Նոր երկրաչափությունը չհասկացածների շարքում էր անգամ ավստրիացի ֆիզիկոս և փիլիսոփա Էռնստ Մախը, ով 19-րդ դարի վերջին տասնամյակում շարադրեց ֆիզիկայի հասկացությունների և պնդումների վերաբերյալ իր քննադատությունը։ Հենց Մախն էր, որ առաջինն այն հարցադրումն արեց, որ ֆիզիկայի պնդումների իմաստը հանգում է դիտարկումներին, իսկ ֆիզիկայի լեզուն պետք է այնպիսին լինի, որ յուրաքանչյուր դատողություն հնարավոր լինի հաստատել կամ հերքել փորձով։
Մախից մի սերունդ առաջ Բերնհարդ Ռիմանը Գեթինգենում զարգացրել էր ոչ Էվկլիդեսյան երկրաչափությունը և հավատում էր այնպիսի ֆիզիկայի հնարավորությանը, որի համար հին երկարչափությունը բավարար չէր լինի։ Անշուշտ, Ալբերտ Էյնշտեյնը Ռիմանի և Մախի հետևորդն էր։Մախի ազդեցությունն ի հայտ եկավ բացարձակ ժամանակից հրաժարվելու մեջ, այսինքն, այնպիսի ժամանակի, որը հնարավոր չէ որոշել փորձի միջոցով, իսկ Ռիմանի ազդեցությունն արտահայտվեց Էյնշտենի ավելի ուշ աշխատությունում և նրա՝ ոչ Էվկլիդեսյան երկարչափությունն ընդունելու պատրաստակամության հարցում, եթե այն կպարզեցներ նոր ֆիզիկայի լեզվով արված հասկացությունների ձևակերպումը։ Ինչպես հայտնի է, այսպես կոչված հարաբերականության հատուկ տեսությունը բացատրեց Ալբերտ Մայքելսոնի փորձի արդյուքը՝ Երկրի պտույտը Արեգակի շուրջ չի ազդում Երկրի հետ կապված հայելիների և ոսպնյակների համակարգում օպտիկական երևույթների վրա։ Այս փորձը հարված հասցրեց բացարձակ տարածության հայեցակարգին։ Հարաբերականության այս տեսությունը, որը հիմա հիսուն տարեկան է, նույնպիսի հեղափոխություն արեց ֆիզիկայում, ինչպիսին արել էին Բոյային և Լոբաչևսկին՝ երկրաչափությունում։ Իսկ ի՞նչ օգուտ ունեցավ դրանից լայն հասարակությունը։ Գրեթե ոչ մի, չհաշված դարձվածաբանության մեջ որոշակի փոփոխությունների, երբ լրագրողներն ավելի պատրաստակամ սկսեցին խառնել ժամանակի և տարածության մասին հասկացությունները։ Օրինակ, հնարավոր դարձավ գրել «վերջին տարիների ընթացքում» (նման յուրօրինակ արտահայտություն օգտագործվել էր վերջերս մահացած մի գիտնականի վերաբերյալ, որը, չնայած մաթեմատիկոս չէր, սակայն արժանացել էր Բոլյայի անվան մրցանակի դափնեկրի պատվավոր կոչմանը)։ Ոչ միայն հանրակրթական դպրոցում, այլ անգամ ֆիզիկայի համալսարանական դասընթացում դժվար է ուսանողներին բացատրել հարաբերականության տեսության հիմունքները։
Շատ ճանապարհներ են երեկվանից դեպի այսօր բերում, և մենք ընդամենը մեկը ուրվագծեցինք՝Յան Բոյայիի միջոցով Էվկլիդեսից` դեպի ժամանակակից ֆիզիկա։ Էվկլիդեսի բազմաթիվ ընթերցողներից, թերևս, ամենահետաքրքրասերը Բլեզ Պասկալն էր։ Դաստիարակության շնորհիվ նա մեծ մարդ դարձավ, ինչպես դա եղավ Տաուրինուսի, Բայայի-կրտսերի և Ստյուարտ Միլի դեպքում։ Կարծես թե դեռ մանուկ հասակում Բլեզը ինքնուրույն հասավ էվկլիդեսյան մի քանի թեորեմների, ինչի համար էլ նվեր ստացավ «Elementa»։ Հենց նրա աշխատություններում ենք գտնում «esprit de geometrie — esprit de finesse» (երկրաչափության ոգին խորաթափանցության ոգին է) այլընտրանքը, որը ընդգծում է մաթեմատիկական և հումանիտար ոգու տարբերությունները, չնայած հենց ինքը մեկ անձի մեջ այդ երկուսի համադրության վառ օրինակ էր։
