Գիտնականը և գիտությունը

Սկիզբը

Գլուխ 2. Մաթեմատիկայի ապագան

Մաթեմատիկական գիտությունների հետագա զարգացումը կանխատեսելու լավագույն մեթոդը այդ գիտությունների պատմության և ժամանակակից վիճակի ուսումնասիրությունն է:

Բայց մի՞թե ուսումնասիրման այդպիսի մեթոդը մեզ՝ մաթեմատիկոսներիս համար որոշակի իմաստով մասնագիտական չէ:  Մենք սովոր ենք էքստրապոլյացիաների, այսինքն, երբ ապագան անցյալով և ներկայով գտնելու, և քանի որ այդ հնարքի արժեքը մեզ քաջ հայտնի է, չենք վախենում դրա միջոցով ստացվող արդյունքների վստահելիության հարցում ապակողմնորոշվելուց:   

Ժամանակին դժբախտություն գուշակողների պակաս չկար: Նրանք հաճույքով կրկնում էին, որ լուծում ունեցող բոլոր խնդիրներն արդեն լուծված են, և որ ապագա սերունդները պետք է բավարարվեն միայն նախկինում չնկատված ինչ-որ մանրուքներով: Բարեբախտաբար, անցյալի օրինակը մեզ հանգստացնում է: Արդեն մեկ անգամ չէ, որ մաթեմատիկոսները համարել են, որ բոլոր խնդիրներն արդեն լուծված են, կամ, համենայնդեպս, իրենք ճշտել են այն խնդիրների ցանկը, որոնք լուծում ունեն: Բայց դրանից հետո «լուծում» հասկացության իմաստն ընդարձակվել է, չլուծվող խնդիրները դարձել են ավելի հետաքրքիր, նոր խնդիրներ են առաջացել, որոնց մասին առաջ ոչ ոք չէր մտածել: Հույների համար լավ լուծում էր համարվում այն, որն իրականացվում էր քանոնով և կարկինի օգնությամբ. հետո սկսեցին լավ համարվել այն լուծումները, որոնք ստացվում էին արմատ հանելու միջոցով, ի վերջո, սահմանափակվեցին բացառապես հանրահաշվական կամ լոգարիթմական ֆունկցիաներ կիրառելու պահանջով:  Այսպիսիով, հոռետեսների կանխատեսումները երբեք չիրականացան, նրանք ստիպված էին զիջում զիջումի ետևից անել, այնպես որ հիմա, կարծում եմ՝ նրանք արդեն չկան:

Եթե նրանք արդեն չկան, ապա չեմ պատրաստվում նրանց դեմ պայքարելու: Բոլորս վստահ ենք, որ մաթեմատիկայի զարգացումը շարունակվելու է. ուղղակի կարևոր է, թե որ ուղղությամբ: Ինձ կարող են պատասխանել` «բոլոր ուղղություններով», և դա մասամբ ճիշտ կլինի. բայց եթե դա լիովին ճիշտ լիներ, դա մեզ կվախեցներ: Արագ աճելով՝ մեր հարստությունը շուտով կդառնար ահռելի մի բան, որի առաջ ավելի լավ վիճակում չէինք լինի, քան նախկինում՝ մեզ անհայտ ճշմարտության առաջ:

Պատմաբանը և նույնիսկ ֆիզիկոսը ստիպված են լինում փաստեր ընտրել. գիտնականի ուղեղը՝ տիեզերքի այդ փոքրիկ անկյունը, երբեք չի կարող ամբարել աշխարհն ամբողջությամբ, այդ պատճառով էլ անթիվ փաստերից, որոնցով մեզ հեղեղում է բնությունը, անխուսափելիորեն կլինեն այնպիսիք, որ մի կողմ կթողնենք, և այնպիսիք, որ կպահպանենք:  Նույն բանը հատկապես կա մաթեմատիկայում. մաթեմատիկոսն ի վիճակի չէ ընկալելու այն բոլոր փաստերը, որոնք չկարգավորված ձևով մատուցվում են նրա մտքին, մանավանդ որ այստեղ նա ինքն է, ցանկանում եմ ասել՝ նրա քմահաճույքն է դրանք ստեղծում: Չէ՞ որ նա ինքն է առանձին մասերից նոր համադրումներ ստեղծում՝ իրար մոտեցնելով դրանց տարրերը. բնությունը միայն եզակի դեպքերում է պատրաստի համադրումներ մատուցում:

Իհարկե, պատահում են նաև այնպիսի դեպքեր, երբ մաթեմատիկոսն զբաղվում է այս կամ այն խնդրով, որպեսզի բավարարի ֆիզիկոսի որոշակի պահանջներ, պատահում է, որ ֆիզիկոսը կամ ճարտարագետը իրենք են մաթեմատիկոսին առաջարկում հաշվել որևէ թիվ, որը նրանց պետք է կիրառելու համար: Սրանից հետևո՞ւմ է, որ մենք բոլորս՝ մաթեմատիկոսներս, պետք է սահմանափակվենք այդպիսի պահանջների ակնկալիքով և ազատորեն մեր հաճույքը ձևավորելու  փոխարեն, այլ հոգս չունենանք, քան մեր հաճախորդների ճաշակին հարմարվելն է:  Պարտավո՞ր են մաթեմատիկոսները բնախույզներին օգնության հասնելու միակ նպատակն ունենալ միայն և վերջիններից հրահանգների սպասել: Մի՞թե կարելի է այդպիսի տեսակետն արդարացնել: Եթե մենք չզարգացնեինք ճշգրիտ գիտությունները հենց իրենց համար, ապա հետազոտության համար մաթեմատիկական գործիքներ չէինք ստեղծի, և այն օրը, իսկ եթե ֆիզիկոսից պահանջ-հրաման ստանայինք, անզեն կմնայինք:

Չէ՞ որ ֆիզիկոսներն այս կամ այն երևույթի ուսումնասիրությունն սկսում են ոչ այն պատճառով, որ նյութական կյանքի անհետաձգելի որևէ պահանջ այդ ուսումնասիրությունն անհրաժեշտ է դարձրել. և նրանք ճիշտ են: Եթե XVIII դարի ֆիզիկոսները դադարեցնեին էլեկտրականությամբ զբաղվելն այն պատճառով, որ նրանց համար այն միայն որևէ կիրառական հետաքրքրությունից զուրկ առեղծ էր, ապա XX դարում չէինք ունենա ոչ հեռագիր, որ էլեկտրաքիմիա, ոչ էլեկտրատեխնիկա: Հարկադրված ընտրություն կատարելու` ֆիզիկոսները, այսպիսով, միայն օգտակարության սկզբունքով չեն առաջնորդվում: Իսկ ինչպե՞ս են նրանք վարվում բնության փաստերից ընտրություն կատարելիս: Այդ հարցին պատասխանելը դժվար չէ. նրանց հետաքրքրում են այն փաստերը, որոնք կարող են հանգեցնել նոր օրենքի բացահայտման, այլ կերպ ասած` այն փաստերը, որոնք նման են բազում այլ փաստերի, փաստեր, որոնք մեզ մեկուսացված չեն թվում, այլ ամուր կապված են այլ փաստերի հետ: Առանձին փաստը բոլորի աչքին զարնում է՝ և´ թերուսի, և´ գիտնականի: Բայց միայն ֆիզիկոսը կարող է նկատել այն կապը, որը միավորում է իրար հետ տարբեր փաստեր՝ խորը, թաքնված անալոգիայով:  Նյուտոնի խնձորի մասին անեկդոտը հայտնի է, չնայած, հավանաբար, իրականությանը չի էլ համապատասխանում. այդ պատճառով այդ մասին խոսենք, որպես իրական փաստի: Բայց, պետք է ենթադրել, որ Նյուտոնից առաջ էլ շատ մարդիկ են տեսել, թե ինչպես է խնձոր ընկնում. չնայած նրանցից ոչ մեկը չի կարողացել այստեղից հետևություն անել: Փաստերն անպտուղ կմնային, եթե չլինեին այն ուղեղները, որ ունակ են դրանց մեջ ընտրություն կատարելու, տարբերելու նրանք, որոնց տակ ինչ-որ բան կա թաքնված, և ճանաչելու այդ ինչ-որ բանը, ուղեղներ, որոնք փաստի կոշտ ծածկույթի տակ զգում են, այսպես ասած, նրա հոգին:

