«Թվերի տեսությունն ուսումնասիրելիս այնպիսի կարծիք է ստեղծվում, կարծես Էյլերը հիմնականում հետաքրքրված է եղել թվերի տեսությամբ։ Եթե ուսումնասիրում ես տարամետ շարքերը կամ դիֆերենցիալ հավասարումները, ապա թվում է, թե հենց տարամետ շարքերն ու դիֆերենցիալ հավասարումներն են եղել Էյլերի հետազոտությունների սիրելի թեմաները, և այդպես շարունակ։ Սա խոսում է Էյլերի՝ որպես մաթեմատիկոսի, մեծության մասին»:
Հ. Էդվարդս
«Էյլերը հաշվարկներն այնպես ազատ էր կատարում, ինչպես մարդիկ են շնչում, կամ արծիվներն են ճախրում օդում»։
Ֆ. Արագո
«Նրա անունը կարող է անհետանալ միայն գիտության հետ»։
Ն. Ֆուս
«Էյլերը մաթեմատիկայում ուսումնասիրում էր այն ամենը, ինչը հնարավոր էր»։
Ա. Շպայզեր
«Հռչակավոր գիտնականը» ․ այսպիսի հարգանքով էր դիմում իր նախկին աշակերտին 18-րդ դարի նշանավոր մաթեմատիկոս, Բազելի համալսարանի պրոֆեսոր Յոհան Բեռնուլին։ Այս հարգալից դիմելաձևի մեջ չկա ոչ մի չափազանցություն. այն հասցեագրված էր Լեոնարդ Էյլերին (1707–1783): Էյլերը հանդիսանում է գիտությանը անձնուրաց նվիրված աշխատողի օրինակ։
1738 թվականին կորցնելով մի աչքի տեսողությունը, իսկ 1766-ին ամբողջությամբ կուրանալով՝ նա, այդուհանդերձ, շարունակում էր աշխատել՝ իր բազմաթիվ հետազոտությունների արդյունքները թելադրելով իր օգնականներին, աշակերտներին։ Նրա աշխատությունների կեսը ստեղծվել է հենց այդ փուլում։ Էյլերն իր ստացած արդյունքները շատ պարզ և հասկանալի լեզվով էր շարադրում՝ գրում էր լուծմանը տանող ընթացիկ քայլերը, հաշվարկները մեկնաբանում էր արժեքավոր օրինակներով։
«Կարդացե՛ք, կարդացե՛ք Էյլեր, նա մեր բոլորի ուսուցիչն է»,- խորհուրդ էր տալիս ֆրանսիացի հայտնի մաթեմատիկոս Պ. Լապլասը:
«Էյլերի աշխատությունների ուսումնասիրությունը լավագույն դպրոցն է մաթեմատիկայի տարբեր բնագավառներում, և ոչինչ չի կարող փոխարինել այդ աշխատանքներին»,- համակարծիք էր մեկ այլ հայտնի մաթեմատիկոս՝ Կ. Գաուսը։
Շատ երկրների գիտնականներ Էյլերին ճանաչում էին ոչ միայն որպես «հռչակավոր» գիտնականի, այլև՝ «գերսրամիտ», «անգերազանցելի» և «մաթեմատիկոսների առաջնորդի»։
Էյլերի գիտական հետաքրքրությունների շարքը, ստացած խորքային արդյունքները, և որ ամենակարևորն է՝ նրա անհավանական ստեղծագործական արդյունավետությունը, նույնիսկ մեր օրերում է արժանի հիացմունքի։
Էյլերը գրել է մոտավորապես 750 հոդված, 40 գիրք, իսկ աշխատություններից 15-ը նախատեսված են եղել տարբեր մրցույթների համար։ Այս ամենին ավելացնենք Եվրոպայի տարբեր երկրներ ուղարկված մի քանի հազար նամակները, որոնք իսկական գիտական աշխատություններ կարող են համարվել։
Նրա աշխատությունների ցանկը ընդգրկում է իր ժամանակաշրջանում գոյություն ունեցած մաթեմատիկայի, մեխանիկայի, օպտիկայի, աստղագիտության, տեխնիկայի և գիտելիքի այլ ճյուղերի բոլոր բաժինները։ Վիճակագրական տվյալները ցույց են տվել, որ Էյլերը շաբաթական միջինում մեկ գիտական հայտնագործություն է արել։
Ահա Էյլերի հայտնագործություններից մի քանիսը.