Երիտասարդ տարիքում Պասկալը մի որոշ ժամանակ խաղամոլների շրջապատում էր։ 1654 թվականին նա իր վաղեմի ընկերներից մեկին զառախաղի մասին նամակ էր գրել, որում մանրամասն ներկայացրել էր դրամախաղում բարենպաստ արդյունքի հավանականությունը հաշվարկելու հիմունքները։ Այդ հաշվարկը մեծ նշանակություն ունեցավ միայն այն ժամանակ, երբ սկսեցին օգտագործել այլ մոդելի մեջ, որը զառախաղի հետ որևէ կապ չուներ։
Այդպիսի մոդել է նյութական մասնիկների բազմությունը, և Ջ․Քլերկ Մաքսվելը, Լյուդվիգ Բոլցմանը, և Մարիան Սմուլուխովսկին հենց այդպես էին պատկերացնում գազը։ Կես դարի ընթացքում, որն ավարտվեց Առաջին համաշխարհային պատերազմով, այս երեք գիտնականները ստեղծեցին նյութի, այսպես կոչված, կինետիկ տեսությունը։ .Հավանականության տեսության սկզբունքները, որոնք կիրառվել են միլիարդավոր անտեսանելի նյութական մասնիկների քաոսն ուսումնասիրելիս, ստեղծել են այն օրենքները, որոնք ֆիզիկոսները շատ ավելի վաղ ձևակերպել էին որպես գազերի հատկություններ։ Սակայն դրանք ստացել էին առանց մաթեմատիկայի օգնության՝ ուղղակիորեն դիտարկելով սրվակի մեջ լցված գազը, որը ենթարկել են սեղմման կամ տաքացման: Ո՞րն էր խնդիրը։ Պարզապես մեխանիկայի կիրառությունը ջերմադինամիկայում այն բանի ցուցադրությունն է, որ մեխանիկան, որը հիանալի կանխատեսում է հսկայական մոլորակի շարժումը, նույնքան լավ կարող է կանխատեսել փակ ծավալում մի ամբողջ պարս մասնիկների հետագծերը։ Ինչ էլ որ լինի, մաթեմատիկան ապացուցում է, որ Նյուտոնի դասական մեխանիկան համընդհանուր է։ Հայտնի է, որ այդ մեխանիկան թույլ է տալիս կանխատեսել արկի հետագիծը՝ հիմնված նրա սկզբնական դիրքի և սկզբնական արագության վրա, սակայն գազի յուրաքանչյուր մասնիկի վերաբերյալ նման տեղեկությունն անհասանելի է։ Միլիարդավոր մոլեկուլների մեջ չենք կարող հաշվարկել յուրաքանչյուր առանձին մոլեկուլի հետաձիգը , բայց եթե անգամ կարողանայինք, ապա օգտվելով միայն հավանականության տեսությունից, միևնույնն է, չէինք կարողանա որևէ ֆիզիկական օրենք դուրս բերել, հաշվարկելու մոլեկուլների միջին արագությունը կամ դրանց ամբողջական իմպուլսը, երբ գազը մխոցով սեղմվում է գլանի մեջ։