Ճիշտ նույնն էլ անում ենք մաթեմատիկայում: Մեր ունեցած տարբեր տարրերից կարող ենք միլիոնավոր տարբեր համադրումներ ստեղծել. բայց այդպիսի համադրումներից որևէ մեկն ինքնին բացարձակապես նշանակություն չունի. կարող է մեզանից շատ ջանք պահանջվել այն ստեղծելու համար, բայց այն ոչինչի չծառայի, թերևս կարող է առաջարկվել որպես դպրոցական վարժություն: Ուրիշ բան է, երբ այդ համադրումն իր տեղը գրավի նմանատիպ համադրությունների շարքում, և երբ նկատենք այդ նմանատիպությունը, արդեն ոչ թե փաստ, այլ օրենք կունենանք: Եվ այդ օրն իսկական ստեղծող-հայտնագործողը կլինի ոչ թե այն շարքային աշխատողը, որ ջանասիրաբար կառուցել էր այդ համադրումներից մի քանիսը, այլ նա, ով հայտնաբերել էր դրանց միջև կապը: Առաջինը միայն մերկ փաստն էր տեսել, և միայն երկրորդն էր ճանաչել փաստի հոգին: Հաճախ այդպիսի նմանության հայտնաբերման համար բավարար է լինում մեկ նոր բառի հայտնաբերումը, և այդ բառը դառնում է ստեղծող. գիտության պատմությունը բազում այդպիսի օրինակներ կարող է տրամադրել:

Վիենացի հայտնի փիլիսոփա Մախն ասել է, որ գիտության դերը մտքի խնայողության ստեղծումն է, ինչպես մեքենան ուժի խնայողություն է ստեղծում: Եվ դա միանգամայն արդարացի է: Վայրենին իր մատների միջոցով է հաշվում կամ քարեր հավաքելով: Երեխաներին բազմապատկման աղյուսակը սովորեցնելով` նրանց ազատում ենք հետագայում բազմաթիվ անգամներ քարերի հետ գործ ունենալուց: Ինչ-որ մեկը ինչ-որ կերպ, քարերի միջոցով կամ այլ,  իմացել է, որ 6 անգամ 7` 42 է անում. նա այդ արդյունքը նշելու մտահաացում է ունեցել. և ահա նրա շնորհիվ հաշիվն ամեն անգամ սկզբից սկսելու կարիք չունենք: Այդ մարդն իզուր չի ծախսել իր ժամանակը նույնիսկ այն դեպքում, եթե հաշվել է միայն իր հետաքրքրության համար. նրա գործողությունները խլել են երկու րոպե, բայց պետք կլիներ ամբողջ երկու միլիարդ րոպե, եթե միլիարդ մարդ ստիպված լիներ կրկնելու այդ գործողությունները:

Այսպիսիով, որևէ փաստի կարևորությունը չափվում է նրա արտադրողականությամբ, այսինքն` մտքերի այն քանակով, որը նա թույլ է տալիս խնայել:

Ֆիզիկայում մեծ արտադրողականության փաստերը նրանք են, որ շատ ընդհանուր օրենքում են ընդգրկվում, քանի որ դրա շնորհիվ նրանք թույլ են տալիս կանխատեսել շատ մեծ քանակությամբ այլ փաստեր. նույնն է նաև մաթեմատիկայում: Ես զբաղվել եմ բարդ հաշվարկներով և, վերջապես, մեծ աշխատանքից հետո հասել եմ որոշակի արդյունքի. իմ աշխատանքի համար պարգևատրված չէի լինի, եթե ստացված արդյունքի շնորհիվ ի վիճակի չլինեի կանխատեսել ուրիշ այդպիսի հաշվարկների արդյունքները և հստակորեն դրանք առաջ տանել`խուսափելով այն շոշափումով թափառումներից, որոնց ինձ ենթարկում էի առաջին անգամ: Եվ հակառակը, ժամանակս զուր ծախսված չէր լինի, եթե այդ թափառումներն ինձ հանգեցնեին խորը ուսումնասիրվող խնդրի և ավելի ընդհանուր դասի այլ խնդիրների միջև անալոգիայի հայտնագործման, եթե այդ թափառումների շնորհիվ տեսնեի միաժամանակ և´ նմանությունները, և´ տարբերությունները, մի խոսքով եթե նրանք ինձ ընդհանրացում կատարելու հնարավորություն տային։ Այդ դեպքում ոչ թե նոր փաստ, այլ նոր ուժ ձեռք բերած կլինեի: Մյուսներից շուտ միտքը եկող պարզ օրինակ է հանրահաշվական բանաձևը, որը հնարավորություն է տալիս լուծելու որոշակի տեսակի բոլոր թվային խնդիրները, միայն բավական է տառերը փոխարինել թվերով: Այդպիսի բանաձևի շնորհիվ մեկ անգամ կատարված հանրահաշվական հաշվարկները մեզ ազատում են անվերջ անգամ նորից ու նորից թվային հաշվարկներ կատարելու անհրաժեշտությունից: Բայց սա շատ կոպիտ օրինակ է. բոլորին հայտնի է, որ գոյություն ունեն այնպիսի անալոգիաներ, որոնք հնարավոր չէ արտահայտել որևէ բանաձևով, սակայն հենց դրանք են ամենաարժեքավորները:

Նոր արդյունքը գնահատում ենք այն դեպքում, եթե վաղուց հայտնի, բայց մինչ այդ ցրված և իրար օտար թվացող տարրերը միացնելով` այն անսպասելիորեն կարգ է ներմուծում այնտեղ, որտեղ մինչ այդ ըստ էության քաոսն էր իշխում: Այդպիսի արդյունքը մեզ հնարավորություն է տալիս միաժամանկ տեսնելու այդ տարրերից յուրաքանչյուրը և նրա զբաղեցրած տեղը ամբողջ համակարգում: Այս նոր փաստը ոչ միայն ինքնին է արժեքավոր, այլև միայն նա է նոր կարևորություն տալիս այն հին փաստերին, որոնք նրա հետ մեկ ամբողջության մեջ են միավորվում: Մեր միտքը նույնքան խեղճ է, որքան և մեր զգայարանները. նա կկորչեր աշխարհի բարդության մեջ, եթե այդ բարդությունն իր ներդաշնակությունը չունենար. կարճատես մարդու նման նա միայն մասերը կտեսներ և պետք է որ մոռանար դրանցից յուրաքանչյուրը, նախքան հաջորդի ուսումնասիրմանն անցնելը, քանի որ բոլոր մասնավորների ամբողջությունը միանգամից չէր կարող ընդգրկել: Միայն այն փաստերն են մեր ուշադրությանն արժանի, որոնք այդ քաոսում կարգ են մտցնում և, այդպիսով, այն դարձնում են մեր ընկալմանը հասանելի: Մաթեմատիկոսներն իրենց մեթոդների և արդյունքների գեղեցկությունը շատ են կարևորում, և դա ուղղակի դիլետանտիզմ չէ:  Իրականում, ինչ-որ լուծման կամ ապացուցման ի՞նչն է մեր մեջ գեղեցկության զգացողություն առաջացնում: Տարբեր մասերի ներդաշնակությունը, դրանց համաչափությունը, դրանց պատահական հավասարակշռությունը, մի խոսքով` այն ամենը, ինչն այդտեղ կարգ է մտցնում, այն ամենը, ինչն այդ բոլոր մասերին միասնականություն է հաղորդում, ինչը մեզ հնարավորություն է տալիս պարզորոշ տարբերելու ու հասկանալու ամբողջը՝ մասերի հետ միաժամանակ: Բայց հենց այդ հատկություններն են լուծմանը մեծ արդյունավետություն հաղորդում. իսկապես, ինչքան հստակ տեսնենք այդ համակարգն ամբողջությամբ, ինչքան լավ կարողանանք հետազոտել մի հայացքով, այնքան լավ կկարողանանք տարբերել նրա նմանությունն ուրիշ, հարակից օբյեկտներին, այնքան կարող ենք հնարավոր ընդհանրացումների արագ բացահայտման հույս ունենալ: Գեղեցկության տպավորությունը կարող է առաջանալ այնպիսի առարկաների մերձեցման անսպասելիությունից, որոնք սովոր չէինք մոտեցնել իրար, և այդ դեպքում գեղեցկությունն արդյունավետ է, քանի որ նրա շնորհիվ բացահայտվում են նմանության հարաբերություններ, որը մինչև այդ չէինք նկատել. այն արգասաբեր է նաև այն դեպքում, եթե պայմանավորված է խնդրի բարդության և միջոցների պարզության միջև եղած միակ հակադրությամբ. դա մեզ ստիպում է մտածել հակադրության պատճառի մասին և շատ հաճախ, թույլ է տալիս տեսնել, որ այդ պատճառը պատահական չէ, այլ թաքնված է այս կամ այն օրենքում, որն առաջ չէինք էլ կասկածում: Մի խոսքով, մաթեմատիկայում գեղեցիկի զգացողությունը բավարավածության զգացողությունն է` չեմ ասի, թե հատկապես ինչպիսի, բայց հենց նոր գտած լուծման և մեր մտքի կարիքների փոխադարձ հարմարվողությամբ պայմանավորված. հենց այդպիսի հարմարվողության շնորհիվ գտնված լուծումը կարող է մեզ համար գործիք լինել: Հետևաբար այդպիսի գեղագիտական բավարարվածությունը կապված է մտածողության խնայողության հետ:  Սրա նման, Էրեխտիոնի կարիատիդները մեզ գեղեցիկ են թվում այն պատճառով, որ նրանք հեշտությամբ և, այսպես ասած, զվարթորեն պահում են հսկայական ծանրությունը և ուժի խնայողության զգացողություն առաջացնում:

Այդ պատճառով էլ, երբ երկար հաշվարկների օգնությամբ հանգում ենք իր պարզությամբ զարմանալի մի արդյունքի, մեզ այնքան ժամանակ բավարարված չենք զգում, քանի դեռ ցույց չենք տվել, որ եթե ոչ ամբողջ արդյունքը, գոնե ամենաբնորոշ գծերը կարող էինք կանխատեսել: Սա ինչո՞վ բացատրենք: Ի՞նչն է խանգարում, որ բավարարվենք հաշվարկներով, եթե դա է ըստ երևույթին մեզ տալիս` ինչ ցանկանում էինք իմանալ:  Դա բացատրվում է նրանով, որ նմանատիպ նոր իրավիճակում նախկին երկար հաշվարկները մեզ չէին կարողանա օգնել. այլ է մասամբ ենթագիտակցական դատողությունը, ինչը արդյունքը նախօրոք կանխատեսելու հնարավորություն կտար: Այդպիսի դատողության ոչ բարդ լինելը թույլ է տալիս մի հայացքով բոլոր մասերն ընդգրկել, ինչի շնորհիվ անմիջապես երևում է, թե ինչը պետք է փոխել, որպեսզի այն հարմար լինի բոլոր հնարավոր նմանատիպ խնդիրների համար: Բացի դրանից, թույլատրելով կանխատեսել, թե որքան հեշտ կլինի այդ խնդրի լուծումը, այդպիսի դատողությունը, գոնե, ցույց է տալիս, որ արժե այդօրինակ հաշվարկներ սկսելը:

Հենց նոր ասվածը բավական է, որպեսզի ցույց տա, թե որքան ապարդյուն կլիներ մաթեմատիկոսի ազատ նախաձեռնությունն ինչ-որ մեխանիկական հնարքով սահմանափակելու փորձը:  

Իրապես արժեքավոր արդյունք ստանալու համար բավարար չէ մեծածավալ հաշվարկներ կատարել կամ մեքենա ունենալ, որն ամեն ինչ կարգի կբերի. նշանակություն ունի ոչ թե կարգավորվածությունն ընդհանրապես, այլ անսպասելի կարգավորվածությունը: Մեքենան ինչքան ասեք կարող է հում փաստացի նյութ հավաքել, բայց նրանից միշտ կպլստա այն, ինչը փաստի հոգի անվանեցինք:

Սկսած անցած հարյուրամյակի կեսերից, մաթեմատիկոսներն ավելի ու ավելի շատ են ձգտում հասնել բացարձակ խստության, և նրանք այդտեղ լրիվ իրավացի են: Այդ ձգտումը ավելի ու ավելի վառ  է երևում: Մաթեմատիկայում խստությունը դեռ ամբողջը չէ, բայց որտեղ այն չկա, ուրեմն ոչինչ չկա. ոչ խիստ ապացույցը ոչինչ է: Կարծում եմ` սրա դեմ ոչ ոք չի վիճի: Բայց եթե այս ճշմարտությունը տառացիորեն մեկնաբանենք, ապա կպարզվի, որ, օրինակ, մինչև 1820թ. մաթեմատիկա ընդհանրապես չի եղել. այս պնդումն, անշուշտ, չափազանցված է. այն ժամանակվա մաթեմատիկոսները կամովին ենթադրում էին այն, ինչը մենք շարադրում ենք ծավալուն դատողություններում: Սա չի նշանակում, որ նրանք ընդհանրապես չէին նկատում դա, բայց նրանք շտապով էին անցնում կողքով. իսկ որպեսզի խնդիրն ուսումնասիրես, պիտի գոնե ձևակերպելու նեղություն քաշես:

Բայց այս ճշգրտության վրա ամեն անգամ կանգ առնելու անհրաժեշտությունը կա՞: Նրանք, ովքեր խիստ ճշգրտության պահանջն առաջին պլան բերեցին, տվեցին դատողությունների օրինակներ, որոնց պետք է հետևենք. բայց եթե հետագա ապացույցները կառուցենք այս օրինակներով, ապա մաթեմատիկական աշխատությունները չափազանց երկար կլինեն։ Եթե չափից երկար դատողություններից վախենում եմ, ապա ոչ միայն մեր գրադարանների գերբեռնվածության, այլ հիմնականում այն պատճառով, որ անընդհատ երկարելով` մեր ապացույցները կկորցնեն այն արտաքին տեսանելի ներդաշնակությունը, որի օգտակարության մասին հենց նոր խոսեցի:

Պետք է նկատի ունենալ մտքի խնայողությունը. միայն կրկնօրինակման նմուշներ տալը բավարար չէ: Պետք է, որ մեզանից հետո կարողանան առանց այդ նմուշների ինչ-որ բան անել, և արդեն մեկ անգամ արված դատողությունը կրկնելու փոխարեն կարողանան այն ամփոփել մի քանի տողով: Այս ուղղությամբ արդեն որոշակի հաջողություններ կան: Օրինակ, իրար նման դատողությունների որոշակի տեսակ կար. դրանք ամեն տեղ հանդիպում էին. դրանք բացարձակ խիստ էին, բայց դրանց արատը ձգվածությունն էր։ Եվ ահա մի գեղեցիկ օր հորինեցին նոր տերմին «հավասարաչափ զուգամիտություն», և արդեն այս միակ արտահայտությունն անօգուտ դարձրեց բոլոր նախկին դատողությունները. արդեն հարկ չկար դրանք կրկնելու, քանի որ դրանք ենթադրվում էին այդ տերմինով:  Դժվարությունների այդպիսի վճռական և արագ հաղթահարման հնարների ստեղծողները մեզ կարող են երկու տեսակի ծառայություն մատուցել. նախ՝ սովորում ենք նման իրավիճակներում նրանց նման վարվել, և երկրորդը, սա ավելի կարևոր է, նրանց օրինակը և արդյունքները մեզ հնարավորություն են տալիս, և շատ հաճախ, չանել այն, ինչը նրանք արդեն արել են՝ առանց խստության հարցում որևէ բան զոհաբերելու:

Հենց նոր հանդիպեցինք օրինակի, թե մաթեմատիկայում ինչ նշանակություն ունեն բառերն ու արտահայտությունները. կարող եմ էլի շատ օրինակներ բերել: Դժվար է հավատալ, թե մտքի ինչպիսի խնայողություն կարող է անել, ինչպես Մախն է արտհայտվում, լավ ընտրված մեկ բառը: Կարծեմ, արդեն մի անգամ արտահայտել եմ այն միտքը, որ մաթեմատիկան տարբեր բաներին նույն անունը տալու արվեստ է: Ավելի մանրամասն բացատրեմ: Պետք է որ բովանդակությամբ տարբեր այդ առարկաները ձևով նման լինեն, պետք է որ դրանք, այսպես ասած, կարողանան տեղավորվել ձուլման միևնույն կաղապարում: Երբ անվանումները լավ են ընտրված, հանկարծ զարմանալիորեն նկատում ես, որ որևէ առարկայի համար արված բոլոր ապացույցներն անմիջականորեն կարող են կիրառվել մի շարք այլ առարկաների նկատմամբ, ընդ որում նրանցում որևէ բան, նույնիսկ առանձին բառեր, փոխելու հարկ չի լինում, քանի որ անվանումները նույնն են մնացել:

Շատ հաճախ հաջող ընտրված մեկ բառ բավարար է լինում, որպեսզի վերացվեն այն բացառությունները, որոնք պարունակվում էին հին լեզվով արտահայտված կանոններում: Հենց այս նպատակով են հորինվել բացասական և կեղծ մեծությունները, անսահմանությունում կետերը և այլն: Իսկ բացառությունները վնասակար են, քանի որ դրանք փոխարինում են օրենքներին:

Այսպիսով, մեծ արտադրողանություն ունեցող փաստերն առանձնացնող բնորոշ հատկանիշներից մեկն այն հատկությունն է, որ դրանք թույլատրում են երջանիկ նորամուծություններ լեզվում: Միայն մերկ փաստը հաճախ զուրկ է հատուկ նշանակությունից, այն կարելի է շատ անգամ նկատել առանց գիտությանը որևէ զգալի ծառայություն մատուցելու. նա նշանակությունկստանա այն օրվանից, երբ ավելի խորաթափանց մտածողը կնկատի նմանությունը, որը նա բացահայտում և խորհրդանշաբար նշանակում է այս կամ այն տերմինով:

Բացարձակ նմանատիպ հնարքի ենք հանդիպում նաև ֆիզիկոսների մոտ: Օրինակ, նրանք հնարեցին էներգիա բառը, և այդ բառը զարմանալիորեն արգասաբեր դարձավ:  Արտաքսելով բացառությունները, այն նույնպես օրենք ստեղծեց. նաև բովանդակությամբ տարբեր, բայց ձևով նման իրերին նույն անունը տվեց:

Ավելի շատ բարեբախտ ազդեցություն ունեցած բառերից կառանձնացնեմ «խումբ» և «ինվարիանտ» բառերը: Այս բառերը մեզ շատ մաթեմատիկական դատողությունների էությունը թափանցելու հնարավորություն տվեցին:  Դրանք մեզ ցույց տվեցին, թե ինչպես են հնում մաթեմատիկոսները հաճախ դիտարկել խմբեր՝ առանց այդ իմանալու, ինչպես են նրանք, համարելով իրարից անդունդով բաժանված, հանկարծ զուգամիտվել են մի տեղում՝ չհասկանալով, թե ինչպես պատահեց: Հիմա մենք կասեինք, որ նրանք դիտարկել են այսպես կոչված «իզոմորֆ խմբեր»: Հիմա գիտենք, որ խմբում մեզ քիչ է հետաքրքրում բովանդակությունը, նյութը, որ միայն ձևը նշանակություն ունի, և եթե որևէ խումբ լավ ուսումնասիրված է, դրանով հայտնի են դառնում նրա հետ իզոմորֆ բոլոր խմբերը: Շնորհիվ «խումբ», «իզոմորֆիզմ» բառերի, որոնք միավորում են մի քանի արտահայտություններում այդ դժվարընկալելի օրենքը, և այն միանգամից բոլորի համար դարձնում են ծանոթ, անցումը մի խմբից իրեն իզոմորֆ մեկ այլ խմբի դառնում է շատ անմիջական և կատարվում է մտավոր աշխատանքի մեծ խնայողությամբ: Մյուս կողմից, խմբի գաղափարը սերտորեն կապվում է ձևափոխության գաղափարի հետ: Իսկ ինչո՞ւ են այդքան մեծ նշանակություն տալիս նոր ձևափոխության բացահայտմանը: Որովհետև այդ ձևափոխությունը մի թեորեմից տասնյակ նոր թեորեմներ ստանալու հնարավորություն է տալիս. այն նույն նշանակությունը ունի, ինչը թվին աջից կցագրած զրոն:

Ահա թե ինչով էր պայմանավորված այն ուղղությունը, որով մաթեմատիկան զարգանում էր, անկասկած, դրանով էլ այն կորոշվի ապագայում:  Բայց նույնքան նշանակություն ունեն այն խնդիրների բնույթը, որոնք լուծում են պահանջում:  Չպետք է մոռանանք, թե ինչն է լինելու մեր նպատակը. այն ինձ երկակի է թվում: Ի վերջո մեր գիտությունը միաժամանակ սահմանակից է ֆիզիկային և փիլիսոփայությանը. մեր այդ երկու հարևանների համար էլ մենք աշխատում ենք: Սրան համապատասխան միշտ տեսել ենք և կտեսնենք, որ մաթեմատիկոսները շարժվում են երկու հակադիր ուղղություններով:

Մի կողմից՝ մաթեմատիկան ստիպված է մտածել ինքն իր մասին, իսկ դա օգտակար է, քանի որ մտածելով իր մասին, այն մտորում է մարդկային մտքի մասին, որը իրեն ստեղծել է, մանավանդ, որ իր բոլոր ստեղծագործություններից նա մաթեմատիկան ստեղծել է արտաքինից ամենաքիչ փոխառություններով: Ահա թե ինչով են օգտակար որոշ մաթեմատիկական հետազոտություններ, ինչպիսին են, օրինակ, պոստուլատների, երևակայական երկրաչափությունների, տարօրինակ ընթացքով ֆունցիաների մասին հետազոտությունները: Ինչքան այդ մտորումները շատ են շեղվում ընդունված պատկերացումներից, հետևաբար, և բնությունից ու կիրառական խնդիրներից, այնքան ավելի պարզորոշ են ցույց տալիս, թե ինչի է ընդունակ մադկային միտքը, երբ այն աստիճանաբար ազատագրվում է արտաքին աշխարհի բռնակալությունից, այնքան ավելի լավ ենք ճանաչում միտքը՝ իր ներքին էությամբ:

Բայց ամեն դեպքում մեր բանակի գլխավոր ուժերը ստիպված ենք ուղղել հակառակ ուղղությամբ՝ բնությունը ուսումնասիրելու ուղղությամբ:

Այստեղ հանդիպում ենք ֆիզիկոսի կամ ճարտարագետի, ովքեր ասում են. «Բարի եղեք ինտեգրել այսպիսի դիֆերենցիալ հավասարում. մեկ շաբաթից դա ինձ պետք է այսինչ շինության համար, որը պետք ավարտեմ այսինչ ժամկետում»: «Բայց այս հավասարումը,- պատասխանում ենք մենք,- ինտեգրվող հավասարումների որևէ տեսակի չի պատկանում. վերջինները, ինչպես ձեզ հայտնի է, այդքան էլ շատ չեն»: «Այո, դա ինձ հայտնի է, բայց այդ դեպքում էլ ի՞նչ օգուտ ձեզանից»: Շատ դեպքերում բավական է լինում իրար հասկանալը. իսկապես, ճարտարագետը վերջավոր տեսքի ինտեգրալի կարիքը չունի, նրան բավական է իմանալ ինտեգրալ ֆունկցիայի ընդհանուր ընթացքը կամ նրան ուղղակի պետք է որոշակի թվային արժեք, որը առանց դժվարության կարելի էր գտնել, եթե հավասարման ինտեգրալը հայտնի լիներ: Սովորաբար, չնայած վերջինը անհայտ է, բայց հնարավոր է լինում առանց դա իմանալու հաշվել անհրաժեշտ թվային արժեքը, եթե միայն ճշգրիտ հայտնի է, թե ճարտարագետին հատկապես ինչ արժեք և ինչ ճշգրտությամբ է պետք:

Հնում հավասարումը համարվում էր լուծված միայն այն դեպքում, եթե լուծումը արտահայտվում էր վերջավոր թվով հայտնի ֆունկցիաների միջոցով, բայց դա, հազիվ թե հնարավոր լինի հարյուրից մեկ դեպքում: Սակայն կարող ենք կամ, ավելի ճիշտ, պետք է ձգտենք խնդիրը լուծել, այսպես ասած, որակապես, այսինքն` պետք է ձգտենք իմանալ անհայտ ֆունկցիան պատկերող կորի ընդհանուր տեսքը:

Հետո մնում է գտնել խնդրի քանակական լուծումը. եթե անհայտը չի կարելի որոշել վերջավոր հաշվարկներով, ապա այն միշտ կարելի է ներկայացնել զուգամիտող անվերջ շարքի տեսքով, ինչն էլ հաշվելու հնարավորություն կտա: Բայց կարելի՞ է դա իսկական լուծում համարել: Պատմում են, որ Նյուտոնը մի անգամ Լեյբնիցին ասպիսի ծածկագիր է ուղարկել. aaaaabbbeeeeii և այլն:  Հասկանալի է, որ Լեյբնիցը ոչինչ չի հասկացել: Բայց հիմա մեզ հայտնի է այդ ծածկագրի բանալին, և գիտենք, որ այդ ծածկագիրը մեր լեզվով թարգմանած, ասում է. «Ես կարողանում եմ ինտեգրել բոլոր դիֆերենցիալ հավասարումները»: Կարող է թվալ, թե կա´մ Նյուտոնի բախտը խիստ բերել է, կա´մ նա տարօրինակ կերպով սխալվել է:  Բայց իրականում նա ուղղակի ցանկացել է ասել, որ ինքը կարողանում է կառուցել (անորոշ գործակիցների մեթոդով) աստիճանային շարք, որը ձևականորեն բավարարում է տրված հավասարմանը:

Բայց այդպիսի լուծումը մեզ չէր բավարարի, և ահա, թե ինչու. նախ, այդպիսի շարքը շատ դանդաղ է զուգամիտում, երկրորդ՝ նրա անդամները մեկը մյուսին հետևում են առանց որևէ կանոնի: Հակառակը, Q շարքը, օրինակ, ավելի մեծ ակնկալիքի տեղ չի թողնում, քանի որ շատ արագ է զուգամիտում (սա կարևոր է կիրառող մարդու համար, ով ձգտում է իրեն պետքական թիվը շատ արագ ստանալ), նաև այն պատճառով, որ առաջին հայացքից կարող ենք տեսնել այդ շարքի անդամների կառուցման օրենքը (սա ծառայում է տեսաբանի ներքին գեղագիտական կարիքները բավարարելուն):

