Մանկական անհաջողությունների պատճառները

Սկիզբը
Նախորդ հատվածը

1960, սեպտեմբերի 11

Երբ այցելեցի բարեկամներիս, նրանք խնդրեցին, որ իրենց տասնամյա աղջնակի հետ մաթեմատիկա պարապեմ: Համաձայնեցի. մենք աղջնակի հետ հին ընկերներ էինք, և ինձ թվում էր, որ կկարողանամ հասկանալ նրա մտքերի ընթացքը: Բանավոր հաշվից սկսեցինք: Պատրաստվում էի նրան հարցնել, թե որքա՛ն կանի 2*76, հետո՝ 2*77: Ինձ հետաքրքիր էր, թե նա ինչպես կլուծի երկրորդ օրինակը՝ 2 կգումարի, թե նորից կսկսի հաշվել: Բայց տեղապտույտը սկսվեց, երբ նա ասաց, որ 2*76=432:

Ես գլխի ընկա, թե բացթողումը որտեղ էր. նա 2-ը բազմապատկել էր 6-ով և 7-ը՝ 6-ով, նա 6-ը բազմապատկել էր 72-ով, և ստացել այդ դեպքի համար ճիշտ պատասխան: Առաջարկեցի նորից հաշվել, և նա նորից 432 ստացավ, ինչը ապացուցում է սխալները կրկնելու մեր միտումը, քանի որ անկարող ենք հրաժարվել արդեն փորձված ակոսից:

Հարցրեցի.
— Ինչքա՞ն կանի 2*100։
— 200:
— Իսկ 2*90։
— 180:
— 2*80:
Դադար:
— 160։
— 2*76:
— 432:
— 2*70։
— 140:
— 2*80։
— 160։
— 2*76։
— 432։
— 2*100։
— 200։
— 2*200։
— 400։
— 2*76։
— 432…
Այստեղ նա մտածեց, զննող հայացքով նայեց ինձ և ասաց.
— Մի րոպե: Այստեղ ինչ-որ բան այն չէ:
Տեղից պոկվեց, թուղթ ու մատիտ բերեց և հաշվեց: 2*76=152.

Շատ կարևոր պահ էր, երբ նա ասաց. «Մի րոպե»: Նա գլխի ընկավ, որ պատասխանը պետք է փնտրենք ոչ թե «Ճի՞շտ է, թե՞ սխալ» սկզբունքով, այլ «Արդյո՞ք իմաստ ունի» սկզբունքով, և այդ դեպքում կարող ենք նախօրոք ասել, թե որ պատասխանը ի սկզբանե սխալ կլինի, քանի որ անհամատեղելի է մեր հաստատ իմացածի հետ:

Մենք մի քիչ էլ պարապեցինք, և գնաց քնելու՝ բավարարված իր հաջողություններով: Ավելի ուշ ծնողներին պատմեցի մեր պարապմունքների մասին, որպեսզի նրանց համար լուսաբանեմ այն դժվարությունները, որոնց հանդիպում են երեխաները, եթե չգիտեն թվերի աշխարհի օրենքները, այլ միայն առանձին, իրար հետ կապ չունեցող փաստեր և կանոններ։ Աղջկա հայրն ասաց, որ ինքը սկսեց ավելի լավ հասկանալ Կուիզեների փայտիկներով մեր աշխատանքի իմաստը, իսկ մայրը նույնիսկ որոշակիորեն ագրեսիվ հայտարարեց, որ այս նոր գաղափարները չի հասկանում և պատրաստվում է հետագայում էլ նույն ոգով շարունակել՝ աղջկան օրվա համար մեկ էջ վարժություններ տալ, և յուրաքանչյուր սխալի համար ավելացնել մի քանի վարժություն:

Այս արձագանքը զարմացրեց և վախեցրեց ինձ: Թվաբանությունը՝ պատի՞ժ: Սա ինձ հիշեցրեց ինձ ծանոթ շատ ծնողների, որոնք ինձանից ավելի կոշտ վերաբերմունք են պահանջում իրենց երեխաների նկատմամբ: Նրանց կարծիքով դպրոցը օրինականցված հարկադրանքի և պատժի վայր է բոլորի համար՝ անկախ նրանց ճիշտ կամ սխալ լինելուց: Ինո՞ւ են նրանք այդքան նեղացած իրենց երեխաներից:

1960, հոկտեմբերի 16

Իմ նոր հինգերորդ դասարանին, որտեղ տասնհինգ աշակերտ էր, հարց տվեցի. «Քանի՞ սպիտակ (1) փայտիկ է պետք, որ սեղանի երկայնքով շարենք»: Դասարանի կեսը չափելու համար օգտագործեց նարնջագույն (10) փայտիկները: Մնացածը, բացի մեկից, սկսեցին սպիտակ փայտիկները շարել: Երբ դրանք վերջացան, երեխաները սկսեցին շարել կարմիր (2) փայտիկները, բայց դնում էին ոչ թե երկարությամբ, այլ՝ լայնքով, որպես (1): Հետո անցան բաց կանաչավուն փայտիկներին՝ նույնպես լայնքով շարելով, և այդպես շարունակ, մինչև սեղանի եզրը:

Այս երեխաները փայտիկների հետ արդեն երեք շաբաթ աշխատել էին, վարժվել էին դրանց և անվանում էին երկարությամբ. Օրինակ՝ նարնջագույն (10) փայտիկն անվանում էին տասնյակ: Նրանք նաև գիտեին, որ նարնջագույնը երկարությամբ համապատասխանում է 10 սպիտակի, բայց դա գործնական իրավիճակում կիրառելը գլխի չընկան, չնայած դա շատ կհեշտացներ նրաց խնդիրը:

Հետո հարց տվեցի. «Քանի՞ սպիտակ փայտիկ է հարկավոր, որպեսզի ծածկենք ծոցատետրի էջը (մոտավորապես 23*15սմ)»: Մի քանիսն սկսեցին էջը լրացնել, բայց նրանցից ոմանք կանգ առան, հասկանալով, որ բոլոր շարքերը նույն երկարության են: Մյուսները շարունակեցին մինչև վերջ չարչարվել: Նրանց մի մասը հաշվեց շարքերի թիվը և այն բազմապատկեց շարքի երկարությամբ, մյուսները ջանասիրաբար գումարեցին բոլոր շարքերի երկարությունները: Նրանցից եկուսը նույնպես փայտիկները շարեցին, բայց հատույթով (1 քառ.սմ), գույնից անկախ՝ այդպիսով ծածկելով էջի ամբողջ մակերեսը: Աշխատանքը չհաջողվեց մինչև վերջ հասցնել, քանի որ փայտիկները վերջացան:

Դորոթին էլ էր էջը փայտիկներով ծածկում և հայտարարեց, որ 44 սպիտակը բավական է: Թիվը բացահայտորեն օդից էր վերցված: Հարցրեցի. «Քանի՞ սպիտակ է պետք մի հատ նարնջագույնը ծածկելու համար»: «Մոտավորապես 8»: «Ստուգիր»: Ստուգեց: Պետք էր 10 հատ: «Իսկ քանի՞ հատ է պետք 4 նարնջագույնը ծածկելու համար»: Նայում է ինձ ու լռում:

1960, հոկտեմբերի 30

Երեկ բազմապատկման աղյուսակով էինք աշխատում: Արդյունքն ինձ զարմացրեց: Աշակերտներից յուրաքանչյուրը 10*10 չափսի աղյուսակ գծեց. այսինքն աղյուսակը բաղկացած էր 10 շարքից և յուրաքանչյուր շարքում՝ 10 վանդակ: Աղյուսակի վերևում և ձախից գրված էին 1-ից 10 թվերը: Այսպիսով 100 վանդակներից յուրաքանչյուրը համարակալված էր ըստ հորիզոնական և ուղղաձիգ ուղղությունների: Եթե վանդակը հորիզոնական երկրորդ շարքի և 3-րդ ուղղաձիգի հատումն էր, այնտեղ պետք էր գրել դրանց արտադրյալը, այսինքն՝ 6: Հետևաբար, 5-րդ շարքի և 7-րդ ուղղաձիգի հատման վանդակում պետք է 35 գրվեր, և այլն:

Մարջորիի տետրում աչքի էր զարնում՝ 4*6=22, 4*4=20, 4*7=32,10*10=20, և անմիջապես՝ 10*2=22: 8-երի շարքում՝ 8*8=48, 8*6=59, 8*4=40, 8*7=49, 8*9=42։ 7-երի շարքում՝ 7*5=35, 7*8=24, 7*7=47, 7*9=45:

Երդվում եմ, որ չեմ հորինում:

9-երի շարքում՝ 9*9=69, 9*10=40: 4-երի շարքում՝ 4*8=62, 4*9=40:

Մի՞թե այստեղ հարցը միայն բազմապատկման աղյուսակը չիմանալն է:

Մի քանի օր առաջ, երբ աշխատում էի Մարջորիի հետ, նա կտրվեց իր պարապմունքից և ասաց. «Կարելի՞ է ձեզ մի բան հարցնել»: «Դե, իհարկե, հարցրու»:

Նա ասաց, որ երբ գումարում է մատներով (այդ ժամանակ ամոթխած ժպտաց), և իրեն պետք է հաշվել 10, 11, 12, 13 և այդպես շարունակ, երբեմն նա բութ մատը բացում է 10-ի վրա, ցուցամատը՝ 11-ի, միջնամատը՝ 12-ի և այդպես շարունակ, իսկ ուրիշ անգամ բութ մատը բացում է 11-ի վրա, հետո 12-ի վրա ցուցամատը և այլն: Բայց այդ մեթոդներից մեկը իրեն չի արդարացնում, և ինքը չգիտի, թե որը: Կարո՞ղ եմ իրեն օգնել: Խնդրեցի բերել խնդրի օրինակ, որը նա նման ձևով է լուծում: Նա չկարողացավ: Այդպիսի երեխաներից քչերն են կարողանում օրինակ բերել:

Պատկերավոր ասած, նրան ավել էր պետք, որպեսզի իր ուղեղում կարգ ու կանոն հաստատի: Այն աղտոտված էր ամեն տեսակ աղբով: Չկա ոչ մի հաշվառում, թե որտեղ ինչ կա, և նրա ուղեղի բոլոր դարակներից և սնդուկներից պետք է սկզբում դուրս թափել ամբողջ պարունակությունը, որպեսզի հետո այնտեղ ինչ-որ կարգ հաստատվի: Եթե նրան հաջողվի իր գլխում անկանոն կերպով պահպանվող փաստերի և կանոնների 9/10 մասը մոռանալ, նրան հնարավոր կլինի ինչ-որ բան սովորեցնել:

Մի անգամ աշակերտներին առաջարկեցի «r» տառով վերջացող որքան հնարավոր է շատ բայ գտնել: Մարջորիի դեմքին խուճապ նկատվեց: Հիստերիայի եզրին նա թոթովեց. «Ես չեմ հասկանում»: Հարցրեցի, պարզորոշ գիտակցելով հարցի անօգտակարությունը. «Ի՞նչը չես հասկանում»: Ինչպես և սպասում էի, ասաց. «Ընդհանրապես չեմ հասկանում»: Կրկնեցի առաջադրանքը և պահանջեցի, որ կրկնի ինձնից հետո: Կրկնեց: Հարցրի. «Գիտե՞ս, թե ինչ է բայը»: Ոչ, չգիտեր (բայի սահմանումը նրա համար կրկնել էին բազմիցս): Ես բայի օրինակներ բերեցի, նա թեթևացած շունչ քաշեց և գործի անցավ: Քիչ էր մնում՝ նրան հարցնեի, թե ինչու հենց սկզբից չասաց, որ ինքը չգիտի, թե ինչ է բայը, բայց հասկացա՝ ինքն էլ չգիտեր, որ չգիտի: Պարզ էր միայն, որ իրեն հանձնարարել էին աշխատանքը սկսել, բայց ինչ աշխատանք՝ չգիտեր: Նա անկարող է վերլուծել առաջադրանքը, պարզել, թե ինչը իր համար իմաստ ունի, իսկ ինչը՝ ոչ, որտեղ է վերջանում նրա գիտելիքը և սկսվում անգիտությունը:

Այդ տեսակ երեխաները վարժվել են, որ ուսուցիչը պետք է իրենց ամեն ինչ ցույց տա, որպեսզի իրենք կարողնան կրկօրինակել նրա գործողությունները. նրանք չեն կարողանում ինֆորմացիա քաղել բառային ցուցումներից: Նրանք չեն պատկերացնում, որ բառային ցուցումներում ինֆորմացիա է պարունակվում: Նրանք ընդունակ չեն առանձնացնելու նպատակը և դրան հասնելու համար միջոցները կամ ձևակերպելու աշխատանքի բովանդակությունը և կատարման մեթոդը: Եթե նրանց խնդիր է տրվում, նրանք գիտեն կամ չգիտեն, «ինչպես դա անեն»: Եթե չգիտեն, թե «ինչպես», ամբողջ խնդիրը նրանց անիմաստ է թվում:

Շատ վտանգավոր է երեխաներից պահանջելը, որ նրանք գործողություններ անեն նշանների հետ, որոնց իմաստը չեն հասկանում: Որոշ ժամանակ անց նրանք զգում են, ինչպես Մարջորին, որ բոլոր նշանները իմաստազուրկ են: Երեխաներին սովորեցնելիս մենք չափազանց շատ բառեր ենք օգտագործում և չափազանց արագ ենք արտասանում:

1961, հունվարի 26

Ավելի վաղ ես նկարագրել էի խնդիրներ, որոնք դոկտոր Գատենյոն տվեց մտավոր հետամնաց երեխաների հետ իր բաց դասի ընթացքում: Վերջերս այդ խնդիրները առաջադրեցի Դորոթիին, որ, անկասկած, իմ ուսուցանած երեխաներից ամենահետամնացն էր: Մինչև հիմա երեխաներին, որոնց առաջադրել եմ այդ խնդիրները, երկու-երեք փորձը բավական է եղել, որպեսզի հասկանան, թե ինչն ինչոց է: Նրան հարկ եղավ հինգ-վեց փորձ: Երբ նա սովորեց անմիջապես ճիշտ փայտիկն ընտրել, որպեսզի լրացնի բաց հատվածները՝ առանց տատանումների և փորձելու, ասացի. «Արդեն դժվար է քեզ շփոթեցնելը», և անցանք ուրիշ խաղի:

Հավանաբար, որոշ ուսուցիչներ չեն հասկանա, թե ինչի համար է այս խաղը: Նախ՝ և սա ամենակարևորն է, երեխային խնդիր է տրվում, որը նա կարող է ինքնուրույն լուծել, առանց կողմնակի օգնության և առանց դիմելու աղոտ հիշվող և անհասկանալի բանաձևերի, կանոնների, մեթոդների, երկրորդ՝ երեխան հավաստի փաստ է իմանում՝ թե ինչպես է իրեն պահում մինչ այդ անհասկանալի առարկան, այսինքն՝ անշունչ առարկաների վարքը նրան պատկերվում է հաջորդական և վստահելի, այլ ոչ թե անկանխատեսելի և զարմանալի:

Երբեմն տպավորություն է առաջանում, որ այդ երեխաների զգայարանները ինչ-որ այլ կերպ են գործում: Կարծես նրանք այն չեն տեսնում, ինչ՝ մենք: Մի անգամ չէ, որ Դորոթիին առաջդրել եմ ընտրել փայտիկ, որը ունենա տրված երկարություն, ասենք՝ վեց (կամ չորս, կամ ուրիշ մի թիվ) սպիտակ (1) փայտիկ: Հաճախ նրա ընտրած փայտիկը երկու-երեք սանտիմետր երկար կամ կարճ էր լինում պետքականից, և նրան անհրաժեշտ էր լինում ստուգելու համար այդ փայտիկը դնել սպիտակ փայտիկների հետ: Միգուցե վախենո՞ւմ էր իր զգայարանների տվյալներին վստահելուց:

Ժամանակ լինելու դեպքում, հավանաբար, հնարավոր կլիներ վերադառնալ արմատներին և վերակառուցել այդ երեխայի ինտելեկտը: Հնարավոր է, մաթեմատիկայի դասերը, որոնք այդպիսի կործանարար ազդեցություն են ունեցել նրա ինտելեկտի վրա, կօգնեն վերկանգնելու այն, եթե համապատասխան ձևով կազմակերպվեն: Բայց դրա համար պետք կլիներ վերացնել արտաքին աշխարհի ազդեցությունը այն ժամանակում, երբ նա սովորում է իրերի իմաստ տեսնել, որպեսզի նրան չսկսի թվալ, որ ինքը գիտի այն, ինչը իրականում չգիտի, և որ ինքն իրեն դմբո կամ ամոթխած չզգա այն պատճառով, որ այդքան քիչ գիտի:

Ի միջիայլոց, «երեխայի ինտելեկտը վերակառուցելը» վատ արտահայտություն է, նաև ոչ ճիշտ: Մենք ավելի, քան բավարար չափով վնասում ենք դպրոցում, եթե համարում ենք, որ միայն փաստեր ենք սովորեցնում: Բայց եթե գա օրը, երբ համարենք, որ մեր խնդիրը ինտելեկտը կառուցելը կամ վերակառուցելն է, ավելի շատ վնաս կտանք: Մարդկային էակները ծնված օրվանից օժտված են ինտելեկտով: Մենք մեր բնույթով կենդանիներ ենք, որոնք հարցեր են տալիս, պատասխաններ գտնում, խնդիրներ լուծում, և դա մեզ լավ էլ հաջողվում է, հատկապես երբ փոքր ենք: Բայց որոշակի պայմաններում, որոնք կարող են լինել ցանկացած տեղում և, հավանաբար, բոլոր ժամանակներում գոյություն են ունեցել բոլոր դպրոցներում, մենք դադարում ենք օգտագործելուց մեր կարող մտավոր ուժերը, դադարում ենք զգալուց դրանց օգտագործման կարիքը և նույնիսկ չենք հավատում, որ այն ունենք:

Որպեսզի այս վիճակը շտկենք, պետք չէ հորինել «ինտելեկտը ուղղելու» ավելի ու ավելի խորամանկ հնարքներ, պետք է միայն վերացնել պայմանները, որոնք մարդկանց ստիպում են հիմարաբար վարվել, և փոխարենը մարդկանց հնարավորություն տալ հայտնվելու ամենատարբեր իրավիճակներում, որտեղ նրանք, հնարավոր է, նորից կսկսեն գործել ուղղորդվելով իրենց ինտելեկտով: Ուղեղը և ոգին, ինչպես և մարմինը, ունակ են բուժելու իրենց տարբեր վերքերից, եթե մենք չբացենք այդ վերքերը, որպեսզի տեսնենք, թե ինչպես են դրանք բուժվում:

Այս դասերը, իսկապես, շատ արդյունավետ էին Դորոթիի համար: Դպրոցում լինելու առաջին վեց տարիների ընթացքում նա, համաձայն դպրոցական ստուգումների և թեստերի արդյունքների, հաղթահարել է միայն նորմալ դպրոցական բեռնվածության կեսը: Այս անգամ նա իրականացրել է ամբողջ տարվա ծրագիրը: Սա, իհարկե, չի նշանակում, որ ես նրան ամենատարբեր բաներ եմ սովորեցրել կամ ուղղել եմ նրա ինտելեկտը։ Փաստն այն է, որ ես նրան շատ քիչ բան եմ սովորեցրել և դրան շատ քիչ ժամանակ եմ տրամադրել. միայն ձմռան վերջում զգացի, որ նա հարմարվել է դասարանին և դադարել է վախենալուց, և ես կարող եմ նրա հետ աշխատել սկսել:

Նրան շատ օգնեց այն, որ մեր դասարանը դարձավ (մյուսների համեմատ) տեղ, որտեղ ուրախ էր, հետաքրքիր, չէին վախենում, քանի որ բոլորը պատրաստ էին իրար օգնելու: Ազատվելով ինչ-որ բան անել չկարողանալու և հիմար երևալու վախից՝ աղջիկը դուրս եկավ իր բնից և սկսեց դիտարկել, թե շուրջը ինչ է կատարվում: Նա երկու ամսից մի քիչ ավելի էր մեր դասարանում, երբ ինձ զանգահարեց նրա մայրը, և շնորհակալություն հայտնեց այն ամենի համար, ինչը ես արել էի: Ես չհասկացա, թե ինչի համար, քանի որ նրա աղջկան այնքան շատ ուշադրություն չէի դարձրել, և դպրոցում էլ աղջկա գործերը առաջվա նման վատ էին: Իմ աշակերտների լավագույն սովորություններով փորձեցի պատասխանը գուշակել: Մայրն ասաց, որ վեց տարի անընդհատ Դորոթին դպրոցից տուն էր գալիս լուռ և ամբողջ երեկոն լռում էր: Հիմա հազիվ հասցնում է նստել մոր մեքենան և սկսում է խոսել և այդ ոգով շարունակում է մինչև երեկո: Ինչի՞ մասին: Իր տաղանդավոր ուսուցիչ պարոն Հոլթի մասի՞ն: Ամենևին ոչ: Նա պատմում է այն բոլոր հետաքրքիր բաները, ինչ խոսել կամ արել են երեխաները դասարանում: Դրանից է նա սնունդ վերցնում իր մտքի համար:

Իհարկե, ինձ հաճելի է գիտակցելը իմ մասնակցությունը այդ ուրախ փոփոխություններին: Բայց ես «չեմ ուղղել երեխայի ինտելեկտը», և դպրոցում նրա ամենաարժեքավոր ժամերը ամենևին էլ իմ ղեկավարությամբ աշխատելու ժամերը չեն:

1961, հունվարի 30

Էնդիին առաջարկեցի սպիտակ փայտիկները հինգ կույտով դասավորել՝ յուրաքանչյուրում 8 փայտիկ: Այդ նպատակին կարող էին ծառայել ցանկացած փոքրիկ առարկաներ: Հետո նրան տվեցի թղթե 8 բաժակ և հանձնարարեցի փայտիկները հավասարպես տեղավորել այդ բաժակներում: Ցանկացած մարդ, որ հասկանում է բազմապատկելու սկզբունքը, հեշտությամբ կկռահի, որ յուրաքանչյուր բաժակում պետք է 5 փայտիկ լինի: Ոչ այնքան արագ ըմբռնողները կմտածեն. «5*8=40. ունեմ 40 փայտիկ: Եթե դրանք 8 բաժակում տեղավորեմ, յուրաքանչյուրում 5 փայտիկ կլինի»: Էնդին նման բան չարեց: Սկզբում փորձեց յուրաքանչյուր բաժակում 8 փայտիկ տեղավորել: Փայտիկները չբավականացրին: Հետո նա տեղավորեց 4-ական փայտիկ. 8 փայտիկ ավելորդ մնաց: Կարծում էի, որ հիմա դրանք կտեղավորի 8 բաժակներում, բայց, ի զարմանս ինձ, տղան բոլոր փայտիկները դատարկեց և նորից սկսեց: Այս անգամ նա փորձեց յուրաքանչյուր բաժակում 6 փայտիկ դնել. փայտիկները չբավարարեցին: Դրանից հետո 5-ական տեղավորեց, և ամեն ինչ ստացվեց:

Այս աշխատանքի հմայքներից մեկն այն էր, որ Էնդին, ձգտելով լուծմանը, չէր գիտակցում, որ սխալվում էր: Նա յուրովի, անշնորհք ձևով, հետազոտություն էր անում և ինքը, առանց հուշելու, տեսնում էր անհաջողությունը, և յուրաքանչյուր այդպիսի անհաջողություն նրան մոտեցնում էր լուծմանը: Հինգերորդցու համար անգամ շատ վատ աշխատանքը պարտվողական տրամադրություն կամ ամոթ չէր առաջացնում, այլ կենդանի բավարարվածություն էր տալիս, որը նա այդքան հազվադեպ էր ապրում դպրոցում:

Թեդը բաժանման հետ կապված դժվարություն ուներ: Եթե պետք էր 86-ը բաժանել 2-ի, ամեն ինչ շատ հեշտ էր. 8:2=4, 6:2=3, արդյունքում՝ 43: Եթե 2-ի պետք էր բաժանել 96-ը, ընթացակարգը կրկնվում էր. 9:2=4 և 1 մնացորդ, 6:2=3, արդյունքում՝ 43: Թե ինչ պետք է աներ 1 մնացորդը, մնում էր անհասկանալի: Նրան առաջարկեցի 55-ը բաժանել 5-ի: Պատասխանը՝ 11: Իսկ եթե 65-ը բաժանենք 5-ի՞: Էլի՝ 11: Իսկ 75-ը՝ 5-ի՞: Նույնը։ Եվ 85-ը և 95-ը 5-ի բաժանելիս արդյունքում 11 էր ստացվում: Նա ինքն էլ անհանգստացավ, որ այստեղ ինչ-որ բան այնպես չէր, բայց ո՞րն էր խնդիրը: 9-ը 5-ի բաժանենք, կստանանք 1: 5:5=1։ Ընդամենը 11: Փակ շրջան էր:

Մենք բաժանումով զբաղվեցինք՝ փայտիկները բաժակների մեջ տեղադրելով: Նրան տվեցի 5 նարնջագույն (10) և երկու սպիտակ (1) փայտիկ և առաջարկեցի դրանք հավասարպես տեղավորել 4 բաժակում: Անմիջապես նարնջագույն փայտիկները գտան իրենց տեղը, մնացած 1 նարնջագույն փայտիկի փոխարեն 10 սպիտակ պահանջեց, դրանց ավելացրեց իր մոտ եած 2 սպիտակը և բարեհաջող տեղավորեց 4 բաժակներում: Ընդամենը՝ 13:

Ես նրան էլի մի քանի այդպիսի առաջադրանք տվեցի: Եվ ամեն անգամ նարնջագույն փայտիկները տեղավորելուց հետո մի քանիսը ավելանում էր, և նա ինձ խնդրում էր դրանք սպիտակներով փոխարինել: Եվ ամեն անգամ, նախքան նրան պահանջվող քանակի սպիտակ փայտիկներ տալը, ես հարցնում էի, թե յուրաքանչյուր բաժակում քանիսը կտեղավորի: Նրա պատասխանները ճիշտ էին լինում, եթե պետք էր լինւմ 2-ի բաժանել: Բայց եթե բաժանարարը 3 և ավելի էր, Թեդը անվստահ էր զգում հարցերիս պատասխանելիս, և ինքն իրեն այդպիսի հարց չէր տալիս: Նա միշտ խնդրում էր մնացորդը իրեն սպիտակներով (1) տալ և հետո դրանք ջանասիրաբար բաժանում էր:

Դե, ինչ, այդպես էլ պետք է լիներ: Երբ երեխաները այդ տեսակի կոնկրետ գործողություններ են կատարում, մտածված գործելով և ինքնուրույն արդյունքներ ստանալով, արդյունքներ, որոնք պետք է ամբողջովին վստահելի լինեն, անհրաժեշտ է նրանց թույլատրել օգտվելու ցանկացած ծավալուն հնարքից, մինչև վարժվեն դրանց, որպեսզի հետո արդյունքի հասնելու ավելի հասարակ ճանապարհ հուշենք: Հաճախ են ասում, որ վստահություն զգալու համար երեխաները պետք է նույն բանը կրկնեն, վարժվեն: Այս տեսակ դեպքերում, երբ երեխան ինքնուրույն է գործում, տիրապետում է նյութին և վստահ է, թե ինչ է անում, սա, հավանաբար, ճիշտ է: Բայց այդպիսի վարժությունների բաժինը դպրոցում աննշան է: Դպրոցում շաբլոնն է տիրապետում, և համարել, որ երեխայի աչքին անիմաստ թվացող վարժությունները բազմաթիվ կրկնություններից հետո հանկարծ իմաստ ձեռք կբերեն, նույնքան անիմաստ է, որքան հույս ունենալ, որ թութակը, բավականին երկար կրկնելով մարդկային խոսքը, կհասկանա: Թեդին՝ այդ շատ խելացի տղային, անվերջ վարժեցրել են՝ մե՛կ սովորեցնելով բազմապատկման աղյուսակը, մե՛կ բաժանման օպտիմալ եղանակները, բայց հիմա նա դրանք ավելի վատ է հասկանում, քան առաջին օրը, երբ դրանց մասին լսել է: Նա դրանք ոչ միայն չի հասկանում. դրանցից վախենում է: Բայց եթե այդ գործողությունները անի փայտիկներով կամ ուրիշ նյութերով բավականին շատ անգամ, որպեսզի կարողանա կանխագուշակել արդյունքը, որպեսզի իմանա նախքան վերջին սպիտակ փայտիկը դնելը, ապա այդ ժամանակ և միայն այդ ժամանակ կարող ենք նշաններ ներմուծել՝ վստահ լինելով, որ նա կհասկանա:

Սեյմուր Փեյփերթը իր «Մտքի գրոհը» (Բեյսիկ Բուքս, 1980) գրքում, որը նվիրված է համակարգիչների օգտագործմանը, դեռ այն ժամանակվա համակարգիչների, որոնք լրիվ տարբերվում էին այսօրվաններից, որպեսզի երեխաներին օգնեն գլուխ հանել իրենց մաթեմատիկական մտածողությունից, նշում է տարբերությունը «վարժությունների» և «փորձառության» միջև: Մարդը փորձ առնում է ինքն իր համար, ցանկության կամ ավելի լավ արդյունքների հասնելու անհրաժեշտության դեպքում: Վարժություններն անում են ուրիշների համար, որպեսզի նրանք ստուգեն՝ գիտեք դուք այն, ինչը, իրենց կարծիքով, պետք է իմանայիք. հնարավոր է, որ նման ձևով նրանք ձեզ ուղղակի ցանկանում են աշխատանքով զբաղեցնել:

Թեդը ինձ հետ փո՞րձ էր առնում, թե՞ վարժություններ էր կատարում: Վախենամ, հիմնականում վարժություն էր կատարում: Նա ինձ դուր էր գալիս, դա զգում էր և, իր հերթին, ինձ վերաբերում էր վստահությամբ, համակրանքով: Միանգամայն ակնհայտ էր, որ իմ դասարանում նրա համար հետաքրքիր էր ավելի, քան մեկ ուրիշ դասարանում, և նրա հաջողությունները նկատելի էին: Բայց ես երբեք չտեսա, որ նա ինքնուրույն փորձի այնպիսի մի բան անել, ինչ մենք միասին էինք անում: Հնարավոր է, որ հենց այդ պատճառով նրա ուղեղում ոչ մի բան չէր մնում, և ստիպված էինք նույն բանը անել օր օրի ետևից, շաբաթ շաբաթի ետևից:

Այն, ինչը ես անում էի նրա հետ, օգնելով նրա համար հեշտացնել հասկանալը, նման էր ծրագրի հրամաններով սովորեցնելուն: Քանի ես նրա մոտ էի և հարցեր էի տալիս, նա ժամանակի ընթացքում՝ փորձելու և սխալվելու մեթոդով, հասնում էր մեթոդի, թե ինչպես գտնի այն պատասխանները, որոնք ինձ կբավարարեին: Բայց այն տասնմեկերորդցու նման, որի մասին պատմել եմ, Թեդը հարցերը չէր հիշում: Եթե ես տեմպը պահում էի, նա կարող էր հետևել իմ դատողությունների շղթային, բայց երբեք չէր կարողանում շղթան ինքնուրույն կազմել: Ես ցանկանում էի նրա օգուտի համար նրան սովորեցնել, թե ինչպես այդ փայտիկները օգտագործել թվերի աշխարհում տարբեր գործողություններ կատարելու և դրանք ստուգելու համար: Բայց նա ոչ մի անգամ չօգտվեց նրանից, ինչը ես տվել էի նրա ձեռքը: Յուրաքանչյուրս մնաց իր ունեցածով:

Նրան բաժանել սովորեցնելու նախաձեռնությունը իմն էր: Նա չէր ցանկանում նման բան սովորել, նրան դա պետք չէր դպրոցի պատերից դուրս, ինչպես և ինձ: Նա ցանկանում էր ինձ հաճելի բան անել: Հավանաբար, ենթագիտակցորեն զգում էր, որ եթե գոնե մեկ անգամ ինձ հաճույք պատճառի նրանով, որ ցույց տա, որ կարողանում է բաժանում կատարել, էլ ոչ մեկը իրեն չի ձանձրացնի նման բաներով. ինչ-որ տեղ նա ճիշտ էր:

Թարգմանություն ռուսերենից
Թարգմանիչ՝ Գևորգ Հակոբյան
Լուսանկարը՝ Կարինե Մամիկոնյանի