Դրան կարելի է հասնել միայն, այսպես կոչված, մեծ թվերի օրենքի շնորհիվ, և մենք դրա համար ինչ-որ աստծու ենք երկպագում, որը կանաչ խաղասեղանի մոտից տեղափոխվել է տեսական ֆիզիկոսի սեղանի մոտ։ Եվ այդ աստվածը այսպես կոչված «պատահականությունն է»։ Վերջին 30 տարիների ընթացքում պարզվեց, որ կարելի է փորձել բացառել այդ անորոշ պատահականությունը և բավականին առաջ մղել հավանականության տեսության մաթեմատիկական հիմքերը։ Միգուցե, նույնիսկ հաջողվի (ի ուրախություն հետևողական դետերմինիստների) դասական ֆիզիկայից ամբողջությամբ բացառել հավանականության տեսությունը, սակայն քվանտային ֆիզիկայում այն կպահպանի իր գերակշռող նշանակությունը։ Ամեն դեպքում, այդ բացառումը մաթեմատիկոսների հոգսն է, և նրանք պետք է բացատրեն, թե ինչու է դա անհնարին (եթե դա իրոք այդպես է):
Նույն Պասկալի հետ կապված ևս մեկ ուղղություն կա, որը տանում է դեպի հաշվողական մեքենաների ստեղծում։ Պասկալն անգամ կառուցել է առաջին այդպիսի մեքենան, որը սակայն երբևէ գործնականում չօգտագործված հետաքրքիր խաղալլիք էր։ Այդ սարքի բառացիորեն թույլ կողմը ատամնանիվներն էին, քանի որ այն ժամանակներում մեխանիկները չէին կարողանում ատամներին համապատասխան երկրաչափական տեսք տալ։ Սարքի մեջ օգտագործվում էին պարզունակ կցորդներ, որոնք տեղադրված էին շրջանի եզրին և արագ պտույտների ժամանակ կոտրվում էին։ Միայն այն բանից հետո, երբ տեխնոլոգները կարողացան մշակել ցիկլոիդալ պրոֆիլով ատամներ, հնարավոր եղավ կառուցել գործնականում կիրառելի հաշվիչ մեքենա։ Այսօր դա լայնորեն օգտագործվող սարք է (արիֆմոմետր)։ Եվ այստեղ անսպասելիորեն օգնության եկավ էլեկտրոնային տեխնիկան։ Էլեկտրոնային լամպը մեքենայի մեջ ուղղակի անջատիչի դեր է տանում, որը հոսանքը թողնում կամ ընդհատում է։ Որևէ սովորական անջատիչ չի կարող րոպեում միլիոնավոր անգամ փոխել իր վիճակը, բայց էլեկտրոնային լամպը կարող է, քանի որ էլեկտրոնների իներցիան աննշան փոքր է լավագույն մեխանիկական տարրերի համեմատ։
Ինչի՞ համար է անհրաժեշտ նման արագությունը։ Դժվար թե այնպիսի խնդիրներ լուծելու համար, որոնք օրեցօր իրականացվում են շինարարական գրասենյակներում կամ բանկերում։ Հաշվարկների արագությունը կարևոր է հսկայական հաշվարկներ պահանջող խնդիրների դեպքում։ Դրա ամենապարզ օրինակը բալիստիկ աղյուսակների կառուցումն է։ Դժվար չէ հաշվարկելը, թե որտեղ կգտնվի հրանոթային արկը կրակելուց 1/100 վայրկյան հետո և ինչ արագություն այն կունենա՝ հաշվի առնելով քամու դիմադրությունը, քանի որ այդ պարամետրերը չորս թվերով են որոշվում։
Նույն բանաձևերը մեկ անգամ էլ օգտագործելով, կարելի է այս չորս թվերով գտնել ուրիշ չորս թիվ, որոնք ցույց կտան արկի տեղն ու արագությունը հաջորդ 1/100 վայրկյան հետո և այսպես շարունակ։
Այս գործողությունները մի քանի հազար անգամ կրկնելով՝ կարելի է պատկերացնել արկի ողջ հետագիծը։ Քանի որ հրանոթի փողի ունեցած անկյունից կախված՝ գետնի նկատմամբ հետագիծը փոխվում է, ամբողջական աղյուսակ ստանալու համար պետք է հաշվարկվել հարյուրավոր հետագծեր: Հենց նման խնդիրների լուծման համար է անհրաժեշտ արագ հաշվարկող մեքենա, որը կկարողանա մի քանի ժամում կատարել բոլոր գործողությունները՝ լամպերի արագագործության և էլեկտրական լարերով մեքենային սզբնական տվյալների անընդհատ փոխանցման շնորհիվ։
