Մանկական հաջողությունների երաշխիքը

Սկիզբը
Նախորդ հատվածը

Կիրառական արվեստ, մաթեմատիկա և այլ առարկաներ (շարունակություն)

Մի անգամ ես նստել էի առաջին դասարանի դասասենյակում և զբաղված էի տարբեր չափերի փոքր, բաց տուփեր պատրաստելով, որ դրանցում Կյուիզեների [1] փայտիկներ տեղադրվեն: Դրա պատրաստման համար ես օգտագործում էի գծագրական տախտակ, գծագրական քանոն, անկյունակներ, քանոն և սուր դանակ՝ ստվարաթուղթը կտրատելու համար: Երբեմն-երբեմն նրանք կտրվում էին իրենց պարապմունքից, մոտենում անկյանը, որտեղ ես աշխատում էի, նայում իմ գործողություններին մի քանի վայրկյան և հեռանում: Երբեմն հարցնում էին, թե ինչ եմ անում, և ես պատասխանում էի. «Հեչ, բան եմ սարքում»:

Երբ մի քանի տուփ պատրաստ էր, երեխաները կարողացան տեսնել իմ աշխատանքի պտուղները: Նրանք էլ ուզեցին զբաղվել այդ գործով: Երբ դասացուցակով ընդմիջում ունեցան, ուսուցչուհին հաստ թղթի թերթեր, մկրատներ բաժանեց ու բացատրեց, թե ինչ պետք է անեն: Ինձ, իրար նայելով կամ սխալների ու փորձերի մեթոդով՝ նրանք հասկացան, որ վերին մասը բաց ուղղանկյուն տուփ պատրաստելու համար պետք է խաչանման ձևվածք պատրաստեն: Սկզբից նրանց տուփերը ստացվում էին ծուռ, անհավասար կողերով ու ոչ ուղիղ անկյուններով: Բայց երեխաները բնությունից շռայլ են օժտված նրանով, որ ինտուիտիվ ճարտարություն կարելի է կոչել: Եթե նրանց իզուր տեղը չանհանգստացնես, իրենք կուզենան իրենց գործը ավելի ու ավելի լավ անել: Այդպես էլ այս տուփերի դեպքում: Երեխաներն ինձ հարցախեղդ չէին անում, պարզապես հետևում էին, թե ես ինչպես եմ անում ու վերջ: Հետո իրենք էին սկսում աշխատել: Տուփերը լավանում էին աչքի առաջ:

Ես նրանց աշխատանքին մի որոշ ժամանակ հետևեցի, ավելի քիչ, քան կցանկանայի. ես իմ դասն ունեի՝ և՛ մասնագիտական դասարաններ, և՛ աշակերտների հետ անհատական աշխատանք, կարճ ասած՝ «վարժանքներ», որ այս կամ այն թեստը հանձնեին: Այնպես որ, ազատորեն դիտարկելու ժամանակ էլ չունեի: Առաջին դասարանի ուսուցչուհին էլ իր ծրագիրն ու խնդիրն ուներ՝ պատրաստել առաջին դասարանցիներին երկրորդ դասարան փոխադրվելու: Այնպես որ, նրանք էլ տուփեր պատրաստելու գործին չէին կարող բավարար ժամանակ տրամադրել, որպեսզի հետազոտեին այդ աշխատանքից բխող որոշ մաթեմատիկական հնարավորություններ, մասնավորապես՝ կոնկրետ չափերի տուփեր պատրաստել, որոնցում կարելի էր տեղավորել որոշակի քանակի փայտե խորանարդիկներ, ուրիշ՝ ոչ ուղղանկյուն տեսքի տուփեր: Այնուամենայնիվ, անգամ այդ կարճ ժամանակահատվածում, երբ երեխաներն զբաղված էին տուփերով, մի փոքրիկ տղա զարմանալի աշխատանք կատարեց, որն արդյունքում կարող էր նրան ու ամբողջ դասարանին տանել այնպիսի ուղղությամբ, որը չէի էլ կարող ենթադրել: Բախտի բերմամբ դա պիտի լիներ այդ անհանգիստ դասարանի ամենաանհանգիստ տղան: Մի քանի բաց տուփ պատրաստելուց հետո նա մտածեց, թե ինչպես կարելի է փակ տուփ պատրաստել: Շուտով գլխի ընկավ, թե ինչ ձև պիտի ունենա այդ արկղի ձևվածքը: Փակ տուփ պատրաստելուց հետո նա մտածեց ու որոշեց, որ դա կարող է տուն լինել, և դուռ ու պատուհան նկարեց: Բայց տունն այնքան էլ տիպական չստացվեց: Թեք տանիք էր հարկավոր: Ես չտեսա, թե նա ինչպես էր լուծել այդ խնդիրը, և քանի փուլով, բայց մի քանի օր հետո ուսուցչուհին ինձ ցույց տվեց նրա աշխատանքը՝ ստվարաթղթի մի թերթից պատրաստված թեք տանիքով տնակ: Տունը հոյակապ էր, պատերն ու տանիքը իդեալական համադրված էին. տնակը և՛ պատուհան ուներ, և՛ դուռ, բայց ոչ նկարված, այլ նախապես կտրած, մինչև տնակը հավաքելը: Ա՛յ, դա աշխատանք էր:

Այսպիսի աշխատանքում հետագա հետազոտման ու ուսուցման բազում հնարավորություններ կան: Բայց ո՛չ սովորողը, ո՛չ էլ դասարանը ժամանակ չունեին այդ հնարավորությունն օգտագործելու: Գուցե մի ուրիշ դասարանում, ուրիշ դպրոցում կօգտվեն ներկայացված հնարավորությունից: Կարելի է պատկերացնել, թե երեխաներն ինչպես են տարբեր ձևի առարկաների մոդելներ պատրաստում, կամ նույն ձևի, բայց տարբեր չափսերի՝ պահպանելով ձևը, բայց փոխելով մասշտաբը: Երեխաներին մասշտաբի գաղափարը պարզապես կախարդում է: Ծանոթ մի ուսուցչուհի պատրաստել էր Կյուիզեների փայտիկների ահռելի հավաքածու, որոնցով շատ էին սիրում խաղալ նրա աշակերտները: Հետաքրքրության համար ես էլ պատարաստեցի Կուիզեների փայտիկների իմ տարբերակը՝ շատ փոքր 2-5 չափի սովորական փայտիկների 2/5 մասի չափով: Առաջին դասարանցիները ցնցված էին հայտնագործությունից, որ տարբեր գույների փայտիկների երկարությունների հարաբերությունը նույնն են և՛ սովորական հավաքածուում, և՛ փոքրիկում:

Մեծ հնարավություններ է տալիս մասշտաբով գծագրելը: Հիշում եմ, թե ինչպես երեխա ժամանակ տեսել եմ պատկերի մեծացման գործընթացը, երբ փոքր պատկերի վրա դնում էին ցանցը, հետո ըստ վանդակների՝ այն տեղափոխում մեծ ցանցի վրա: Հիշում են նաև, որ ես ինքս մի քանի անգամ արել եմ այդ գործողությունը, ամեն անգամ զարմանք ու զմայլանք ապրել՝ տեսնելով, թե ինչպես է սկզբունքը գործում: Բայց այսպիսի զբաղմունքը դպրոցական սովորական աշխատանքին չի վերաբերում, այս բոլորը պետք էր տանը անել, իսկ եթե այդպիսի մեղք գործեիր դպրոցում, ապա պետք էր այն ջանադրորեն թաքցնել, որպեսզի ոչ ոք չտեսներ: Երևակայությունս երբեմն հուշում է ինձ, թե ինչ լավ կլիներ դասարանում փոքր գծագրից ավելի ու ավելի մեծ գծագրեր անել, մինչև ստացվեր գրատախտակի չափ գծագիր, իսկ ավելի լավ կլիներ՝ ամբողջ պատի չափով, ի զարմանս երեխաների: Դրանից հեշտ կլիներ անցում անել կոորդինատային համակարգին, գրաֆիկներին, վերլուծական երկրաչափության սկզբունքներին՝ պատկերը ֆունկցիայի տեսքով ներկայացնելուն: Մի ուրիշ ուղղություն՝ առարկաների ճշգրիտ գծագրերի ստեղծում տարբեր մասշտաբներով, և դրանից կարելի է անցում անել չափումների և ոչ միայն երկարության, այլև՝ անկյունների և պլանների ու քարտեզների ստեղծման:

Հեշտ է տեսնելը, թե այստեղ թվաբանություն յուրացնելու համար ինչ լայն դաշտ կարող է լինել: Ինձ թվում է, որ դպրոցական ուսուցման հիմքում այժմ դրված է մի սկզբունք, ըստ որի երեխաները պետք է դպրոցում երկար տարիներ անցկացնեն՝ ծանրաբեռնելով իրենց հիշողությունը բազում տաղտկալի փաստերով, մինչև հասնեն իսկապես հետաքրքիր ինչ-որ բանի: Հիմար սկզբունք ու նաև անպտուղ, որովհետև երեխաները հասցնում են հոգնել տաղտկալի փաստեր սովորելուց, մինչև հասնում են հետաքրքիր բաների, կորցնում են ցանկությունը ուսման հանդեպ և արդեն ոչինչ չեն ուզում սովորել: Եվ անգամ այն դեպքում, եթե որոշ երեխաներ հաստատակամություն են դրսևորում բոլոր փաստերի յուրացման համար, նրանց ուղեղը այնքան է վարժվում անիմաստ հիշելու կարծրացածությանը, որ արդեն ընդունակ չէ զանազանելու հետաքրքիր բաները և հարմարեցված է միայն հետագա անվերջ փաստացի նյութեր կլանելուն՝ առանց դրանք իմաստավորելու և տրամաբանական կապերը առանձնացնելու: Այդպես է կազմակերպված ուսումնական գործընթացը և՛ միջնակարգ, և՛ բարձրագույն դպրոցում: Բայց միայն բավական է ձին իսկապես կապել սայլի առջևից, այսինքն՝ երեխաներին առաջարկել ինչ-որ բան անել, որը կստիպի նրանց հիշել իբր թե տաղտկալի ու անօգտակար փաստերը և օգտագործել դրանք, և այդ փաստերը դադարում են տաղտկալի լինելուց ու ակնթարթորեն յուրացվում են, ինչպես դա եղավ այն տղայի հետ, ով ուսուցման էլեկտրոնային միջոցների շնորհիվ յուրացրեց դպրոցական իննամյա դասընթացը երկու տարվա ընթացքում՝ դպրոց չհաճախելով:

Հաջորդ անգամ առաջին դասարանցիներին ծանոթացրեցի հավասարաչափական գծագրերի սկզբունքների հետ: Դա ավելի հեշտ է բացատրել նկարների վրա, քան բառերով: Պատկերացնենք՝ իմ առջև խորանարդ է դրված: Այդ խորանարդի հավասարաչափական գծագրում տեսանելի են դրա երկու կողմնային և վերին նիստերը: Խորանարդի բոլոր կողերը հավասար են: Ուղղաձիգ կողը գծագրի վրա պատկերված է ուղղաձիգ գծով, իսկ հորիզոնական կողերը՝ ուղղաձիգ կողի հետ 60^օ-ով դեպի աջ և ձախ գնացող գծերով:

Հավասարաչափական գծագրերն օգտագործում են առարկաները եռաչափ պատկերելու համար: Գոյություն ունի հատուկ հավասարաչափական թուղթ, որ վրա կան ուղղաձիգ և թեք (60 աստիճանի անկյան) գծեր: Մի քանի օրինակ պատճենելով՝ ես դրանք բերեցի առաջին դասարան: Սկզբում գունավոր կավիճների կամ մարկերների օգնությամբ մի քանի գունավոր պատկերներ նկարեցի: Հետաքրքիր ֆորմաներ ու նախշեր ստացվեցին, ու շուտով երեխաները խնդրեցին իրենց թուղթ ու նկարելու պարագաներ տալ, որ իրենք մի որոշ ժամանակ նկարեն:

Որոշ ժամանակ անց իմացա, որ գոյություն ունեն աքսոնոմետրիկ (առանցքաչափական) պրոյեկցիաներ, որոնք թե՛ երեխաները, թե՛ մեծահասակները ավելի հեշտ են նկարում, և որոնք ավելի հետաքրքիր են, քան հավասարաչափական պրոյեկցիաները: Ինչպես հավասարաչափական պրոյեկցիաներում, սրանցում էլ ուղղաձիգ կողմերը պատկերվում են ուղղաձիգ գծերով, իսկ հորիզոնական կողմերը գագաթից դուրս են գալիս այնպիսի անկյան տակ, որ հորիզոնական կողմերի ձևը ավելի ճշգրիտ է տրվում: Խորանարդի աքսոնոմետրիկ պատկերում երևում է, որ նրա վերին նիստը քառակուսու ձև ունի:

Մի քանի ուղեցույցներում, օրինակ, Միշլեն Գրին Տուրի (Նյու-Յորք) կամ Բրաունշվեյգի Բոլման Բիլդկարտեն (Գերմանիա) հրատարակության, կան քարտեզներ, որոնց վրա կառույցներ են պատկերված՝ արված այդ պրոյեկցիաներով, և դրանք շատ հետաքրքիր են նայվում, ասես օդանավից արված նկարներ լինեն: Առաջին դասարանցիներին սա, հավանաբար, չհետաքրքրի, բայց ավելի բարձր դասարանցիները, հնարավոր է, կցանկանան պատկերել իրենց տան կամ իրենց դուր եկած շենքի կամ, անգամ, «Լեգո» որևէ կառույցի աքսոնոմետրիկ պրոյեկցիան:

Մի անգամ, երբ ես նստած էի առաջին դասարանի դասասենյակում և իմ գործերով զբաղված լսում էի, թե ինչ էր կատարվում շուրջս, գլխումս մի միտք ծագեց՝ պատրաստել թեք տանիքով և ձեղնապատուհաններով տան հավասարաչափական գծագիր: Ցանկացած մեկը, որ փորձել է նման բան պատրաստել, առանց դժվարության գլխի կընկնի, որ դա պահանջում է մի քանի հետաքրքիր խնդիրների լուծում, հենց թեկուզ տանիքի և ձեղնապատուհանների հարաբերակցության հարցը: Ինչպես միշտ, երբ ես ինչ-որ բանով զբաղված էի լինում, երեխաները մոտեցան և նայում էին, թե ինչ եմ անում: Մի քանի րոպե անց նրանք նույն գործով զբաղվելու ցանկություն հայտնեցին: Սկզբում երեխաները պատկերեցին սովորական մի տուփ, հետո սկսեցին նկարել հարթ տանքիով տուն՝ դռներով ու պատուհաններով: Երբեմն՝ պատուհաններ նկարելիս, նրանք մոռանում էին, որ դա հավասարաչափական պրոյեկցիա է և, որ հորիզոնական կողերը պետք է 60 աստիճանի անկյուն կազմեն, բայց արագ գլխի էին ընկնում, որ ամեն ինչ սկսում է տարօրինակ երևալ: Հետո նրանք մոտենում էին նայելու իմ գծագիրը, թե ինչպես եմ ես լուծում այս կամ այն խնդիրը, հատկապես թեք տանիքը պատկերելու խնդիրը, ինչը, իհարկե, իրենց ուժերից վեր էր: Ինչպես միշտ, մեր ժամանակը սահմանափակ էր, բայց հետաքրքրությունը, որ երեխաները զգացին հավասարաչափական գծագրության հանդեպ, ակնհայտ էր. վստահ եմ, նրանք հասցրին շատ բան սովորել: Ինչպես տուփերի պատրաստման ժամանակ, այս գործունեությունն էլ կարող էր շարունակվել մի քանի ուղղություններով՝տարբեր մասշտաբների հավասարաչափական գծագրեր, տարբեր օբեկտների գծագրեր, հետազոտություններ սովորական և հավասարաչափական գծագրերի փոխհարաբերության շուրջ և այլն, չեմ խոսում արդեն այն մասին, թե ինչ կստացվի, եթե մենք աշխատանքում ենք ներմուծել հեռանկարի սկզբունքը: Փոքրիկ երեխաները նկարիչ-պրիմիտիվիստների նման իրենց նկարներում խորություն չեն ներդնում, որովհետև չգիտեն՝ դա ինչպես անեն, այն աղջկա նման, որ ծառ էր նկարել՝ առանց այդ մասին մտածելու: Ենթադրենք, թե նրանք մտածում են, հետո՞ ինչ: Ոչինչ, որովհետև հազիվ թե փոքրիկ երեխաները ինքնուրույն բացահայտեն հեռանկարի օրենքները՝ անկախ այլ ոլորտներում դրսևորած իրենց ամբողջ տաղանդի: Հենց որ նրանք կզգան անհրաժեշտություն հեռանկար հաղորդելու, ինչ-որ տեղ հուշում կգտնեն և հաճույքով դրանից կօգտվեն:

Ես արդեն ասել եմ, որ կիրառական արվեստը թղթի վրա առարկաները պատկերելու իր նեղ իմաստով, մարզում է և՛ ուղեղը, և՛ աչքը: Մի անգամ ես առաջարկեցի հինգերորդ դասարանցիներին հեծանիվ նկարել: Նրանք միանգամից իրար խառնվեցին: -Ի՞նչ հեծանիվ: Ամենասովորական՝ երկանիվ հեծանիվ: Աղջիկների՞, թե՞ տղաների համար: Միևնույն է: Ինչ արած, պետք էր նկարել: Նկարելու ունակության մասին խոսք անգամ չէր կարող լինել. դասարանում միայն մեկ-երկու հոգի էին սիրում նկարել, և դա դպրոցում մի քանի տարի «նկարչություն» դասավանդելու արդյունքում, որտեղ նրանց կարծես թե սեր էին ներարկել արվեստի հանդեպ: Բայց անգամ նկարել սիրողները դժկամությամբ սկսեցին հեծանիվ նկարել: Երկու աշակերտ անգամ փորձ չարեց. անհույս էր: Վերջիվերջո ինձ հանձնեցին իրենց նկարածի պտուղները: Դրանք, պարզվեցին, ուսանելի էին: Ակտիվ մտածողությամբ խելացի երեխաները, ովքեր իրերի էության հանդեպ հետաքրքրություն էին դրսևորել, այլ ոչ թե ձգտել էին ճիշտ պատասխաններ փնտրել և, որ, ինչքան հնարավոր է, շուտ իրենց հանգիստ թողնեն, նկարել էին իրական հեծանիվի նմանվող ինչ-որ մի բան: Նրանք գուցե թե սխալվել էին մանրուքներում, բայց սկզբունքորեն ամեն ինչ ճիշտ էր ստացվել: Նկարելիս նրանք մտածել էին հեծանիվի կառուցվածքի և նրա աշխատանքի սկզբունքների մասին: Նրանց նկարներում հենքի նման ինչ-որ բան կար, որին միացված էին անիվները: Ինչ-որ մեխանիզմ էլ կար, որ անիվներին պտտվել էր ստիպում: Բայց որոշ նկարներում տեսա հեծանիվների բացառիկ հավաքածու: Նրանք ոչ միայն ոչ մի կապ չունեին իսկական հեծանիվի հետ, այլև մեկը՝ մյուսի հետ: Անիվները կարելի էր ինչ-որ ձևով նույնացնել այս բոլոր նկարներում, բայց դրանք ոչ մի բանով միացված չէին: Ամենից հաճախ պատկերված էր հեծանիվի մասեր աղոտորեն հիշեցնող բաներ, որոնք կախված էին օդում: Ես երեխաներին բակ հանեցի, նրանց առաջ դրեցի հեծանիվը և խնդրեցի նկարել այն: Արդյունքները մի փոքր ավելի լավ էին: Աչքի առաջ ունենալով հեծանիվը՝ նրանք չէին տեսնում, թե ինչպես է կոնստրուկցիան որպես մեկ ամբողջություն միավորվում, իսկ եթե անգամ տեսնում էին, ապա չէին կարողանում դա պատկերել թղթի վրա: Թվում էր, թե այն, ինչ որ այդքան երկար սովորեցրել էին նրանց դպրոցում, այնքան հեռու էր իրականությունից, որ նրանք ի վիճակի չէին ո՛չ տեսնելու, ո՛չ հասկանալու ո՛չ էլ պատկերելու դա:

Եթե երեխաները ավելի շատ զբաղվեին այն աշխատանքով, որի մասին ասում էի, նրանք ձեռք կբերեն եթե ոչ գիտելիք, ապա գոնե հմտություններ: Դա շատ կարևոր է երեխայի համար: Մի բան ավելի լավ անելն ու տեսանելի արդյունք ստանալն ավելի կարևոր են երեխայի ինքնագիտակցման համար, քան դպրոցական կարգավորված ինչ-որ պարապմունքներ կամ ուսուցչին սիրաշահել կարողանալը, որքան էլ դրանք լավ արվեն: Դպրոցում այսպիսի գործնական աշխատանքը տեղ չունի: Իմ՝ դպրոցում և համալսարանում սովորելու այս ողջ տարիների ընթացքում նման աշխատանք, փաստորեն, նույնպես չի եղել. մինչև երեսուն տարեկանս մի քանի իրերը, որոնք պատրաստել եմ իմ սեփական ձեռքերով, եղել են օդանավերի մոդելները՝ պատրաստած տասը-տասնմեկ տարեկան հասակում՝ այն էլ ոչ դպրոցում: Իհարկե, սա նորմալ չէ: Մարիա Մոնտեսսորին ապացուցել է, որ ամեն ինչից անկախ, երեխաները ընդունակ են կոկիկ ու ճշգրիտ շարժումների, և դրանք սիրում են ոչ պակաս, քան ուժեղ և շփերթ շարժուձևերը: Երեխաներն երբեմն ուզում են գործել կոկիկ և զգույշ, եթե իրավիճակը կամ աշխատանքը դա պահանջում է, այլ ոչ թե մեծահասակների անհասկանալի քմահաճույքները: Մենք պետք է երեխաներին մեծ հնարավորություններ ու խթան տանք ճշգրիտ ու դժվարին գործողություններ զարգացնելու և հմտություններ կիրառելու համար:

Հուսով եմ՝ ոչ ոք չի մտածում, որ ես ձգտում եմ ոչնչացնել գոյություն ունեցող ծրագրերը, կիրարկել դրանց փոխարեն նորերը՝ նկատի ունենալով այն, ինչի համար հիմա պայքարում եմ, և ներդնել այն երկաթե ձեռքով որպես պարտադիր ծրագիր: Ես միայն մի քանի գաղափար եմ առաջարկում. դրանցից որոշները երեխաները կուզենան անել դպրոցում, որոշները՝ տանը: Բայց նրանց պիտի տրվի միջոցների ընտրության ազատություն, որով նրանք ցանկանում են հետազոտել աշխարհը: Եթե մենք թվաբանությունը պարզապես փոխարինենք հավասարաչափական գծագրությամբ կամ մոդելներ փորձարկելով, բայց դրա կողքին անփոփոխ թողնենք դասերի, տնային աշխատանքների, վարժանքների և ստուգման պրակտիկան, շատ քիչ բանի կհասնենք, իսկ ավելի ճիշտ՝ ոչնչի չենք հասնի:

Այդ նույն տարում, որը ես նվիրեցի, ինչպես արդեն ասել եմ, սեփական մեթոդի փորձարկմանը, մոտ մեկ շաբաթ ստիպված եղա պարապել առաջին դասարանում` բացակայող ուսուցչի փոխարեն: Առավոտյան դասարան մտնելով՝ նա նախ և առաջ գրատախտակին մի քանի օրինակ էր գրում, որպեսզի զբաղեցնի երեխաներին` մինչև սովորական դասը սկսելը: Սովորաբար դրանք գումարման վերաբերյալ օրինակները էին, բայց ոչ երկու գումարելիներից ավելի, և դրանց գումարը հիմնականում լինում էր 10-ի սահմանում, երբեք չէր գերազանցում 20-ը, քանի որ երեխաները չէին կարողանում, ավելի ճիշտ, նրանց չէին բացատրել՝ ինչպես լուծել այդպիսի առաջադրանքներ:

Օգնեց երջանիկ միջադեպը: Մի անգամ ես օրինակներ գրելը մոռացա: Երեխաները եկան դասարան, տեսան, որ օրինակ չկա, և հարցրին, թե կարող են արդյոք իրենք օրինակներ գրել: (Փոքրիկները, իսկ երբեմն նաև ոչ այնքան փոքր երեխաները սիրում են գրատախտակին գրել)։ Ես թույլատրեցի: Նրանք սկսեցին ծանոթ օրինակներից, իսկ հետո խիզախեցին ու սկսեցին գրել օրինակներ 70+2=? տիպի: Իսկույն վեճեր առաջացան՝ ճիշտ պատասխանի հետ կապված:

Ոչ մի անգամ նրանք օրինակը անլուծելի չթողեցին: Քննարկելով այն՝ նրանք սովորաբար համաձայնության էին գալիս ու այդ ճանապարհով գտած պատասխանը՝ որպես կանոն, ճիշտ էր լինում: Հավանաբար, սխալ պատասխանի դեպքում անհնար է գալ ազնիվ համաձայնության: Ինձ՝ որպես դատավորի, նրանք քիչ էին դիմում, միայն այն դեպքում, երբ մի քանի երեխաներ վստահ էին իրենց ճշմարտացիության մեջ: Աստիճանաբար նրանք խիզախեցին այնպիսի օրինակներ լուծելու, ինչպես 200+400 կամ անգամ 230+500 և 340+420: Եվ այսպես, քայլ առ քայլ նրանք ինքնուրույն դուրս բերեցին իրենց համար գումարման կանոնները. իհարկե, այդ գործընթացին մասնակցում էին ոչ բոլոր երեխաները, բայց շատերը: Մի շաբաթվա ընթացքում, օրվա մեջ ընդամենը մի քանի րոպե զբաղվելով, նրանք ճանապարհ անցան, որին դպրոցական դասացուցակով քիչ ժամանակ չի հատկացվում:

Շաբաթվա վերջում, երբ նրանք զգացել էին այդ աշխատանքի համը, ես պետք է գնայի, և չհասցրի նրանց բավարար խթան տալ, որ նրանք, ասենք, մտածեն, օրինակ հանման մասին: Բայց ես բավականին տեսա, որպեսզի հասկանամ՝ եթե թվաբանությունը դիտարկենք որպես բնագավառ, որը պետք է ուսումնասիրել (ինչպիսին որ նա կա), այլ ոչ թե հիշելու համար տաղտկալի փաստերի ամբողջություն՝ երեխաները, գուցե ոչ բոլորը, բայց շատերը, ավելի արագ կյուրացնեն այն, քան մենք կարծում ենք:

«Կանաչ հովիտ» (Օրենջ-Սիթիում, Ֆլորիդա) դպրոցի հիմնադիր Ջորջ ֆոն Հիլսհայմերը, ով հիմնել է նաև ազատության սկզբունքների վրա հիմնված այլ դպրոցներ և ուսումնական հաստատություններ, գրում է.

«Այս դպրոցում իրենց ուսումնառությունն սկսած սովորողները չեն վախենում մաթեմատիկայից: Մենք սիրով ենք հետևում, թե ինչպես են մեր հինգ տարեկանները լուծում մաթեմատիկական օրինակները՝ որպես յուրատեսակ «գիշերային հեքիաթ» և ամբողջությամբ յուրացնում են մանկապարտեզների, ինչպես նաև առաջին, երկրորդ, երրորդ դասարանների համար նախատեսված դասագրքերի բովանդակությունը չորս գիշերվա ընթացքում: Ցավոք, այսպիսի հաջողություններ հնարավոր չէ արձանագրել ոչ ամառային ճամբարներում, ոչ էլ այն դպրոցականների մոտ, ովքեր ավարտել են առաջին դասարանը սովորական դպրոցում»:

Մի անգամ՝ այդ նույն տարին, ես մտածում էի հինգերորդ դասարանցի մի տղայի մասին, որ ասում էր, որ 100 և 200 թվերի միջև կա 164 ամբողջ թիվ: Ես բնազդորեն զգում էի, որ երեխաների կարծիքով երևույթների հաճախությունն աճում է հենց թվերի աճմանը զուգահեռ. օրինակ՝ 900 և 1000 թվերի միջև ամբողջ թվերն ավելի շատ են, քան 100 և 200-ի միջև: Ոչ մեծ թվերի միջակայքում երեխաներն առաջնորդվում են առողջ դատողությամբ, որը իրենց դավաճանում է, երբ թվերը մեծանում են: Հավանաբար, ինչպես և բոլորիս մոտ, նրանց գլուխը պտտվում է, և պատասխանները դառնում են անհեթեթ:

Ես կարծում եմ, որ առաջին և երկրորդ դասարանցիներին պետք է որ հետաքրքիր լինի, թե ինչպես են աճում թվերը, և միաժամանկ հույս ունեի նրանց կոնկրետ պատկերացում տալ որոշակի թվերի մասին: Մի անգամ հաշվիչ մեքենայի համար նախատեսված գալարաթղթի մի տրցակ էի գնել, բերեցի առաջին դասարանցիների դասասենյակ ու սկսեցի կետեր նշել 5 սմ հեռավորությամբ, հետո թվագրեցի հերթականությամբ՝ ամեն կետի տակ թիվ գրելով` 1, 2, 3… : Շուտով երեխաներից մեկը մոտեցավ՝ տեսնելու, թե ինչ եմ անում: Թվերը այդ ընթացքում աճում էին: Բոլորը հավաքվեցին՝ նայելու, թե ես ինչպես եմ գրում 100 թիվը. դրանում միշտ ինչ-որ մոգական բան կա:

Նրանցից մեկը հարցրեց.
— Իսկ որտեղի՞ց եք թուղթը վերցրել:
Ես ասացի խանութի տեղը:
— Ի՞նչ արժե:
— Քսանհինգ ցենտ:
— Իսկ ինձ կարելի՞ է դրանից գնել:
— Իհարկե, եթե վճարես դրա համար:
Ես մտածեցի, թե դրանով ամեն ինչ ավարտվեց: Հաջորդ օրը երեխաներից մի քանիսը քսանհինգ ցենտ բերեցին դպրոց: Ես նրանց համար թուղթ գնեցի, և նրանք անցան գործի: Շուտով աշխատանքային պոռթկումը կլանեց բազում առաջին և երկրորդ դասարանցիների: Թվերը աճում էին ու աճում: Ես մի երիզ լրացրեցի, ու անցա երկրորդին, մինչև հասա 1500: Բայց երկու տղա՝ կա՛մ թվերով առանձնապես հետաքրքրվող, կա՛մ շատ ոգևորված, հասան մինչև 2000-ը:

Կարող են ինձ առարկել. «Հետո՞ ինչ: Ի՞նչ սովորեցին դրանից երեխաները»: Եթե նկատի ունենանք ստուգողական հարցերը, որոնց պիտի պատասխանեն, կամ ստուգումները, որոնց պիտի դիմանան, ապա երևի պետք է խոստովանել, որ առանձնապես ոչինչ: Իսկ իրականում յուրաքանչյուրն իմացավ իրենը: Կարծում եմ, որ ոմանք ինչ-որ բան իմացան թվերի աճման պրոցեսի մասին, մյուսները՝ թե կոնկրետ ինչ են նշանակում այդ թվերը, որոնց հետ ստիպված են գործ ունենալ թվաբանական օրինակներում: Մի անգամ, երբ հասա 500-ին, մենք բացեցինք իմ գալարաթուղթը ամբողջ երկարությամբ: Տպավորիչ տեսարան էր. թուղթը ձգվում էր սենյակի երկարությամբ մինչև դուռը և դեպի միջանցք: Երեխաները վազում էին թղթե շերտի երկարությամբ ու բացականչում. «Այստեղ 200-ն է», «Իսկ այստեղ՝ 400-ը»:

Ես բազում պլաններ ունեի՝ այդ աշխատանքը հաջորդ տարի շարունակելու հետ կապված, բայց տարվա համար մի քանի հազար դոլար հատկացում առանձնացված չէր, ստիպված եղա դադար տալ: Ես դառը զգացումներ ունեցա, երբ մտածեցի, թե որքան գումար է վատնվում կրթության վրա, և ինչի համար են դրանք վատնվում: Այնինչ գալարաթղթերի գաղափարը շատ խոստումնալից էր. դրանք կարելի էր օգտագործել բազմապատկման, բաժանման, մեծ թվերի, մասերի, մասշտաբի, չափումների, քարտեզագրման և ուրիշ շատ բաների դեպքում:

Բայց կարևոր է նաև ընտրության ազատությունը՝ այս կամ այն անելու միջոցն ընտրելու ազատությունը, կամ ընդհանրապես անելուց հրաժարվելը: Նախքան կլսեինք «Նոր մաթեմատիկայի» և այս ամբողջ կրթական ծրագրերի բարեփոխման հետ կապված տեղաշարժերի մասին, Բիլ Հոլը իր հինգերորդ դասարաններում փորձեց ներդնել խնդրակողմնորոշիչ մտածողության սկզբունքները: Նրա պիտույքներից էր լծակավոր կշեռքը, այսինքն՝ փայտե ձող՝ միջնամասում ամրացված, որի ծայրերում կարելի էր ծանրություն կախել: Ենթադրվում էր, որ երեխաները պետք է հասկանային լծակի հավասարակշռության սկզբունքը: Իմ «Մանկական անհաջողությունների պատճառները» գրքում ես պատմել եմ մի քանի ոչ հիմար երեխաների մաին, ովքեր այդ լծակավոր կշեռքով էին աշխատում: Որքան հիշում եմ, միայն մի աղջիկ գուշակեց, թե սկզբունքորեն ինչպես պետք է լուծվեն թեկուզ ամենահեշտ խնդիրները: Մնացած երեխաները ընդունակ չեղան համակարգված մտածողությամբ լուծելու պարզագույն խնդիրները, և գուշակության մակարդակից առաջ չանեցան: Եվ դա չնայած նրան, որ մենք, ինչպես մեզ թվում էր, ստեղծել էինք համեմատաբար նպաստավոր պայմաններ երեխաների ստեղծագործական աշխատանքի համար: Մեզ թվում էր, որ եթե մենք դասարանը փոքրիկ լաբորատորիայի վերածենք, երեխաներն անմիջապես կսկսեն որպես գիտնականներ գործել: Բայց ոչինչ չստացվեց, որովհետև այն խնդիրները, որ մենք դրել էինք, մեր խնդիրներն էին, ոչ թե նրանցը:

Երկու տարի անց, երբ արդեն դասավանդում էի իմ հինգերորդ դասարանում, Բիլից պարտքով վերցրի լծակավոր կշեռքը և ծանրոցիկների հետ դրեցի սենյակի անկյունում՝ սեղանիկի վրա: Եվ այդտեղ անսպասելիորեն իմ բախտը բերեց: Այնպես պատահեց, որ ես հնարավորություն չունեցա ո՛չ բացատրելու կշեռքի գործողության սկզբունքները, ո՛չ էլ պատմելու դրանից օգտվելու ձևը: Երեխաները միանգամից նկատեցին դրանք ու սկսեցին ինձ հարցնել, թե դա ինչ է:
— Հենց էնպես, Բիլ Հոլի պատրաստածներից է։
— Իսկ ինչի՞ համար է:
— Առանձնապես կարևոր չէ… ինչ-որ բան կշռելու համար է:
Երեք թե չորս հոգի միագամից որոշեցին պարզել, թե դա ինչպես է արվում: Մյուսները հավաքվեցին ու հետևում էին: Կես ժամ հետո համարյա բոլորը, ովքեր զբաղված էին կշեռքով, գլխի ընկան, թե ինչպես պետք է աշխատեցնել այն, նրանց թվում՝ նաև ոչ այնքան փայլուն սովորողները: Ես աղջիկներից մեկին մի խնդիր տվեցի, որի լուծման վրա ժամանակին ապարդյուն չարչարվել էին մեր ոչ հիմար երեխաները: Նա հեշտորեն լուծեց այն, և նրա բացատրությունից պարզ դարձավ, որ լուծմանը գիտակցորեն է մոտեցել: Ոչ մի դժվարություն:

Դրանից որոշ ժամանակ անց Բիլ Հոլը և իմ մյուս ընկերները սկսեցին աշխատել մաթեմատիկական և տրամաբանական մտածողությունը զարգացնող իմաստուն և արդյունավետ պիտույքների հավաքածու ստեղծելու վրա, որն արդեն թողարկում է «Մաք Գրոու Հիլ Բուք»-ը «Ա-բլոկներ» անունով: Այդ հավաքածուն փայտից պատրաստված տարբեր գույների, չափերի ու ձևերի ամբողջություն է, որոնցով երեխաները խաղում են զանազան դասակարգող խաղեր և որոնցից կարողանում են այնպիսի տարբեր կոնստուկցիաներ պատրաստել, որոնք մանկական ինտելեկտն ուսումնասիրող գիտակների կարծիքով երեխաները երբեք չպիտի կարողանային:

Այդ պիտույքների մշակման ընթացքում նրանք իրենց լաբորատորիա՝ դասարան-գրասենյակ էին հրավիրում երեխաներին՝ հիմնականում հինգ տարեկանների, և աշխատում էին, այսինքն` խաղում էին նրանց հետ՝ գլուխկոտրուկներ սարքում, խնդիրներ լուծում (հիմա երաշխավորվածներից որոշ խաղեր հորինվել են երեխաների կողմից): Նրանց հաջողվեց նկատել այդ պիտույքների հանդեպ երեխաների հետաքրքիր արձագանքները: Եթե նրանք միանգամից երեխային առաջարկում էին խաղալ, լուծել, կառուցել, ոչինչ չէր ստացվում: Երեխան կարող է փորձել անել այն, ինչ իրեն խնդրում են, բայց առանց ուրախության ու հետաքրքրության: Բայց եթե սկզբից երեխային բլոկներով խաղալու ժամանակ էին տալիս, այնպես, ինչպես ինքն էր ուզում, արդյունքները լրիվ այլ էին ստացվում: Երեխան անմիջապես սկսում էր երևակայել: Որոշ բլոկներ դառնում էին մայրիկներ ու հայրիկներ, մյուսները՝ երեխաներ. երբեմն բլոկները կատարում էին տների ու մեքենաների, մեծ ու փոքր կենդանիների դերեր: Փայտի կտորներից ստացվում էին բազմատեսակ նախշեր, կառույցներ ու կոնստուկցիաներ: Այն բանից հետո, երբ երեխաներն այդ բլոկներն անցկացնում էին իրենց երևակայությամբ, իրենց ուղեղով, նրանք ընդունակ ու հակված էին դառնում շատ դժվար խաղեր խաղալու, որոնք այլ երեխաներ ավելի պաշտոնական ու ավելի գործնական իրավիճակում մերժում էին: Հենց որ սա պարզ դարձավ, փորձարարները այդ բլոկներով երեխաների համար ազատ խաղերի պարտադիր նախապատրաստական ժամանակահատված ներմուծեցին:

Կոլորադոյի համալսարանի փիլիսոփայության պրոֆեսոր Դևիդ Հոուկինսը, որ առաջ ղեկավարում էր տարրական գիտական հետազոտությունները, այս մասին գրել է մի հետաքրքիր հոդվածում, որ զետեղված էր 1965թ. «Գիտությունը և երեխաները» ամսագրի փետրվարյան համարում ինչպես նաև «Կրթական ծառայություն» տեղեկատվական հրատարակության 1966թ. հունիսյան համարում: Նա մասնավորապես գրում է.

