջկոտությամբ անողոք է դառնում: Նույնը տեղի է ունենում մաթեմատիկայի դեպքում:

Շրջանի սահմանման համար պետք է կարկինից սկսել: Աշակերտներն առաջին հայացքից ճանաչում են գծված կորը: Հետո նրանց ցույց կտան, որ գործիքի երկու կետերի հեռավորությունը հաստատուն է մնում, որ այդ կետերից մեկն անշարժ է, իսկ մյուսը շարժվում է, և այդպիսով աշակերտներն իրենք կհանգեն տրամաբանական սահմանման: Հարթության սահմանումն աքսիոմա է պարունակում, և դա պետք չէ թաքցնել: Վերցնենք գծագրական տախտակը և ցույց տանք, որ մշտապես լինելով այդ հարթության վրա՝ քանոնը շարժվում է՝ այդ ընթացքում պահպանելով ազատության երեք աստիճանները: Հետո հարթությունը համեմատենք գլանի և կոնի հետ, մակերևույթների, որոնց վրա ուղիղը կարող է դրվել՝ պահպանելով ազատության միայն երկու աստիճանները: Հետո վերցնենք գծագրական երեք տախտակներ և սկզբում ցույց տանք, որ դրանք, իրար վրա դրվելով, կարող են սահել ազատության երեք աստիճաններով: Եվ վերջապես, որպեսզի նշենք հարթության և գնդոլորտի տարբերությունը, ցույց տանք, որ երկու տախտակները տարբեր ձևով դրվելով երրորդի վրա, դրվում են նաև իրար վրա:

Կարող է պատահել, որ ձեզ զարմացնի այս շարժական գործիքների մշատապես կիրառումը: Սա կոպիտ հնարք չէ, այն ավելի փիլիսոփայական է, քան թվում է առաջին հայացքից: Ի՞նչ է երկրաչափությունը փիլիսոփայի համար: Դա որոշակի խմբի ուսումնասիրություն է: Հատկապես ինչպիսի՞: Պինդ մարմինների շարժման խմբի: Ինչպե՞ս որոշել այդ խումբը, առանց ստիպելու որոշակի պինդ մարմինների շարժվել: 

Պարտավո՞ր ենք պահպանել զուգահեռ ուղիղների դասական սահմանումը և ասել, որ զուգահեռ են կոչվում այն ոււղիղները, որոնք նույն հարթության վրա են և երբեք չեն հատվում, ինչքան էլ շարունակվեն: Ոչ, քանի որ այդ սահմանումը բացասական է, այն հնարավոր չէ փորձով ստուգել և, հետևաբար, չի կարող դիտարկվել, որպես անմիջապես ինտուիցիայի կողմից տրված:  Այս սահմանումը չի կարող պահպանվել նաև հատկապես այն պատճառով, որ այն բոլորովին օտար է խմբի հասկացությանը, օտար է պինդ մարմինների շարժման գաղափարին, որը, ինչպես արդեն ասել եմ, երկրաչափության իսկական աղբյուրն է: Ավելի լավ չէ՞ սկզբում սահմանել որևէ անփոփոխ պատկերի ուղղագիծ տեղափոխությունը, որպես այնպիսի շարժում, որի դեպքում այդ պատկերի բոլոր կետերը գծում են ուղղագիծ հետագիծ, ցույց տալ, որ այդպիսի շարժում հնարավոր է, երբ եռանկյունը սահում է քանոնի վրայով: Աքսիոմի հասցված այս փաստի փորձնական հաստատումից հեշտ կլինի ինչպես զուգահեռ ուղիղների սահմանումը, այնպես էլ հենց էվկլիդեսյան պոստուլատը:

Մեխանիկա

Հարկ չեմ համարում անդրադառնալ արագության կամ արագացման, ինչպես նաև մյուս կինեմատիկական հասկացությունների սահմանումներին. դրանք կարող են դասվել ածանցյալի սահմանմանը: Հակառակը, ես կանգ կառնեմ ուժի և զանգվածի մասին դինամիկական հասկացությունների վրա:

Ինձ մի փաստ զարմացնում է` միջնակարգ կրթություն ստացած ինչքան շատ երիտասարդներ հեռու են իրական աշխարհում մեխանիկայի այն օրենքները կիրառելուց, ոը նրանց ուսուցանել են: Եվ դա ոչ միայն այն պատճառով, որ նրանք դրան անկարող են, այլև որ այդ մասին չեն էլ մտածում: Նրանց համար գիտության աշխարհն անթափանց միջնորմով առանձնացված է իրական աշխարհից: Հաճախ կարելի է տեսնել կառքում նստած լավ հագնված պարոնի, հավանաբար բակալավրի, որ երևակայում է, թե ինքն է օգնում կառքին շարժվելու` այն առաջ հրելով, հակառակ ազդեցության և հակազդեցության սկզբունքի:

Եթե փորձենք վերլուծել մեր աշակերտների հոգեվիճակը, ապա այն մեզ ավելի քիչ կզարմացնի: Ո՞րն է ուժի իսկական սահմանումը նրանց տեսանկյունից: Ոչ այն սահմանումը, որը նրանք անգիր արտասանում են, այլ նրանց գիտակցության հեռավոր անկյունում թաքնվածը, որը այնտեղից ամեն ինչ ղեկավարում է: Ահա այդ սահմանումը. ուժերը սլաքներ են, որոնց օգնությամբ զուգահեռագծեր են կազմվում: Այդ սլաքները վերացարկված արարածներ են, որոնք ընդհանուր ոչինչ չունեն այն ամենի հետ, ինչ կա բնության մեջ: Սակայն այսպես չէր լինի, եթե ուժերը սլաքներով պատկերելուց առաջ աշակերտներին ցուցադրվեին իրականության մեջ: 

Իսկ ինչպե՞ս սահմանենք ուժը: Տրամաբանական սահմանումը, ինչպես ուրիշ տեղ ցույց եմ տվել, երևի տեղին չի լինի: Կա մարդաբանական սահմանում` մկանային ճիգի զգացողությունը, բայց այն իրականում շատ կոպիտ է, և դրանից օգտակար ոչինչ չի կարելի ստանալ:

Ահա այն ճանապարհը, որով պետք է գնալ: Ուժ հասկացության հետ ծանոթացնելու համար պետք է հաջորդական կարգով ցույց տալ այդ հասկացության բոլոր տեսակները: Այդ տեսակները բազմաթիվ և բազմազան են, օրինակ` հեղուկի ճնշումը այն անոթի պատերի վրա, որի մեջ լցված է, մետաղալարի լարումը, զսպանակի առաձգականությունը, ծանրությունը, որ ազդում է մարմնի բոլոր մոլեկուլների վրա, շփումը՝ իրար շփվող երկու մարմինների փոխազդեցությունը և հակազդեցությունը:  

Իհարկե, այս սահմանումը միայն որակական է: Պետք է ուժը չափել սովորել: Այստեղ սկզբում պետք է ցույց տալ, որ կարելի է մի ուժը փոխարինել մյուսով՝ առանց հավասարակշռությունը խախտելու: Նման փոխարինման առաջին օրինակը կգտնենք լծակավոր կշեռքների և Բորդի կրկնակի կշռումի մեջ: Հետո ցույց կտանք, որ տրված քաշը ոչ միայն կարող են փոխարինել որիշ քաշով, այլ նաև բնույթով տարբեր ուրիշ ուժով. օրինակ՝ Պրոնի սեղմակը թույլ է տալիս քաշը փոխարինել շփումով: 

Այս ամենից հետևում է երկու ուժերի համարժեքությունը: Հիմա պետք է սահմանել ուժի ուղղությունը: Եթե F ուժը համարժեք է ձգված լարի միջոցով տրված մարմնի նկատմամբ կիրառված F´ ուժին, այնպես, որ առանց հավասարակշռությունը խախտելու կարող ենք F ուժը փոխարինել F´ ուժով, ապա լարի կիրառման կետը, սահմանման համաձայն, կլինի F´ ուժի կիրառման կետը, և հետևաբար, համարժեք F ուժին:  Լարի ուղղությունը կլինի F´ ուժի ուղղությունը և F ուժի ուղղությանը համարժեք:

Այստեղից կանցնենք ուժերի մեծությունները համեմատելուն: Եթե մի ուժը կարող է փոխարինել նույն ուղղվածությունն ունեցող երկու ուրիշների, նշանակում է այն հավասար է նրանց գումարին. դա կարելի է ցույց տալ 20 գրամանոց կշռաքարի օգնությամբ, որը կարող է փոխարինել երկու հատ 10 գրամանոց կշռաքարերի:

Բայց այսքանը բավարա՞ր է: Դեռ ոչ: Մենք կարողանում ենք համեմատել նույն կետում կիրառված և նույն ուղղությունն ունեցող երկու ուժերի ինտենսիվությունը:  Պետք է կարողանանք համեմատել նաև այն դեպքում, երբ ուղղությունները տարբեր են: Դրա համար պատկերացնենք ճախարակի վրա գցված լար, որը ձգված է կշռաքարի օգնությամբ. այդ դեպքում կասենք, որ լարի երկու մասերի ձգվածությունը նույնն է և հավասար է ձգող բեռի կշռին:

Ահա մեր սահմանումը: Այն թույլ է տալիս համեմատել լարի կամ թելի երկու մասերի լարվածությունները, և օգտվելով նախորդ սահմանումներից` համեմատել ցանկացած երկու ուժ, որոնք ունեն նույն ուղղությունները, ինչը որ ունեն երկու թելերը: Պետք է այն արդարացնել` ցույց տալով, որ նույն ձգող ծանրության դեպքում թելի երկրորդ մասի լարվածությունը մնում է նույնը, ինչպիսին էլ որ լինեն ճախարակների քանակը և ուղղությունները: Այս սահմանմանը պետք է ավելացնել նաև, որ այն ճիշտ է միայն այն դեպքերում, երբ ճախարակները շփում չունեն:

Այս սահմանումները տալով` պետք է ցույց տալ, որ կիրառման կետը, ուղղությունը և ուժգնությունը բավարար են ուժը որոշելու համար, որ երկու ուժեր, որոնց այս երեք տարրերը նույնն են, միշտ համարժեք են և միշտ կարող են մեկը մյուսին փոխարինել՝ ինչպես հավասարկշռության վիճակում, այնպես էլ շարժման վիճակում, ընդ որում, անկախ համակարգում գործող այլ ուժերից: 

Պետք է ցույց տալ, որ երկու զուգամիտող ուժերը միշտ կարելի է փոխարինել մեկ համազորով, և այդ համազորը նույնն է մնում ինչպես այն ժամանակ, երբ մարմինը հանգստի վիճակում է, այնպես էլ շարժման վիճակում եղած ժամանակ, ընդ որում` նրա նկատմամբ կիրառված մյուս ուժերից անկախ: Վերջապես, պետք է ցույց տալ, որ մեր նշած ձևով սահմանված ուժերը բավարարում են ազդեցության և հակազդեցության սկզբունքին: Այս ամենը փորձ է, բայց միայն փորձը կարող է մեզ սովորեցնել:

Բավական է բերել մի քանի օրինակ այն սովորական գործողություններից, որ աշակերտն առանց տատանվելու ամեն օր կատարում է, և նրանց աչքի առաջ կատարել մի քանի լավ ընտրված պարզ փորձեր:

Երբ աշակերտներն անցել են այս շրջանցող բոլոր ճանապարհներով, կարելի է անցնել ուժերը սլաքներով պատկերելուն, բայց ես ցանկալի եմ համարում, որ դաստիարակները, աշակերտների` դատողություններ կատարելու կարողությունը զարգացնելու համար ժամանակ առ ժամանակ սիմվոլներից վերադառնան իրականությանը: Օրինակ, դժվար չի լինի ուժերի զուգահեռագիծը հատուկ սարքի միջոցով ցուցադրելը, որը կազմված է ճախարակների վրա գցված և բեռերով ձգված երեք թելերից, որոնք հավասարակշռում են միմյանց միևնույն կետում:

Իմանալով ուժը` հեշտ է սահմանել զանգվածը: Այս անգամ սահմանումը պետք է փոխ առնել դինամիկայից: Այլ կերպ դա անել չի կարելի, քանի որ նպատակը, որին այս դեպքում ցանկանում են հասնել, զանգվածի և քաշի միջև տարբերության բացահայտումն է: Այստեղ էլ սահմանումը պետք է նախապատրաստվի փորձերի շարքով: Մի մեքենա ունենք, որը կարծես դիտավորյալ պատրաստված է հենց այն բանի համար, որ ցուցադրվի, թե ինչ է զանգվածը. դա Ատվուդի մեքենան է: Հետո պետք է հիշեցնել մարմինների անկման օրենքները, այն, որ անկման արագացումը նույնն է թեթև և ծանր մարմինների համար, որ այն փոփոխվում է աշխարահգրական լայնությունից կախված և այլն: 

Եթե հիմա ինձ ասեք, որ այս մեթոդները, որ ներկայացնում եմ, արդեն վաղուց կիրառվում են լիցեյներում, ես ավելի շուտ կուրախանամ, քան կզարմանամ: Գիտեմ, որ մեզ մոտ մաթեմատիկայի դասավանդումը բավարար է: Չեմ ցանկանում, որ այն խախտվի, դա ինձ կտխրեցներ, միայն դանդաղ ընթացող առաջադիմական բարելավումներ եմ ցանկանում: Այդ ուսուցումը չպետք է ենթարկվի կտրուկ տատանումների և անցնող մոդայի քմահաճույքներին: Դրա բարձր դաստիարակչական արժեքը կխամրեր այդ փոթորկում: Նրա հիմքում առաջվա նման առողջ և ամուր տրամաբանությունը պետք է լինի: Օրինակների օգնությամբ տրվող սահմանումը միշտ անհրաժեշտ է, բայց այն պետք է նախապատրաստի սահմանումը, այլ ոչ թե փոխարինի նրան. ծայրահեղ դեպքում այն պետք է պարզի այդպիսի տրամաբանական սահմանման ցանկալի լինելը այն դեպքերում, երբ վերջինները գործի օգտակարության առումով կարող են տրվել միայն ուսուցման բարձրագույն աստիճանում:

Իհարկե, հասկանում եք, որ շարադրված դատողություններով ամենևին էլ չեմ հրաժարվում այն ամենից, ինչ առաջ գրել եմ: Հաճախ եմ առիթ ունեցել քննադատելու այն սահմանումները, որոնք հիմա առաջարկում եմ: Այդ քննադատությունն իր ամբողջ ուժը պահպանում է: Սահմանումները, որոնց մասին խոսում ենք, կարող են միայն նախնական լինել: Բայց այս սահմանումներով անցնելն անհրաժեշտ է:

Թարգմանություն ռուսերենից