Ո՞րն է մաթեմատիկոսի դերը, ով հնարավորություն ունի օգտագործելու նման մեքենա։ Նրա հանապազօրյա հացը նման խնդիրների արագ կոդավորումն է, որը բաղկացած է գաղտնագրման հրամաններից՝ ծակոտաքարտի վրա ծակեր դակելով, քանի որ մեքենան միայն այդպիսի ծածկագիր է հասկանում: Նորագույն մեքենաները ունիվերսալ են դարձել, և վերջերս մաթեմատիկոսները նոր խնդիրների հետ են առնչվում։
Օրինակ, անհրաժեշտություն էր առաջացել մեքենայի համար կազմել հրահանգներ, որ կարողանար մարդու հետ շախմատ խաղալ , և հաջողվեց այս խնդիրը լուծել, թեև ոչ մինչև վերջ (այս մասին ավելի ուշ կխոսեմ)։ Թե ինչ խնդիրներ են առաջանում նոր հնարավորությունների հիման վրա, երևում է նորագույն համակարգիչներ արտադրող IBM-ի հրահանգով մի խումբ մաթեմատիկոսների կողմից պատրաստած, սակայն դեռ չհրապարակված հուշագրից։ Փաստաթուղթը պարունակում է մի քանի գաղափարներ և առաջարկներ, որոնք, այնուամենայնիվ, բառացի չեմ մեջբերում։
Հեղինակները պնդում են, որ մինչ այժմ գերարագ մեքենաներն օգտագործվում են բացառապես մաթեմատիկական ֆիզիկայի կամ տեխնիկայի խնդիրներ լուծելու համար, ի դեպ, մեքենայի արտադրողականությունը լիովին որոշվում է կոդավորված հրահանգներով և դրանց կատարման հաջորդականությամբ: Հայտնի է, որ մարդն այլ մոտեցում է կիրառում և աշխատանքի ընթացքում կարող է փոխել գործողությունների պլանը։ Զեկույցում իրենից միջանկյալ մի բան ներկայացնող նոր մեթոդ է առաջարկվում։ Մեքենային ինքնուրույն գործելու հնարավորություն տալու փոխարեն, այն կարելի էր համակցել մարդու հետ, ով աշխատելու ընթացքում տեսնում է միջանկյալ արդյունքները, միջամտում է հետագա գործողություններին և անգամ փոխում խնդրի լուծման ալգորիթմը։ Նման փոխգործունեությունը կոչվում է սիներգետիկա, որի օրինակ կարող է ծառայել ավտոմեքենայի և մարդու համագործակցությունը, երբ մարդը ճանապարհների վիճակի մասին ստանում է տեղեկություններ և դրանց հիման վրա փոխում արագությունը, նվազեցնում այն, եթե տեսնում է շրջադարձ կամ անհրաժեշտ հասցեն։ Մեքենայի հետ շախմատ խաղալիս, կարելի է թույլ տալ մեքենան օգտագործել որպես խորհրդական, որ ժամանակ առ ժամանակ վերլուծի որոշ քայլերի հաջորդականությունը և հետո թույլ տա մարդուն շարունակել խաղը։ Զեկույցի հեղինակներից մեկը վերջերս ինձ ներկայացրեց ապագա մեքենաների գաղափարը, որոնց վարքագիծը որոշ իրավիճակներում կլինի դետերմինիստական (ինչպես դա հիմա է), իսկ որոշ դեպքերում՝ հավանական (այսինքն՝ առանձին լամպեր պատահականորեն կփոխեն իրենց վիճակը)։ Նման տիպի մեքենաները կարելի է օգտագործել այնպիսի երևույթներ ուսումնասիրելիս, որոնք տեղի են ունենում մասամբ դասական ֆիզիկայի օրենքներին և մասամբ հավանականության տեսությանը համապատասխան։ Նման իրավիճակների հաճախ ենք գործնականում հանդիպում, օրինակ, շինարարական կառույցներում, որոնց մասերը ենթարկվում են պատահական փոփոխությունների։