Բայց այդ դեպքում արդեն չկան լուծված ու չլուծված խնդիրներ. կան միայն շատ կամ քիչ լուծված խնդիրներ` կախված լուծում հանդիսացող շարքի զուգամիտելու արագությունից կամ այդ շարքերի անդամները կառուցել կարգավորող օրենքի ներդաշնակության աստիճանից: Երբեմն պատահում է, որ մի անկատար լուծում մեզ հասցնում է ուրիշ, ավելի կատարյալ լուծման: Երբեմն շարքը այնքան դանդաղ է զուգամիտում, որ հաշվարկները գործնականում անիրականանալի են, և, այդպիսով, հնարավոր է լինում միայն ապացուցել խնդրի հնարավորությունը: Բայց ճարտարագետը այդպիսի պատասխանը ծաղր կհամարի իր նկատմամբ, և ճիշտ կանի, քանի որ այդպիսի պատասխանն իրականում նրան չի կարող օգնել շինությունը ժամանակին կառուցելու հարցում: Ճարտարագետին չի հետաքրքրում, որ այդ լուծումը կարող է ծառայել XXII դարի ճարտարագետներին, բայց մաթեմատիկոսներս այլ կարծիքի ենք. երբեմն մենք ավելի լավ ենք զգում, որ մեզ հաջողվում է խնայել մեր թոռների մեկ օրը, քան որ խնայում ենք մեր ժամանակակիցների մեկ ժամը:

Երբեմն շոշափելով, այսպես ասած փորձնականորեն, հանգում ենք բավականին արագ զուգամիտող բանաձևի:  «Էլ ի՞նչ է ձեզ պետք»,- ասում է ճարտարագետը, բայց մենք, հակառակը, բավարարվածություն չենք զգում. մենք կցանկանայինք կանխատեսել այդ զուգամիտումը: Ինչո՞ւ: Որովհետև, եթե կարողանայինք դա մեկ անգամ կանխատեսել, ապա դա կկարողանայինք անել նաև ուրիշ անգամ:  Այս անգամ հաջողությամբ հարցը լուծեցինք. բայց մեզ համար դա մեծ նշանակություն չունի, եթե հույս չունենք ուրիշ անգամ էլ կրկնել հաջողությունը:

Գիտության զարգացմանը զուգընթաց ավելի դժվար է դառնում ընդգրկել ամբողջը. այդ ժամանակ ձգտում են բաժանել մասերի և բավարարվել այդպիսի մի մասով, մի խոսքով, մասնագիտանալ: Բայց եթե միշտ այդպես շարունակվի, ապա դա լուրջ խոչընդոտ կլինի գիտության զարգացման համար: Ինչպես արդեն ասել ենք, այդ առաջընթացն իրականանում է հատկապես գիտության տարբեր մասերի անսպասելի մերձեցման պատճառով: Իսկ մասնագիտացմանը չափից դուրս տրվելը, կնշանակի փակել սեփական ճանապարհը դեպի այդ մերձեցումները: Հուսանք, որ Հեյդելբերգյանի և Հռոմեականի նման կոնգրեսները, մեր միջև հաղորդակցություն ստեղծելով, յուրաքանչյուրիս առաջ կբացեն հարևանների գործունեության պատկերը, կստիպեն համեմատել նրանց գործունեությունը սեփականի հետ, մի քիչ դուրս գալ սեփական գյուղակից, և այդպիսով լավագույն միջոց կհանդիսանան իմ նշած վտանգի հանդեպ:

Բայց շատ երկար եմ կանգնում ընդհանուր գաղափարների վար. ժամանակն է մանրամասներին անցնելու:

Կատարենք մի քանի առարկաների ամփոփում, որոնց համախումբը կազմում է մաթեմատիկան: Տեսնենք, թե նրանցից յուրաքանչյուրն ինչ է արել, որոնք են նրա ձգտումները, և ինչ կարելի է նրանից սպասել: Եթե վերը շարադրված հայացքները համապատասխանում են իրականությանը, ապա պետք է տեսնենք, որ անցյալում բոլոր հաջողություններին հասել են այն դեպքերում, երբ երկու այդպիսի առարկաները մոտեցել են իրենց ձևի նմանության գաղափարով, առանց ուշադրություն դարձնելու նյութի տարբերությանը, երբ մեկը ձուլվում էր մյուսի նմանությամբ, ինչի շնորհիվ յուրաքանչյուրը կարող էր օգտագործել մյուսի հաջողությունները: Դրա հետ մեկտեղ այդպիսի մոտեցումներում պետք է կանխատեսենք նաև ապագայի առաջընթացը:

Թվաբանություն

Թվաբանության բնագավառում առաջընթացն ավելի դանդաղ էր, քան հանրահաշվի և անալիզի բնագավառներում, և հեշտ է հասկանալ, թե ինչու: Թվաբանները զրկված են թանկարժեք առաջնորդից, ինչպիսին անընդհատության զգացողությունն է. ամբողջ թվերից յուրաքանչյուրը մյուսներից առանձին է, այսպես ասած, սեփական անհատականությունն ունի, յուրաքանչյուրը յուրատեսակ բացառություն է, ահա, թե ինչու թվերի բնագավառում այդքան հազվադեպ են ընդհանուր թեորեմները, իսկ որոնք էլ որ գոյություն ունեն, ավելի խորն են թաքնված լինում և ավելի երկար են սպրդում հետազոտողի ուշադրությունից:

Եթե թվաբանությունը ետ է մնացել հանրահաշվից և անալիզից, ապա լավագույնը, ինչ կարող է նա անել, փորձելն է նմանվել այդ գիտություններին, որպեսզի օգտվի նրանց հաջողություններից: Այսպիսով, թվաբանը պետք է իր առաջնորդները դարձնի հանրահաշիվն ու անալոգիաները: Այդ անալոգիաները բազմաթիվ են, և եթե շատ դեպքերում դրանք բավական չափով ուսումնասիրոված չեն, որպեսզի հնարավոր լինի օգտագործելը, ամեն դեպքում դրանց գոյությունը վաղուց զգացվում էր. հենց երկու գիտությունների լեզուն է ցույց տալիս, որ այդ անալոգիաները նշմարված էին: Այսպես, խոսում են տրանսցենդենտ թվերի մասին, ընդ որում հաշիվ են տալիս, որ այդ թվերի հետագա դասակարգումը, որպես նախապատկեր, ունի տրանսցենդենտ ֆունկցիաների դասակարգումը, միևնույն ժամանակ դեռ չի երևում, թե ինչպես պետք է մի դասակարգումից անցնել մյուսին, բայց եթե այդ անցումը պարզ լիներ, այն արդեն արված կլիներ, և չէր մնա ապագայի գործ:

Որպես օրինակ, ամենից առաջ միտս է գալիս համեմատությունների տեսությունը, որտեղ բացարձակ զուգահեռներ ենք տեսնում հանրահաշվական հավասարումների տեսության հետ: Անկասկած է, որ այդ զուգահեռները դեռ կլրացվեն, օրինակ, հանրահաշվական կորերի տեսության և երկու փոփոխականով համեմատությունների տեսության միջև զուգահեռով: Իսկ երբ շատ փոփոխականներով համեմատությունների խնդիրը կլուծվի, դա կլինի անորոշ անալիզի շատ խնդիրների լուծմանը տանող առաջին քայլը:

Պարզ (սկզբնական) թվերի տեսությունն է թվաբանության բաժին, որը բացարձակ զուրկ է որևէ միասնությունից: Այստեղ միայն ասիմպտոտիկ օրենքներ են հայտնի, և այլ բան էլ չէր կարելի սպասել. բայց այդ օրենքները մեկուսացված են. դրանց միայն կարելի է մոտենալ տարբեր ճանապարհներով, որոնց միջև, ըստ երևույթին, ոչ մի հաղորդակցություն հնարավոր չէ: Ինձ թվում է` իհարկե, ոչ ամբողջությամբ պարզ, կանխատեսում եմ, թե որտեղից կարող է գալ ցանկալի միավորումը, անկասկած, ամեն ինչ բերվելու է տրանսցենդենտ ֆունկցիաների ընտանիքի ուսումնասիրմանը, այդ ֆունկցիաները հնարավորություն կտան դրանց հատուկ կետերի ուսումնասիրման միջոցով և Դարբուի [1] մեթոդով հաշվել շատ մեծ թվերի ասիմպտոտիկ ֆունկցիաները:

Հանրահաշիվ

Հանրահաշվական հավասարումների տեսությունը դեռ երկար կգրավի մաթեմատիկոսների ուշադրությունը. դրան կարելի մոտենալ տարբեր շատ կողմերից, ամենակարևորը, անկասկած, խմբերի տեսությունն է: Բայց մնում է նաև արմատները թվային եղանակով որոշելու և իրական արմատների քանակը հետազոտելու հարցը: Լագերը[2] ցույց է տվել, որ Շտուրմն[3] այս ուղղությամբ վերջին խոսքը դեռ չի ասել:

Քառասուն տարի առաջ թվում էր, թե հանրահաշվական ձևերի ինվարիանտների հետազոտությունը կուլ կտա ամբողջ հանրահաշիվը. հիմա այն համարյա աչքաթող է արված, չնայած, որ հարցը դեռ սպառված չէ. պետք է միայն այն ընդարձակել, չսահմափակվել, օրինակ, գծային ձևափոխությունների ինվարիանտներով, այլ ընդգրկել բոլոր նրանք, որոնք վերաբերում են որևէ խմբի:   Այսպիսով արդեն ստացված թեորեմները մեզ կհանգեցնեն ուրիշ, ավելի ընդհանուրների գաղափարին, որոնք կխմբավորվեն նրանց շուրջը, նման այն բանին, թե ինչպես է բյուրեղը լուծույթում աճում:

Պետք չէ մտածել, որ հանրահաշիվն ավարտվել է, քանի որ մեզ տվել է բոլոր հնարավոր զուգորդումները կազմելու կանոնները. դեռ մնում է այս կամ այն պայմանին բավարարող հետաքրքիր զուգորդումներ փնտրել: Այս եղանակով կարող է ձևավորվել նոր տեսակի անորոշ անալիզ, որտեղ անհայտները ոչ թվեր են, այլ բազմանդամներ: Սակայն այստեղ արդեն հանրահաշիվը օրինակ կվերցնի թվաբանությունից` ղեկավարվելով ամբողջ թվի կամ կամայական գործակիցներով ամբողջ բազմանդամի կամ ամբողջ գործակիցներով ամբողջ բազմանդամների միջև եղած անալոգիայով:

Երկրաչափություն

Ըստ երևույթին, երկրաչափությունը չի կարող պարունակել այնպիսի բան, որը արդեն եղած չլինի հանրահաշվում կամ անալիզում, քանի որ երկրաչափական փաստերը դրանք նույն հանրահաշվի կամ անալիզի փաստերն են, միայն այլ լեզվով արտահայտված: Այդ պատճառով էլ, թվում է, թե վերևում մեր կատարած ուսումնասիրությունից հետո հատուկ երկրաչափությանը վերաբերող ոչինչ չի մնում ասելու:  Բայց այդպես մտածելը կնշանակեր հաշվի չառնել լեզվի բուն գործունեությունը, երբ այն հաջող է ստեղծված, կնշանակեր չհասկանալ այն, ինչը իրերին ավելացնում է դրանց նշանակումը և, հետևաբար, դրանց խմբավորումը: 

Եվ ամենից առաջ երկրաչափական դատողությունները մեզ հասցնում են նոր խնդիրներ ձևակերպելու. իհարկե, դրանք, եթե ցանկանում եք, վերլուծական խնդիրներ են, բայց անալիզը երբեք մեզ այդ խնդիրներին չէր հասցնի:   Սակայն անալիզը դրանից օգուտ է քաղում, ինչպես նաև նրանից, որ ստիպված է լուծել ֆիզիկայի կարիքները բավարարող խնդիրներ:

Երկրաչափության մեծ առավելությունն այն է, որ այդտեղ զգացողությունները կարող են օգնել դատողությանը և օգնում են պետքական ճանապարհը գտնելուն, այնպես որ շատերը գերադասում են անալիզի խնդիրները ներկայացնել երկրաչափական տեսքով:    Դժբախտաբար, մեր զգայությունները չեն կարող մեզ շատ հեռուն տանել, նրանք արդեն լքում են մեզ, երբ ցանկանում ենք դուրս գալ դասական երեք չափողականությունից:   Սա նշանակո՞ւմ է, որ դուրս գալով այն շրջանից, որտեղ նրանք ձգտում են մեզ պահել, արդեն անալիզից բացի ուրիշ բանի վրա հույս ունենալու իրավունք չունենք, և որ երեքից ավելի չափողականություն ունեցող ցանկացած երկրաչափություն ապարդյուն և աննպատակ է:  Մեզ նախորդող սերնդի մեծագույն ուղեղները կպատասխանեին` այո». հիմա մենք այնպես ենք վարժվել այդ հասկացություններին, որ առանց զարմանալու դրանց մասին խոսում ենք նաև համալսարանական դասընթացներում:

Բայց դա մեր ինչի՞ն է պետք: Պատասխանն ակնհայտ է. այն ամենից առաջ մեզ արտահայտվելու հարմար լեզու է տալիս, որը շատ քիչ բառերով արտահայտում է այն, ինչ սովորական անալիզի լեզվով կպահանջեր երկար արտահայտություններ: Դեռ ավելին, այդ լեզուն մեզ հնարավորություն է տալիս միմյանց նման իրերը նույն անունով անվանելու և ամրացնում է անալոգիան` դարձնելով դրանք անմոռանալի: Այն մեզ օգնում է կողմնորոշվել այս տարածությունում, որը չափազանց մեծ է մեզ համար, որին չենք կարող մոտենալ այլ կերպ, քանի մեր առջև նրա մշտական պատկեր առաջացնելն է, չնայած որ վերջինը նրա շատ անկատար պատկերն է: Եվ այստեղ էլ, նախկին օրինակների նման, անալոգիան պարզի հետ բարդը հասկանալու հնարավորություն է տալիս:

Երեքից ավելի չափողականություն ունեցող տարածության երկրաչափությունը սովորական վերլուծական երկրաչափություն չէ. այն ոչ միայն քանակական բնույթ ունի, այլև որակական, և դրանով է հատկապես հետաքրքիր: Կա «Analysis situs» կոչվող բաժին, որի ուսումնասիրության առարկան պատկերի տարբեր մասերի դասավորությունների հարաբերությունն է՝ անկախ դրանց մեծությունից: Այդ երկրաչափությունը մաքուր որակական է. նրա թեորեմները ճիշտ կմնային, նույնիսկ եթե ճշգրիտ պատկերները փոխարինվեին երեխայի արած կոպիտ պատկերներով: Կարելի Analysis situs կառուցել նաև երեքից ավելի չափումների համար: Analysis situs-ի նշանակությունը հսկայական է, և, չեմ կարծում, որ նրա նշանակությունը չափազանցված լինի. դա բավարար չափով հաստատվում է այն օգուտով, որը նրանից քաղեց Ռիմանը[4]՝ այդ բաժնի հիմնական ստեղծողներից մեկը: Պետք է հասնել դրա ամբողջական կառուցմանը բարձր կարգի տարածությունների համար. այդ ժամանակ մեր ձեռքին այնպիսի գործիք կլինի, որը հիպերտարածությունում իսկապես տեսնելու և մեր զգայական ընկալումների շրջանակը լայնացնելու հնարավորություն կտա:

Հնարավոր է, որ Analysis situs-ի խնդիրները չդրվեին, եթե միայն անալիզի լեզվից օգտվեինք. չնայած, չէ, սխալվում եմ. դրանք անկասկած կդրվեին, քանի որ դրանց շատերի լուծումը անհրաժեշտ է անալիզի շարք հարցերի լուծման համար, բայց հավանաբար մեկուսացված, այնպես, որ հնարավոր չէր լինի տեսնել նրանց ընդհանուր կապը: Երկրաչափության վերջին հաջողություններին հատկապես նպաստեց ձևափոխությունների և խմբերի գաղափարի ներմուծումը: Այդ հասկացության շնորհիվ երկրաչափությունը դադարեց առանձին, քիչ թե շատ հետաքրքիր, բայց առանց իրար նմանություն ունեցող թեորեմների բնագավառ լինելուց, այն միասնականություն ձեռք բերեց:  Մյուս կողմից էլ, պատմությունը չպետք է մոռանա, որ հենց երկրաչափության պատճառով սկսեցին համակարգված հետազոտել անընդհատ ձևափոխությունները, այնպես, որ մաքուր երկրաչափները իրենց կողմից նպաստել են «խումբ» գաղափար զարգացմանը, գաղափար, որն այնքան օգտակար է մաթեմատիկայի մյուս բնագավառներում:

Կանտորիզմ

Վերևում խոսեցի մեր գիտության հիմնարար սկզբունքներին  մշտապես վերադառնալու անհրաժեշտության մասին և այն օգուտի, որը դրանից կարող է քաղել մարդկային հոգու մասին գիտությունը: Այս կարիքը երկու ձգտում ծնեց, որոնք լայն տեղ գրավեցին մաթեմատիկայի պատմության վերջին էջերում: Առաջինը կանտորականությունն է, որի ծառայությունը գիտությանը հայտնի է: Կանտորիզմի բնորոշ գծերից մեկն այն է, որ ավելի ու ավելի բարդ կառույցներ կազմելով` ընդհանուրին հանգելու և դրանց միջոցով սահմանումներ տալու փոխարեն նա ելնում է genus supremum (բարձրագույն կարգից) և տալիս է միայն per genus proximum et differentiam specificam (ցեղային նմանության և տեսակային տարբերության միջոցով)։  Սրանով է բացատրվում այն սարսափը, որը որոշ ժամանակ առաջ այն առաջացրել է տարբեր մարդկանց մոտ, օրինակ Էրմիտի, որի սիրած գաղափարը մաթեմատիկան բնական գիտությունների հետ համեմատելն է: Մեզանից շատերն արդեն այդ նախապաշարումներից ձերբազատվել են, բայց այնպես է ստացվել, որ հանդիպել ենք պարադոքսների, որոնք Զենոնի և մեգարյան դպրոցի ցնծությունը կառաջացնեին: Եվ բոլորը սկսել են հակաթույն փնտրել: Այն կարծիքին եմ, և ոչ միայն ես, որ պետք է դիտարկել միայն այն դեպքերը, որոնք կարելի է սահմանել վերջավոր թվով բառերի օգնությամբ: Բայց, որ հակաթույնն էլ գործուն ճանաչվի, կարող ենք ակնկալել այն բժշկի հաճույքը, ով հետաքրքիր պաթալոգիկ դեպք դիտարկելու հնարավորություն ունի:

Պոստուլատների փնտրտուք

Մյուս կողմից, տեսնում ենք այն շատ թե քիչ թաքնված աքսիոմները և պոստուլատները թվարկելու փորձերը, որոնք մաթեմատիկական տարբեր տեսությունների հիմք են ծառայում: Ամենափայլուն արդյունքները Հիլբերտն է ստացել: Առաջին հայացքից այդ բնագավառը բավականին սահմանափակ է թվում. կարծես, եթե թվարկումն ավարտվի, իսկ դա երկար չի սպասեցնի, այլևս անելիք չի լինելու: Բայց երբ ամենը թվարկված լինի, այդ դեպքում բազմաթիվ հնարքներ կգտնվեն՝ ամբողջ նյութը դասակարգելու համար. լավ գրադարանավարը միշտ իրեն զբաղմունք գտնում է, իսկ յուրաքանչյուր դասակարգում ուսանելի կլինի փիլիսոփայի համար:

Սրանով ավարտում եմ ակնարկս, որը չէի էլ մտածում, որ ամբողջական կլինի տարբեր պատճառներով, և ամենից առաջ այն պատճառով, որ առանց այն էլ չափից շատ չարաշահեցի ձեր ուշադրությունը: Կարծում եմ, որ ներկայացված օրինակները բավարար կլինեն, որպեսզի ցույց տայի, թե որն է մաթեմատիկական գիտությունների զարգացման մեխանիզմը անցյալում, և որ ուղղությամբ նրանք կշարժվեն ապագայում:

[1] Ժան Գաստոն Դարբու, ֆրանսիացի հայտնի մաթեմատիկոս, Պուանկարեի ժամանակակիցը:

[2] Էդմոն Նիկոլա Լագեր, ֆրանսիացի մաթեմատիկոս, դասավանդել է Պոլիտեխնիկական դպրոցում, երբ այնտեղ սովորել է Պուանկարեն:

[3] Ժակ Շառլ Ֆրանսուա Շտուրմ, ֆրանսիացի մաթեմատիկոս, Պոլիտեխնիկական դպրոցի պրոֆեսոր:

[4] Գեորգ Ֆրիդրիխ Բերնհարդ Ռիման, գերմանացի հայտնի մաթեմատկոս: Իր աշխատանքային կարճ կյանքի ընթացքում (ընդամենը 10 տարի) նա կարևոր աշխատանք է կատարել մաթեմատիկայի տարբեր բնագավառներում:

Թարգմանիչ՝ Գևորգ Հակոբյան