Մանկական անհաջողությունների պատճառները

Սկիզբը
Նախորդ հատվածը

1960, մարտի 3

Այս գրառումը վկայում է, որ ես արդեն ինչ-որ բան սովորել եմ փետրվարի 14-ից հետո:

Երեխան, որը իսկապես ինչ-որ բան սովորել է, կարող է կիրառել իր գիտելիքները և դրանք կիրառում է: Նրա ուղեղում այն դառնում է իրականության հետ կապված, հետևաբար, անհրաժեշտության դեպքում կարող են նաև այլ կապեր ստեղծվել իրականության հետ: Իրականության հետ կապ չունեցող գիտելիքը ոչ մի բանի հետ չի կապվում, այն մեկուսացված է, և օգտագործել չի կարելի:

Մեր առաջին դասարանցիները փայտիկներ են օգտագործում: Դրանք ճանաչում են անունով և երկարությամբ: Նրանք նարնջագույն փայտիկը տասնյակ են անվանում, դա վատ է, բայց դա արմատախիլ անել չենք կարողանում: Նրանք կարողանում են հաշվել մինչև 100 և ավելի: Նրանց ասել են սովորական դպրոցական իմաստությունը՝ միավորներ, տասնյակներ և այլն, և նրանցից մի քանիսն արդեն այդ ամենը կրկնում են: Մի անգամ որոշեցի ստուգել, թե ինչպես են հասկանում և օգտագործում այն փաստը, որ, օրինակ, 38 թիվը կարելի է պատկերել երեք նարնջագույն (10) փայտիկի և մեկ շագանակագույն(8) փայտիկի միջոցով: Հերթով նրանց հարցնում էի, թե ինչ երկարության պետք է լինի սպիտակ (1) փայտիկների շարքի երկարությունը, որպեսզի պատկերի 38 թիվը: Մի փոքրիկ աղջիկ անմիջապես վերցրեց երեք նարնջագույն և մեկ շագանակագույն փայտիկ, դրանք երկարությամբ դրեց և զարմացած ինձ նայեց. ի՞նչ դժվար բան կար: Բայց ամեն երկրորդ աշակերտը, չբացառելով նաև ամենաընդունակներին, փորձում էր այդ թիվը շարել սպիտակ (1) փայտիկներից՝ անընդհատ խառնելով հաշիվը:

Դա վկայում է այն մասին, որ նույնիսկ մուգ կանաչ (6) փայտիկը 6 անվանելով, երեխաները մինչև վերջ չէին հասկացել, որ այն հավասար է 6 սպիտակի, չնայած որ տեսականորեն դա գիտեին: Վեց է կոչվում մուգ կանաչ փայտիկը. անվանումը ոչ մի կապ չունի նրա երկարության և մյուս փայտիկների երկարությունների հետ: Կան թվանշաններ, և կան փայտիկներ. և՛ մեկը, և՛ մյուսը համապատասխան համակարգի նշաններ են: Լուծելով 5+4= վարժությունը, նրանք արագ «հինգ» փայտիկը կկցեն «չորս» փայտիկին, կնկատեն, որ նրանց ընդհանուր երկարությունը նույնն է, ինչ որ «իննինը», բայց չեն հասկանում, որ այդ գործողությունը կարելի է անել համասեռ առարկաների խմբերի հետ:

Երկրորդ դասարանցի որոշ աշակերտներ, լուծելով 59+42+35 տեսակի վարժություն, չգիտես ինչպես ստանում են 1200 և ավելիի կարգի պատասխան, առանց որևէ կասկած ունենալու: Չեն հասկանում, որ 1200-ը շատ մեծ է, քանի որ չեն պատկերացնում, թե որքան է այդ 1200-ը: Չենք կարող հուսալ, որ երխաները գիտակցաբար կաշխատեն թվերի հետ և կհսկեն իրենց՝ գնահատելով, թե որքանով է ստացված արդյունքը համապատասխանում իրականությանը, եթե այդ թվերի մեծությունների մասին պատկերացում չտանք: Գուցե արժե նրանց այսպիսի հարցեր տալ՝ իրենց կարծիքով ի՞նչ երկարության կլինի սպիտակ (1) փայտիկների շարքը, եթե պետք է ստանալ 38 (կամ 50, 75, 100, 200, 500, 1000): Քանի՞ սպիտակ փայտիկ պետք կլինի տրված ուղղանկյունը, թղթի թերթը, սեղանի մակերեսը, սենյակի հատակը ծածկելու համար: Որքա՞ն պետք կլինի տարբեր չափսերի տուփերը լցնելու համար:

Երեխաները հաճույքով են ընդունում տարբեր տեսակի հապավումները մաթեմատիկական խնդիրները ձևակերպելիս, եթե հայտարարում եմ, որ ծուլանում եմ մանրամասնորեն գրել: Նախ և առաջ՝ դա ճիշտ է: Երկրորդը՝ երեխաներին հնարավորություն է տրվում ներողամիտ վերաբերվելու իմ ծուլությանը և ինձ հաճելի բան անել (ինչը նույնպես ճիշտ է)՝ ընդունելով գրառելու իմ եղանակը: Նրանք չեն սիրում, երբ իրենց ասում են, որ որոշակի նշանը այսինչ բանն է «նշանակում»: Դա անհասկանալի և պարտադրող է հնչում: Բայց եթե հարաբերությունները կամ գործողությունները նրանց բացատրենք իրենց հասկանալի բառերով, արագ կհարմարվեն և հաճույքով թույլ կտան անցնելու սխեմատիկ արտահայտությունների: Օրինակ՝ «Երկու սպիտակը երկարությամբ հավասար է մեկ կարմիրի» ձևակերպումից սահուն անցնենք «2սպիտակ=1կարմիր» կամ «2ս=կ» գրառմանը:

Վերջին հաշվով, մարդիկ մաթեմատիկական նշանները հորինել են կրճատ գրառումների համար, այնպես որ իմ այս գործողությունները և՛ տրամաբանորեն, և՛ պատմականորեն արդարացված են: Ոչ մի նշան ոչինչ չի նշանակի, քանի դեռ չենք պայմանավորվել նրա նշանակության մասին, իսկ ինչո՞ւ երեխաներն էլ չմասնակցեն այդ լուծմանը:

Մեծապես սխալվում ենք, երբ երեխաներին ստիպում ենք պայմանական նշաններով կատարել այն գործողությունները, որոնք չեն կարողանում կոնկրետ կատարել: Երեխան պետք է սկզբում գնահատի, թե որտեղ շատ փայտիկ կա՝ 37 փայտիկ ունեցող խրձում, թե 28, և ինչքանո՞վ շատ կա, նոր միայն լուծի 37-28 վարժությունը, և վարժվի լուծել այդպիսի օրինակները, նախքան լուծելու կանոնը իրեն ասելը: Եվ սա բոլոր թվաբանական գործողություններին է վերաբերում: Երեխաները կանոնները պետք է ընկալեն որպես ավելի հասարակ և արագ ձև՝ ստանալու այն արդյունքը, որ իրենք արդեն սովորել են ուրիշ ձևով հաշվել, այլ ոչ որպես ոչ բոլորովին հասկանալի հրահանգների ժողովածու` անիմաստ հարցերի պատասխանները ստանալու համար:

Ընդհանուր առմամբ հիմա էլ եմ այդպես մտածում: Բայց հիմա երեխաների ձեռքին էժանագին հաշվիչներ են հայտնվել, որոնց միջոցով երեխաները կարող են ուսումնասիրել թվերը և դրանցով կատարվող գործողությունները: Վերցնենք պարզագույն հաշվիչ, որը միայն թվաբանական չորս գործողություններ է կատարում, ոչ ավելին, և երեխաներին ցույց տանք, թե ինչպես դրանով աշխատեն: Այսպիսով, բացատրելով 3+8= օրինակը ասում ենք. «Միացրու հաշվիչը, սեղմիր «3» կոճակը, հետո «+» կոճակը, «8» կոճակը և «=» կոճակը և ստացիր պատասխանը: Նույնը բազմապատկման համար և այլն, փոխելով միայն գործողության նշանը: Իսկ ի՞նչ է սա նշանակում: Երեխաներին թողնում ենք անգիտության մեջ: Թող անեն, ինչ ուզում են: Հավանաբար, շատերը կհորինեն սեփական խնդիրներ և հաշվիչին կհանձնարարեն լուծել, և այս ամենը առանց համակարգի: Այսպիսով, նրանք կհավաքեն պատահական և անիմաստ ինֆորմացիա, ինչպես դա լինում է երեխաների կողմից լեզուն յուրացնելու ժամանակ: Բայց, ինչպես և լեզվի դեպքում, նրանց մոտ կմիանան ինտուիցիան և փորձելու պահանջը, որպեսզի տեսնեն, թե ինչպես են աշխատում թվերը և գործողությունները: Փորձնական ճանապարհով կսովորեն օգտագործել մեքենան սեփական կարիքների համար և կանխագուշակել նոր աշխատանքը:

Կարճ ասած, նրանք կսովորեն իմաստ փնտրել, կառուցել սեփական տրամաբանական մոդելներ գոնե թվերի աշխարհի մասի համար:

1960, ապրիլի 16

Մաթեմատիկայի դասին իմ դասասենյակում տասնվեց մարդ է նստած: Նրանցից չորսը բացահայտ թույլ է, մեկը ձգում է երեքի, մնացածը բացառիկ մտածող և հնարամիտ երեխաներ են՝ մաթեմատիկական լավ կարողություններով: Շատ անգամ եմ նրանց բացատրել թվանշանների կարգային նշանակությունը:
Մի անգամ հարցրեցի. «Ենթադրենք, բանկ եմ գնացել 1437,50 դոլարանոց չեկով և փողը ստանալիս խնդրել եմ այդ գումարը տալ հնարավորին չափ տասը դոլարանոց թղթադրամներով: Նրանք իմ խնդրանքը կատարել են: Այդպիսի քանի՞ թղթադրամ եմ ստացել»։ Գումարը գրատախտակին գրեցի: Տետրերում մանրամասն հաշվարկներից հետո աշակերտները պատասխաններ ասացին: Ո՛չ մի ճիշտ պատասխան: Մի քանիսը ուղղակի ֆանտաստիկ էր: Երկու-երեք փորձից հետո մի քանիսը հասավ ճիշտ պատասխանին, բայց մեծամասնության համար խնդիրը հաղթահարելի չէր:

Ջնջեցի սկզբնական գումարը և գրեցի 75,00 դոլար: Քանի՞ տասնյակ կա այստեղ: Բոլորը պատասխանեցին: Դա ջնջեցի և գրեցի 175,00 դոլար: Այստեղ քանի՞ տասնյակ կա: Խնդիրը ավելի դժվար ստացվեց, քչերը կարողացան, մեծամասնությունը սխալվեց: Մի քիչ սպասելով, ցույց տալով 7 թվանշանը 175 թվի մեջ, հարցրեցի. «Ի՞նչ է ասում այդ յոթը»: Նրանք պատասխանեցին, որ դա 70 դոլար է նշանակում, 7 տասնյակ դոլար: Դա գրեցի գրատախտակին և հարցրեցի. «Իսկ այս 1-ը»: Բոլորը համերաշխ ասացին, որ դա հարյուր դոլար է: Եվ ոչ մեկը չասաց, որ դա ևս 10 տասնյակ է՝ գումարած նրան, ինչի մասին նոր խոսում էինք: «Քանի՞ տասնյակ կա հարյուրյակում»: Բոլորը ասացին՝ 10: Ցույց տվեցի, որ այդ 10 տասնյակին գումարած նախկին 7 տասնյակը՝ միասին կկազմեն 17 տասնյակ: Հետո գրատախտակին սկզբնական թիվը գրեցի՝ 1437,50 և հարցրեցի, թե յուրաքանչյուր թվանշանը քանի՞ տասնյակ է ցույց տալիս: Երեքն ասացին, որ ընդամենը 3 տասնյակ կա, չորսը՝ որ 40-ով շատ, և միայն մեկը, որ դրանք հարյուրով են ավելի, իսկ ընդհանուր արդյունքը 143 տասնյակ է: 1437 թվի մեջ 143-ը շրջանի մեջ առա: Եվ բոլորը հաներաշխ ասացին. «Վա՜յ, ճի՜շտ որ, ես հասկացա: Իսկույն երևում էր: Ի՜նչ հեշտ էր: Հաստատ»: Բայց ես կասկածելի լռություն պահպանեցի. այլևս չեմ հավատում «հասկացած բացատրությունների» կախարդական ուժին:
Երկու օր հետո գրատախտակին գրեցի 17357,50 դոլար և հարցրեցի, թե բանկում քանի՞ հարյուրդոլարանոց կարող եմ ստանալ այս չեկով: Պատասխանները տարբեր էին՝ 43, 17, 107, 142, 604, 34, 13100 և 22: Մի աշակերտ ճիշտ պատասխանեց: Չորսը գլխի ընկան, նախքան ես գրատախտակին կգրեի: Մնացած տասնմեկը շփոթված էին: Եվ նորից գրատախտակին գրեցի, թե թվանշաններից յուրաքանչյուրը քանի հարյուրյակ է ցույց տալիս, և որքան կլինի բոլորը միասին: Բայց շատ կասկածում եմ, որ նրանք այս անգամ հասկացան թվանշանների կարգային նշանակությունը:

Այս նշանակությունը չհասկանալը շատ երեխաների համար դժվար, իսկ երբեմն անհնար է դարձնում մեծ թվերի բաժանումը: Ենթադրենք 260 պետք է բաժանել 5-ի: Մենք չենք կարող 2-ը (2 հարյուրյակ) հավասարապես բաժանել հինգ մարդու միջև, կնշանակի դրանք պետք է դարձնենք 20 տասնյակ. էլի 6 տասնյակ ունեինք, ընդամենը կստացվի 26 տասնյակ: Դրանցից 25-ը կարող ենք բաժանել 5 մարդկանց միջև, և յուրաքանչյուրը 5 տասնյակ կստանա: Մեկ տասնյակ կմնա. այն էլ կձևափոխենք 10 միավորի, որը կբաժանենք 5-ի: Յուրաքանչյուր մարդուն կհասնի 5 տասնյակ և 2 միավոր: Այս ամբողջ բացատրությունը երեխայի կողմից կընկալվի այն ժամանակ, երբ նա հասկանա թվային կարգերը և բարձր կարգերից ցածրերին անցնելը. այդ պատճառով էլ շատ երեխաների համար մեծ թվերի բաժանումը այդպես էլ առանց բանալիների գլուխկոտրուկ է մնում:
Ջեյմս Հերնդոնի «Ինչպես գոյատևել մեր հայրենիքում» բացառիկ կարևորության և հետաքրքիր գրքում հիանալի գլուխ կա, որ կոչվում է «Բութ դասարան»: Այդ դասարանում, որտեղ նա մի քանի տարի դասավանդել է, հավաքվել էին կրտսեր դասարանների ամենաչզարգացած երեխաները, որոնք ոչինչ չէին կարող սովորել: Եվ այդ անհույս միջավայրում ամենաանհույսը մի տղա էր, որը բացարձակապես ոչնչի ընդունակ չէր:

Մի անգամ Ջիմը այդ տղային տեսավ կեգլարանում և զարմանքով իմացավ, որ նա այդտեղ պաշտոնապես աշխատում է երեկոները՝ հաշվելով բոուլերների թիմերի միավորները: Տղան, երկու հրապարակների միջև բարձր տեղում նստած, միաժամանակ երկու թիմերի հաշիվն էր պահում և հետևում հրապարակներում իրավիճակին: Ջիմը հատկապես նշում է, որդ տղան այդ տեղը չզարգացած երեխաների սոցիալական պահպանության ֆեդերալ ծրագրի շրջանակում չէր ստացել: Կեգլարանի մենեջերները նրան վարձել և վճարում էին այն բանի համար, որ նա արագ և ճիշտ էր հաշվում, և ոչ մի բողոք երբևէ չէր եղել:
Այդ ժամանակ Ջիմը որոշեց տղային դպրոցում հարցեր տալ «կեգլարանի կյանքից»:. Տղան չկարողացավ դրանք լուծել: Միավորները հաշվելուն վերաբերող նրա պատասխանները ոչ միայն ճիշտ չէին, այլև անհեթեթ էին: Կյանքում լրիվ գիտակցող տղան դմբոյանում էր՝ անցնելով դպրոցի շեմը: Մնում է միայն հետևություն անել, որ ինքը դպրոցն է, ձանձրալի և վախեցնող, իրական փորձից և լուրջ գործերից կտրված, երեխաներին դմբո դարձնում:

1960, հունիսի 20

Ինչպե՞ս կարելի է որոշել՝ երեխաները որոշակի բաները հասկանում են, թե ոչ: Երբ ես սովորում էի, ընդհանրապես գիտեի, թե ինչ եմ հասկանում և ինչ՝ ոչ: Դա կապ չուներ գնահատականների հետ: Քոլեջի վերջին կուրսում սովորելիս մաթեմատիկայից բավականին լավ գնահատականներ էի ստանում, բայց վերջացնելուն մոտ հասկացա, որ մաթեմատիկայի այդ դասընթացից ոչ մի պատկերացում չունեմ: Կոլորադոյում երկար ժամանակ համարում էի, որ աշակերտներս իրենց հաշիվ տալիս են, թե իրենք ինչ են հասկանում և ինչը` ոչ: Ես միշտ պնդում էի, որ ինձ զգուշացնեն, երբ ինչ-որ բան չեն հասկանում, և ես իմ «խելացի» բացատրություններով կցրեմ նրանց անգիտության մութը: Բայց նրանք գերադասում էին լռել: Իմ դառը փորձով համոզվել եմ, որ հազիվ հարյուրից մեկ երեխան գիտի՝ ինքը հասկանում է, թե ոչ, իսկ եթե չի էլ հասկանում, չգիտի, թե ինչու: Եթե երեխան դա գիտի, նրա համար անհանգստանալ պետք չէ. նա ակնհայտ գերազանցիկ է: Իսկ ինչպե՞ս իմանանք՝ ե՞րբ և ի՞նչ չեն հասկանում մյուսները։
Առաջինը, որ մարդու մտքին գալիս է, օբյեկտիվ ստուգումն է: Բայց ի՞նչ տեսակի: Եվ մի՞թե բազմիցս չենք հանդիպել, թե ինչպես երեխաները անհասկանալի ձևով ճիշտ պատասխան են տալիս՝ առանց դույզն-ինչ պատկերացում ունենալու իրենց աշխատանքի մասին: Նրանք ուղղակի հետևում են կանոններին՝ կուրորեն և անիմաստ: Մի քանիսը կարողանում են ճիշտ կրկնել իմ բացատրությունները, թութակի նման, առանց ինչ-որ բան ներդնելու: Մյուս կողմից` շատ երեխաներ ստուգումների վախից այնպես են կաթվածահար լինում, որ ոչ մի կերպ հնարավոր չէ իրերի իսկական վիճակը պարզել. մյուսները այնքան վախեցած և հուզված են, որ շփոթվում են և չեն կարողանում ձևակերպել այն, ինչը հասկանում են:

Խնդրի մասնավոր լուծումն այն ստուգումն է, որ այս տարի կազմակերպեցի և որում ընդգրկեցի ամենատարբեր խնդիրներ, որոնք մի սկզբունքով էին ընտրված՝ թույլ չտալ, որ պատասխանի ավտոմատ փնտրտուքի մեխանիզմն աշխատելու, և աշակերտներին ստիպել ուղեղները շարժել: Կարելի է փորձել խնդիրներն այլ կերպ ձևակերպել: Բայց ի՞նչ անենք, եթե արդյունքները ցույց տան, որ մեր աշակերտները կարծես չեն յուրացրել այն, ինչ իրենց սովորեցրել ենք ամբողջ տարին:

Օգտակար կլիներ մտքում այն բանի պատկերացումը կազմելը, ինչը հասկանալ ենք անվանում: Կարծում եմ՝ ինչ-որ բան հասկանում եմ, եթե գոնե կարող եմ. 1) իմ գիտելիքները ձևակերպել սեփական բառերով, 2) օրինակներ բերել, 3) այն, ինչը գիտեմ, ճանաչել այլ ձևերում և իրադրություններում, 4) տեսնել դրա և ուրիշ փաստերի կամ հասկացությունների միջև կապը, 5) գիտելիքներս տարբեր ճանապարհներով օգտագործել, 6) որոշ հետևություններ կանխատեսել, 7) ձևակերպել հակադիր կամ հակառակ պնդումներ: Սրանք միայն ուրվագիծն են, բայց կարող են հետագայում մեզ համար տարբերել աշակերտների իրական գիտելիքները գիտելիքի խաբկանքից, այլ խոսքով՝ իսկական գիտելիքը կեղծից:
Շատերը կասեն, որ դրանց միջև տարբերություն չկա: Խնդիրը լուծելու ամենալավ ձևն է ասելը, որ այն չկա: Այս ֆոկուսը մեծ կիրառություն է գտել հոգեբանների շրջանում: Նրանցից շատերի պնդմամբ, եթե կարող եք ասել, որ 7*8=56, ապա գիտեք այս կոնկրետ փաստի մասին ամեն ինչ, և ոչ պակաս, քան ցանկացած այլ մարդ, որ կարող է դա ասել: Մաթեմատիկոսը, երրորդ դասարանցին և լավ սովորեցրած թութակը կունենան այդ փաստի լրիվ և բացարձակապես միանման ընկալում: Միակ տարբերությունը մաթեմատիկոսի և երրորդ դասարանցու միջև այն է, որ մաթեմատիկոսը այդպիսի շատ փաստեր է մտքում պահում: Այդ պատճառով էլ երրորդ դասարանցուց մաթեմատիկոս սարքելու համար պետք է նրան սովորեցնել և հասցնել այն աստիճանի, որպեսզի այդպիսի շատ փաստեր իմանա: Նրան սովորեցրեք այն ամենը, ինչ գիտեր Էյնշտեյնը, և կստանաք նոր Էյնշտեյն:

Ուղղակի զարմանալի է, թե ինչ անհեթեթությունների կարող են մարդիկ հավատալ:
Իհարկե, սա ուղղակի կապ ունի բիհեյվիորիզմի հետ, որը դեռ մոդայիկ է, չնայած որ շատ բան չի կարողանում բացատրել: Շատ հարմար տեսություն է ուսուցիչների համար, որոնք վստահ են, որ իրենց աշխատանքը ինֆորմացիայի փշուրները քիչ-քիչ բերել ու աշակերտների բաց կտուցներում լցնելն է, որպեսզի նրանց դատարկ ուղեղները գիտելիքով լցնեն, դպրոցն էլ նրանց պատկերվում է դասական կրթված էակներ հավաքելու յուրատեսակ հոսքագիծ, որը հագեցված է ծրագրային հրամաններով հաշվողական տեխնիկայով: Մուտքում՝ հում նյութ, ելքում՝ չափորոշված բովանդակությամբ պատրաստի արդյունք:

Բայց 7*8=56 տեսակի ինֆորմացիայի պատառիկները առանձնացված փաստեր չեն: Դա կարծես թվերի տարածքի բնապատկերի մասեր լինեն, և նա է այդ տարածքի լավագույն գիտակը, ով բոլորից լավ է տեսնում, թե ինչպես են այդ մասերը ներառվում բնապատկերում և համադրվում միմյանց հետ: Մաթեմատիկոսը գիտի, այնուամենայնիվ, որ 7*8=56, մի քանի փաստ է ցուցադրում՝ որ եթե արտադրիչներից մեկը զույգ թիվ է, արտադրյալը նույնպես զույգ թիվ կլինի. որ 7*8=14*4=28*2=56*1. որ դրական ամբողջ թվերի միայն այդ զույգերն են արդյունքում 56 տալիս. որ 7*8=(8*8)-8, կամ (7*7)+7, կամ (15*4)-4 և այլն: Նա գիտի նաև, որ այդ արտահայտությունը փոխադարձ կապ է նշանակում, որը իրական կյանքում տարբեր ձևեր է ընդունում, օրինակ՝ 8 և 7 միավոր կողմեր ունեցող ուղղանկյան մակերեսը 56 քառակուսի միավոր կլինի: Բայց երեխան, որը վարժվել է թութակի նման կրկնելու «Յոթ անգամ ութ՝ հիսունվեց», չի կարող իրական կյանքի, թվերի աշխարհի հետ դրա կապի մասին ըմբռնում ունենալ: Նա կարող է միայն իր հիշողության վրա հենվել: Եթե հիշողությունը դավաճանի, կասի, որ 7*8=23, կամ ավելի փոքր է, քան 7*5, կամ ավելի մեծ է, քան 7*10: Նույնիսկ իմանալով, որ 7*8=56, գլխի չի ընկնում, որ 8*7-ն էլ նույն թիվն է, կամ էլ չի կարողանում իր գիտելիքները գործնականում կիրառել, օրինակ հաշվել 7 և 8 կողմեր ունեցող ուղղանկյան մակերեսը, բոլորովին չկարողանալով կիրառել բազմապատկման անգիր արած աղյուսակը:

Գիտելիքը, ուսումնասիրությունը, ընկալումը ոչ գծային հասկացություններ են: Դրանք փաստերի փոքրիկ կտորներ չեն, որ կարելի է շարել շարքերում կամ սյունակներում: Ցանկացած գործունեության ոլորտում գիտելիքի բնագավառը, լինի մաթեմատիկա, անգլերեն, պատմություն, գիտություն, երաժշտություն և ցանկացած այլ բան, տարածք է, և որպեսզի այն իմանաս, բավարար չէ բոլոր մասերը իմանալը, այլ պետք է իմանալ նրանց հարաբերակցությունը: Տարբերությունը մոտավորապես նույնն է, ինչ սենյակի կահույքի թվարկումը և սենյակի պատկերը, ինչպես երևում է աչքերիս, երբ հիշում ենք նրա մասին: Նույն բանն է, որ իմանաս քաղաքի բոլոր փողոցների անունները կամ կարողանաս քաղաքի ցանկացած մասից նշանակված տեղը հասնել մի քանի երթուղով:

Դրան ես ավելի ուժեղ եմ հավատում, քան առաջ, և դա ինձ նույնքան կարևոր է թվում, ինչպես այս գրքում շարադրված ցանկացած միտք:

Ինչո՞ւ ենք խոսում և գրում մեր շրջապատի մասին և մեր գիտելիքների մասին այնպես, կարծես դրանք գծային են: Դա ժանրի օրենքն է: Բառերը գալիս են իրար ետևից, այլ ոչ միաժամանակ. այլ կերպ չի լինում: Հարկ է լինում միասնական անբաժան աշխարհը փոքրիկ կտորների բաժանել և դրանք հավաքել խոսքի թելի վրա կամ շարել գրված տողում: Բայց չպետք է մոլորվել. խոսքի թելը կամ տողը նույնը չէ, ինչ աշխարհը: Մեր գիտելիքը ճշմարիտ չէ, ամբողջական չէ, սխալ է և նույնիսկ անօգտակար է, քանի դեռ այդ թելերը չենք փաթաթել կամ տողերը չենք շարել աշխարհի նման`տիեզերքի աշխատող մտավոր մոդելի, ինչպես այն գիտենք: Միայն ստեղծելով այդպիսի մոդել, որը գոնե ընդհանուր գծերով կրկնում է մեր իրական աշխարհը, կարող ենք ասել, որ ինչ-որ բան իմացել և հասկացել ենք:
Դպրոցում ուսուցման պրոցեսն այնպես է կառուցվում, որ երեխաները հավաքում են այդ թելերը և տողերը և կուտակում իրենց ուղեղում, առանց ձգտելու դրանք յուրացնել, բայց հիշելով, թե որը որ կույտում է, որ պահանջելու դեպքում կարողանան հանել: Այս բառերը ոչինչ չեն փոխում, չեն մտնում ոչ մի կառույցի մեջ, ոչ մի փոխազդեցության մեջ: Նրանք իմաստազուրկ են, ինչպես թութակի բառերը՝ թութակի համար: Ինչպե՞ս դպրոցին վերադարձնենք նրա իսկական կոչումը՝ երեխաներին իսկական գիտելիք տալը, այլ ոչ թե նրանց բառերով սնենք:
Հիմա հասկացել եմ, որ համառորեն ձգտելով պարզել, թե ինչ գիտեն մեր աշակերտները, մենք ավելի շուտ ոչնչացնում ենք այն ընկալումը, որը կար կամ ենթադրվում էր: Սկզբում պետք է նրանք հաստատեն իրենց գիտելիքները և սովորեն դրա մասին խոսել, ինչը գործնականում բացառվում է կրտսեր դպրոցականների դեպքում, դրա համար էլ արժե նրանց խրախուսել, որ խոսեն այն մասին, թե ինչ գիտեն, և ինչից գիտեն, որ գիտեն: Լավագույն ձևը իմանալու (իսկ մենք շատ քիչ բան կարող ենք իմանալ), թե երեխաները իրականում ինչ գիտեն` նրանց ազատություն տալն է անելու այն, ինչ իրենց դուր է գալիս և դիտարկելը նրանց:

Երբեմն արժե աշակերտներին հուշել իրենց ընկալումը և գաղափարները ստուգելու միջոցներ, եթե դա նրանց հետաքրքրում է: Բայց այս դեպքում էլ պետք չէ կարծել, որ եթե ինքնաստուգման ձևերից մեկը լավ է, ապա հարյուրը` հարյուր անգամ ավելի լավ է: Լավագույն կանոնները նրանք են, որոնք սովորողները սեփական փորձից են ստանում:

Թարգմանություն ռուսերենից
Թարգմանիչ՝ Գևորգ Հակոբյան
Լուսանկարը՝ Սմբատ Պետրոսյանի