Նորագույն մեքենաները լավ օրինակ են նրա, թե ինչպես է տեխնիկան էական ազդեցություն ունեցել մաթեմատիկայի զարգացման վրա, և առաջին հերթին՝ մաթեմատիկական մտածողության ուղղությամբ: Սակայն կա մեկ բացառություն, որը հիշեցնում է այն, ինչը կենսաբանության մեջ կանոն է հանդիսանում․ դա արտաքին օգնությունն է՝ սարքավորումների օգնությունը:
Մաթեմատիկայի հիմնական առանձնահատկությունն այն է, որ այն զարգանում է ինքնավար, և մեր կենսաբանի հարցին պետք է պատասխանենք, որ մաթեմատիկայի առաջընթացը բոլորովին տարբերվում է բնական կամ հումանիտար գիտությունների առաջընթացից։ Դրա զարգացումն ընթանում է դեպի վեր, ինչպես կենդանի օրգանիզմի կատարելագործումը։ Ցանկացած համեմատությունից դուրս, այն ավելի հստակ է բացահայտում մարդու ծագումը, քան մյուս գիտությունները:
Ներկայումս երկրագնդի վրա միաժամանակ ապրում են մարդիկ, ովքեր մաթեմատիկայի իրենց գիտելիքներով պատկանում են հին եգիպտական բուրգերի դարաշրջանին (նման մարդիկ զգալի մեծամասնություն են կազմում), փոքր տոկոսը հասել է միջնադարի մակարդակին, իսկ 18-րդ դարին հասել է հազիվ թե հազարից մեկը։ Ըստ երևույթին, պարզունակ մարդը չի կարող մաթեմատիկոս դառնալ միայն էվոլյուցիայի շնորհիվ, քանի որ զարգացման չափազանց կարճ գործընթացը (որը որոշվում է կենսագենետիկ օրենքներով) թույլ չի տալիս ստանալ ուղեղի այնպիսի փոփոխություններ, որոնք նեանդերտալյան մարդուն դարձնում են Պասկալ:
Մարդկանց ավելի ու ավելի շատ սերունդներ պետք է անցնեն փշոտ ճանապարհով, որը անհնար է կրճատել․ ինչպես ասում էին հին ժամանակներում, «մաթեմատիկայում թագավորական ճանապարհ չկա»։ Պատկերավոր ասած՝ առջևում գնացողների և թափառաշրջիկների հսկայական զանգվածի միջև հեռավորությունը մեծանում է, երթը ձգվում է, և առջևում քայլող առաջնորդները գնալով միայնակ են դառնում։ Իրենք անհետանում են տեսադաշտից, քչերը գիտեն իրենց մասին, նրանց մասին պատմվում են ֆանտաստիկ պատմություններ։ Երթի որոշ մարդիկ ընդհանրապես դադարում են հավատալ նրանց գոյությանը:
Ուսուցիչների համար նախատեսված E Ecole du Grand Paris ամսագրում ֆրանսիացի ականավոր մաթեմատիկոս Լորան Շվարցը ժամանակակից մաթեմատիկայի միտումների մասին հոդված է հրապարակել։ Հեղինակի կարծիքով՝ «մաթեմատիկան ամենավերացական գիտությունն է և միևնույն ժամանակ ամենաանկախը արտաքին աշխարհից և ընթացիկ կյանքից, սակայն մյուս կողմից՝ այնպիսի առարկա է, որը գործնականում ոչինչ չի կարող պատմել ոչ մաթեմատիկոսներին ժամանակակից մաթեմատիկայի մասին»։ Այլ կերպ ասած, Սորբոնի պրոֆեսորը հայտարարում է, որ գործնականում իմաստ չունի այսօրվա դասախոսության նման դասախոսություններ կարդալը… և նա, գրեթե, իրավացի է։ Բայց նրա առաջին թեզը միայն նախապատրաստություն է հաջորդի համար, որի էությունը խնդիրների ընտրության բացարձակ կամայականությունն է, և ես այդ թեզը համարում եմ առաջինից շատ ավելի վտանգավոր, քանի որ գիտության ինքնավարությունը ընտրության ազատությունն է, այլ ոչ թե կամայականությունը։