1.Ցանկացած եռանկյան բարձրությունների հատման կետը՝ H, միջնագծերի հատման կետը՝ M, և եռանկյանն արտագծած շրջանագծի կենտրոնը՝ O, գտնվում են մի ուղղու՝ Էյլերի ուղղու վրա: M կետը գտնվում է O և H կետերի միջև, ընդ որում՝ OM : MH = 1 : 2 (նկ. 1)
(նկ. 1)
2. Ցանկացած եռանկյան կողմերի միջնակետերը (2-րդ նկարի 1, 2, 3 կետերը), բարձրությունների հիմքերի կետերը (4, 5, 6 ) և գագաթներից մինչև օրթոկենտրոն ընկած հատվածների միջնակետերը (7, 8, 9 կետերը) գտնվում են միևնույն շրջանագծի՝ Էյլերի շրջանագծի վրա: Այս շրջանագծի շառավիղը հավասար է եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավղի կեսին, իսկ դրա կենտրոնը՝ F-ը, համընկնում է այն հատվածի միջնակետի հետ, որը միացնում է H օրթոկենտրոնը արտագծած շրջանագծի O կենտրոնի հետ (տե՛ս նկ․ 2):
(նկ․ 2)
3. Եռանկյանը ներգծած r շառավղով շրջանագծի I կենտրոնի և արտագծած R շառավղով շրջանագծի O կենտրոնի հեռավորությունը բավարարում է հետևյալ առնչությանը՝ d2=R2-2Rr, (նկ․ 3):
(նկ․ 3)
4. Դիցուք եռանկյան մակերեսը S է, R-ը նրան արտագծած շրջանագծի շառավիղն է, իսկ S’-ն այն եռանկյան մակերեսն է, որը կազմված է եռանկյան որևէ P կետից եռանկյան կողմերին տարված ուղղահայացների հիմքերով։
P կետը գտնվում է արտագծած շրջանագծի O կենտրոնից d հեռավորության վրա (նկ. 4)։
5. Յուրաքանչյուր քառանկյան համար a, b, c, d կողմերը, e և f անկյունագծերը, ինչպես նաև անկյունագծերի միջնակետերի միջև m հեռավորությունը բավարարում են հետևյալ առնչությանը (նկ. 5) :
Պրեգել գետի վրա, որն անցնում է Կյոնիգսբերգ քաղաքով և ողողում երկու կղզի, կառուցված է յոթ կամուրջ (նկ. 6): Անհնար է շրջանցել բոլոր կամուրջները, վերադառնալ ելման կետին՝ յուրաքանչյուրով անցնելով միայն մեկ անգամ։
(նկ. 6)
Ուռուցիկ բազմանիստի գագաթների թիվը՝ Գ, կողերի թիվը՝ Կ, և նիստերի թիվը՝ Ն, կապված են հետևյալ բանաձևով՝
Գ – Կ + Ն = 2
Էյլերի նույնությունը չորս քառակուսիների վերաբերյալ`
Դեռևս Յակոբ Բեռնուլին դրել էր հետևյալ խնդիրը` hաշվել քառակուսիներին հակադարձ թվերի շարքի գումարը.
Էյլերը պարզեց, որ այդ գումարը π²/6 է՝ միաժամանակ գտնելով այլ նմանատիպ շարքերի գումարներ, օրինակ՝
1734 թվականին Էյլերն ապացուցեց, որ հարմոնիկ շարքի n անդամների գումարը, երբ n-ը աճելով մոտենում է C+ln(n+1) մեծությանը, որտեղ C-ն հաստատուն է․ այն հետագայում ստացավ Էյլերի հաստատուն անվանումը: Էյլերը գտավ դրա 15 ճշգրիտ նիշերը՝ C = 0,577215664901532… Ներկայումս հայտնի չէ՝ արդյոք Էյլերի հաստատունը ռացիոնալ թիվ է, թե ոչ:
1737 թվականին Էյլերը ստացավ մեկ այլ ուշագրավ նույնություն,
որը կարևոր դեր է խաղում թվերի տեսության մեջ։ Աջ մասում գտնվող արտադրյալը ճիշտ է բոլոր պարզ թվերի համար՝ p = 2, 3, 5, 7, 11, 13, …, իսկ s-ը բնական թիվ է։ Օգտագործելով այս նույնությունը՝ Էյլերը նույն տարում առաջին անգամ ապացուցեց, որ պարզ թվերի հակադարձների գումարի շարքի տարամետ է։ Չնայած այն հանգամանքին, որ n-ի աճին զուգընթաց պարզ թվերը բնական շարքում հանդիպում են ավելի ու ավելի հազվադեպ, բայց շարքի գումարը գերազանցում է նախապես տրված ցանկացած մեծություն։
1743 թվականին Էյլերը գտավ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների և ցուցչային ֆունկցիայի միջև կապ հաստատող բանաձև. e ix = cosx + sinx, որտեղ i-ն կեղծ միավոր է, i2= -1 : x = π․ այս նույնությունը Ֆելիքս Կլայնն անվանել է «Զարմանահրաշ հավասարությունը մաթեմատիկայում», քանի որ այն միավորում է հինգ առավել հայտնի մաթեմատիկական մեծությունները:
e iπ + 1= 0
Էյլերն ուսումնասիրում էր մեխանիկական սղոցների, էլեկտրաստատիկ մեքենաների, հողմաղացների, տուրբինների, պոմպերի, օպտիկական և երաժշտական մեխանիզմների աշխատանքները։ Նա զբաղվել է նաև աշխարհագրական քարտեզների կազմմամբ, ապահովագրության և վիճակախաղերի կազմակերպմամբ: Նրա հաշվարկների կենտրոնում էին ջրանցքները, ամբարտակները, վառարանները, ատամնանիվները, նավի վրա կայմերի օպտիմալ դասավորությունը և նույնիսկ մանկական օրորոցի տատանումները:
Գործնական աշխատանքների հիման վրա՝ Էյլերը զարգացնում էր մաթեմատիկան որպես մեկ ամբողջություն՝ «իր հետևից տանելով այլ հետազոտողների, սովորեցնելով նրանց մտածել և գրել այնպես, ինչպես մտածում և գրում էր ինքը» (Մ. Վ. Օստրոգրադսկի)։
Աղբյուր
Թարգմանությունը՝ Լիանա Հակոբյանի