Գիտության բոլոր ճյուղերի արագ զարգացումը (որն ավելի ճիշտ է կոչել մուտացիա, քան էվոլյուցիա) և, ինչը ոչ պակաս կարևոր է, նյութական մշակույթի աշխարհում փոփոխությունները լիովին ապացուցել են այն մտացածին համոզմունքը, որ ցանկացած մաթեմատիկական տեսություն մի օր ինչ-որ բանի համար օգտակար կլինի, թեև լինում են հաճելի անակնկալներ։ Ժամանակակից մաթեմատիկոս Նորբերտ Վիները նշել է, որ կառավարման մաթեմատիկական տեսությունը հիմնարար նշանակություն ունի ֆիզիոլոգիայի համար, քանի որ կենդանի օրգանիզմը նման է այսօրվա ինքնակարգավորվող ավտոմատներին։ Նա այս դոկտրինն անվանել է կիբեռնետիկա, իսկ դրա գլխավոր սկզբունքը՝ հետադարձ կապ։
Հետադարձ կապը շարժման ուղղության և նշված նպատակի միջև առկա շեղումը անընդհատ չափելու և կառավարման սարքի կողմից այդ շեղումն օգտագործելով՝ շարժումն ավտոմատ և շարունակաբար ուղղելն է: Եկեք այս սկզբունքը կիրառենք պատմության միջով քայլող մաթեմատիկոսների երթի առաջատարների նկատմամբ՝ այստեղ հետադարձ կապը պահանջում է վերջնական նպատակի իմացություն, որը չպետք է անտեսվի: Սակայն ամբողջ երթի նպատակը չի կարող ցույց տալ մեկ մարդ, ով ազատ է միայն ընտրելու դեպի նպատակ ճանապարհը։
Ինչպես արդեն ասացի, մաթեմատիկայի գործնական նշանակությունը կախված է նրանից, թե ինչպիսին է հասարակության կարծիքը մաթեմատիկայի և մաթեմատիկոսների մասին։ Ափսոս, որ մինչ օրս այդ թեմայով համապատասխան հարցում ոչ ոք չի անցկացրել, քանզի համոզված եմ, որ հարցման արդյունքները կլինենին սենսացիոն։ Տեխնիկական գիտություններով զբաղվող մարդիկ լավ գիտեն, թե դասական մաթեմատիկան ինչ դեր է խաղում ճարտարագիտության և մեքենաշինության մեջ, բայց այն համարում են երկրորդական․ այսպիսի տեսակետ ձևավորում է մաթեմատիկական տեղեկատու գրքերի արկայությունը։ Նրանք շատ են զարմանում, երբ, օրինակ, ինչ-որ մեկն ասում է, որ Վրոցլավի տեխնիկական մաթեմատիկոսների միությունը լուծել է պատյանների և գմբեթների խնդիրը՝ ներկայացնելով դրանց օպտիմալ ձևը յուրաքանչյուր ուրվագծի համար։ Զարմանքն առաջանում է այն պատճառով, որ էմպիրիկները չեն հասկանում այս կարգի ծայրահեղ դատողությունները: Ավելին, ոչ մաթեմատիկոսը իրեն վիրավորված է զգում հատկապես, երբ ինչ-որ մեկը իր նախապայմաններից եզրակացություն է անում, որը գերազանցում է իր երևակայությունը։ Մաթեմատիկոսները դա անում են պրոֆեսիոնալ կերպով և ճանաչում են ստանում՝ հակառակ ոչ պրոֆեսիոնալների կարծիքի: Գոյություն ունի տարածված կարծիք , որ արդյունաբերության, հանքարդյունաբերության, կապի, առևտրի և դրամաշրջանառության ոլորտներում երբեմն առաջանում են հաշվարկման հետ կապված դժվարություններ, սակայն նշված խնդիրները մաթեմատիկական չեն։ Մեզ մոտ անհնարինն է որևէ գործարանում զբաղեցնել մաթեմատիկոսի պաշտոն, քանի որ ոչ մի տնօրեն նման բան չի լսել (խոսքը կրթված տնօրենների մասին է, այլ ոչ նրանց, ովքեր ստիպում են մաթեմատիկոսներին աշխատավարձի ցուցակ կազմել): Խելամիտ տնօրենն ինքն իրեն հարց կտա՝ իսկ մաթեմատիկոսն ամբողջ օրը գործարանում ինչո՞վ պետք է զբաղվի։ Այս հարցի պատասխանը մենք գտնում ենք Կոտարբինսկու նախկինում մեջբերված աշխատությունում, որտեղ նշում է, որ լավ կազմակերպիչը չպետք է գործի, այլ միայն հետևի այն ամենին, ինչ տեղի է ունենում շուրջը (լեհական ասացվածքն ասում է, որ «տիրոջ հայացքից անասունը գիրանում է», և դա կարող է վերաբերել ինչպես՛ կենդանի ձիուն կամ էշին, այնպես էլ մեխանիկականին:) Օրինակ, տեքստիլ ձեռնարկությունում մաթեմատիկոսին կարելի է տալ մի համեստ առաջադրանք, որը նա կարող է լուծել գործարանում մեկ տարի պարապ մնալուց հետո՝ որոշել օպտիմալ արտադրանքը: Նման խնդիրը միանգամայն արժանի է մաթեմատիկոսին, քանի որ նույնիսկ 10 աշխատողների աշխատանքի բաշխումը 10 տարատեսակ մեքենաների միջև՝ առավելագույն արտադրողականություն ապահովու նպատակով, շաբլոն հաշվարկային խնդիր չէ։ Պետք չէ, սակայն, վրդովվել տնօրենների կամ բարձրաստիճան մենեջերների վրա, քանի որ նույնիսկ Հենրի Ֆորդ ավագը մաթեմատիկան համարում էր բոլորովին ավելորդ բալաստ տեխնիկական կրթության համար։ Ինձ նույնիսկ զարմացնում է ոչ այնքան Ֆորդը, այլ մի բնագետ (Բենեդիկտ Դիբովսկու և Նուսբաում-Հիլարովիչի աշակերտը), որը Կրակովի ակադեմիայի նիստում սերոլոգիական հետազոտության վերաբերյալ (հայրության որոշման դեպքում սխալների բաժնի համամասնության օբյեկտիվ գնահատման համար) բացականչեց. «Բնազդն ու հավատն ինձ ավելին են հուշում, քան սարքի ապակին և իմաստուն մարդու աչքը»:
Խոսքս ստեղծագործ և անկախ մաթեմատիկոսների մասին է, քանզի մյուսների տեղը հանրակրթական դպրոցն է։ Ականավոր, տաղանդավոր մաթեմատիկոսները (վերը նշված առաջատարներից) բարձրագույն ուսումնական հաստատություններում, համալսարաններում և պոլիտեխնիկական ինստիտուտներում, արդյունաբերության և արտադրության տարբեր ոլորտներում զբաղեցնում են բարձր պաշտոններ… Բայց որտե՞ղ։ ԱՄՆ-ում, ուր վաղուց ուղարկում ենք մեր շրջանավարտներին։ Այնտեղ էլ շատ տնօրեններ չեն հավատում մաթեմատիկայի անհրաժեշտությանը, սակայն մաթեմատիկոսի պաշտոնի հավակնորդներն էլ այնքան շատ չեն, քանի որ ամերիկացի երիտասարդները նախընտրում են մրցակցել այլ ոլորտներում։ Լեհ մաթեմատիկոսները բարձր պահանջարկ ունեն արտասահմանյան աշխատուժի բորսայում։ Մեր պետությունը կրթում է նրանց՝ չափսոսալով շնորհակալական խոսքեր ասել նրանց, բայց համապատասխան աշխատանք չի գտնում նրանց համար։ Նրանց արդյո՞ք պետք է արտահանենք կամ առաջարկենք որպես գովազդային ապրանք՝ «չի վաճառվում» գրառումով։ Իսկապես, մեր տեխնիկական հետամնացությունը դժվարացնում է ժամանակակից մաթեմատիկայի դերի ընկալումը և, հետևաբար, նվազեցնում է մաթեմատիկոսների դերը, բայց առանց մաթեմատիկայի մենք չենք կարող հաղթահարել տեխնիկական հետամնացությունը։ Եթե ուզում ենք հասնել մյուսներին, պետք է հագնենք հեքիաթային արագ սլացող կոշիկները, որոնք գտնվում են ժամանակակից (բայց ոչ անցյալի) մաթեմատիկայի պահեստում:
Գիտնականների շրջանում պրակտիկայի հանդեպ և պրակտիկների շրջանում տեսության նկատմամբ հակակրանքը հանգեցնում է մաթեմատիկական արդյունքների կուտակմանը՝ ապարդյուն հույսով, որ մենք կօգտագործենք այդ ինտելեկտուալ պաշարը ապագայում կամ այլ երկրներ կօգտագործեն դրանք հիմա: Բայց այլ երկրներ արդեն բողոքում են մաթեմատիկական գրականության պակասից։ Էդինբուրգում վերջերս կայացած միջազգային կոնգրեսի մասնակիցներից մեկը, ով բազմիցս ցուցաբերել է հեռատեսության և համընդհանուր կողմնորոշման կարողություններ, գրում է, որ մաթեմատիկան ակնհայտորեն հետ է մնում ֆիզիկայի, աստղագիտության, ինչպես նաև կենսաբանության և տեխնիկայի ֆանտաստիկ զարգացումից: Այսպիսով, պետք է ընկալել, որ գիտության սպառողների հայտնվելուն անվերջ սպասելը խելացի մարտավարություն չէ։ Այն երկրներում, որոնք գիտակցել են մաթեմատիկան գործնականում օգտագործելու անհրաժեշտությունը, նկատվում է աննախադեպ հետաքրքրություն մաթեմատիկայի դասավանդման խնդիրների նկատմամբ։ Այս երկրների շարքում են Իտալիան, Բելգիան և Հարավսլավիան, հետևելով նրանց օրինակին, Ֆրանսիան այժմ մտածում է կրթության բարեփոխմների մասին, որպեսզի մաթեմատիկան հասանելի լինի երիտասարդների շատ ավելի մեծ մասին, քան հիմա է: Պատասխանատու շրջանակները գիտակցում են, որ առանց մաթեմատիկայի անհնար է դիմակայել այն երկրների հետ մրցակցությունում, որտեղ մաթեմատիկան բարձր է դասվում։ Մյուս կողմից, պատմությունն ու փորձը հստակ ցույց են տալիս, որ երիտասարդների մեծամասնությունը կամ ընդհանրապես չի ընկալում մաթեմատիկան, կամ հասկանում է, բայց դրանում ոչ մի հետաքրքրություն իր համար չի տեսնում։ Իսկ մեր երկրում նույնիսկ մտածում են մաթեմատիկայի ուսուցում կազմակերպել այն մարդկանց համար, ովքեր չունեն կոչում դեպի մանկավարժությունը:
Չեմ հավատում, որ ուսուցման որևէ նոր դիդակտիկական հնարք կարող է արմատապես մեծացնել դպրոցում մաթեմատիկա հասկացող աշակերտների թիվը: Ամփոփելով ուսուցիչների փորձը՝ հայտնվում ենք երկընտրանքի առջեւ, կամ տրվել Կրակովի դպրոցականների պահանջներին և վերացնել մաթեմատիկան (բացառությամբ պարզ թվաբանության և երկրաչափության տարրերը), կամ գործել այնպես, ինչպես սովորեցնում է բնությունը՝ ցրել հազարավոր սերմեր, թեև քաջ գիտակցությամբ, որ դրանցից միայն մի քանիսը կընկնեն պարարտ հողի վրա: Եվ այդ մի քանի սերմերից ապագայում կունենաք Պասկալ, Գաուս ու Բոլայի…