«Գիտական հիմունքներով ուսումնառության ընթացքում և այլ ասպեկտներով տարրական ուսուցման դեպքում զգալի ժամանակ պետք է տրամադրել ազատ և անհսկելի հետազոտական աշխատանքին, քան սովորաբար նախատեսվում է (եթե հարմար է, դա խա՛ղ կոչեք, ես դա աշխատանք եմ անվանում։ Երեխաներին տրվում են նյութեր և սարքեր, որպեսզի ինքնուրույն կառուցեն, փորձարկեն, փորձեն ՝ առանց նախատելու և հրահանգի: Ես այդ փուլը երևակայական են անվանում:
Մի օրինակ բերեմ իմ փորձից: Մի անգամ՝ առավոտյան, ես հինգերորդ դասարան բերեցի սովորական շրջանակներ, որոնց վրա թելերով 2-3 ծանոցիկներ էին կախված: Նախկինում երկու «փորձարարական» դասարաններում մենք արդեն ծանոթացրել էինք երեխաներին այդ սարքերին ու դրա հետ մեկտեղ հանգամանալից բացատրել դրանց կառուցվածքը՝ կրկնակի ճոճանակների երևույթը ու տվել մի քանի հարցեր մինչև լաբորատոր աշխատանքը սկսելը: Այս անգամ, եթե անգամ ինչ-որ վերահսկողություն կար, ապա դա սարքի գործունեության մեջ էր միայն. ճոճանակը պիտի տատանվեր»:

Բոստոնի քաղաքային դպրոցի սենյակներից մեկում, որտեղ ես անգլերենի երեկոյան ամառային դասընթաց եմ դասավանդում, այդպիսի ճոճանակ կա: Մեր մի քանի աշակերտներ (դպրոցական տարիքի) այդ սենյակի կողքով անցնելիս մտնում են սենյակ ՝ դրանցով խաղալու: Մի տղա, տեսնելով այդ սարքը, մի որոշ ժամանակ դիտում էր: Նա նույնիսկ ձեռք չտվեց ճոճանակին: Եվ դա շատ բանի մասին էր խոսում: Եթե նա չգիտեր, թե ինչ «պետք է անի» սարքը, ապա չէր էլ պատրաստվում դիպչել նրան՝ վախենալով, որ հանկարծ մի բան դուրս չգա, ինչ-որ մեկը դա կտեսնի ու կորոշի, որ մեղավոր է հենց այս տղան: Դիրքորոշման աննշան, բայց պերճախոս օրինակ, որը հատուկ է շատ երեխաների. բնությունն ու տիեզերքը անհետևողական են ու անկանխատեսելի, ավելին, նրանք թշնամի են մարդուն և կարող են դավաճանել նրան:

Ես սկսեցի ինքս փորձեր անել ճոճանակներով: Ես գիտեի, բայց ոչ դպրոցական դասագրքից, այլ աշխարհի կառուցվածքի մասին իմ սեփական պատկերացումներից, որ կարճ ճոճանակի տատանման պարբերությունը ավելի փոքր պիտի լինի, քան երկար ճոճանակինը: Ճոճանակի երկարության և նրա տատանման պարբերության միջև կապի բանձևը չգիտեի, ուղղակի ենթադրում էի, որ ճոճանակի երկարության կրկնակի կրճատման դեպքում նա կրկնակի արագ կտատանվի: Նկատելով, որ դա այդպես չէ, ես կարճ ճոճանակի երկարությունը կարգավորեցի այնպես, որ այն սկսի երկու տատանում անել երկար ճոճանակի մեկ տատանման ժամանակահատվածում և աչքով արձանագրեցի, որ նրա երկարությունը կազմում է երկար ճոճանակի քառորդ չափը: Ահա և ձեզ օրինաչափություն: Մինչ ես ճոճանակներով էի զբաղված, ինձ մոտեցավ մեր ուսուցչուհիներից մեկը՝ մի շատ աշխույժ ու խելացի կին: Մի քանի վայրկյան իմ աշխատանքին հետևելով՝ նա սկսեց անընդհատ ինձ հարցեր տալ. «Ի՞նչ կանոնի համաձայն դա պիտի հաստատվի: Ի՞նչ օրենքի է դա ենթարկվում»: Ես ծիծաղեցի ու առաջարկեցի նրան. «Ինչո՞ւ դուք էլ ինձ հետ չհետևեք: Անմիջապես գլխի կընկնեք»: Բայց նա չցանկացավ զվարճանալ մանկական փորձերով: Նա անհապաղ ուզում էր իմանալ, թե ինչ օրենք է այդտեղ գործում և նյարդայնորեն ինչ-որ բան շշնջալով գիտության հանդեպ իր անընդունակության վերաբերյալ ընդհանրապես և օրենքները չհիշելու մասին մասնավորապես՝ շտապով հեռացավ:

Բայց վերադառնանք պրոֆեսոր Հոուկինսին.

«Այս փորձերը սկսելիս ես միամտաբար կարծում էի, որ երևակայական փուլի համար երկու ժամը բավական կլինի: Բայց այդ երկու ժամերին հաջորդեցին մյուս երկուսը, հետո՝ դարձյալ երկուսը, և այդ ամենը ձգվեց մի քանի շաբաթ: Ո՛չ ձանձրույթ էր նկատվում, ո՛չ շփոթմունք: Աշխատանքն ընթանում էր առանց նախապես որոշած պլանի:
Ինչո՞ւ մեզ թույլ տվեցինք դրա վրա այդքան ժամանակ ծախսել: Նախ, որովհետև նախորդ փորձից ելնելով՝ համոզվեցինք երևակայական փուլի արդյունավետության մեջ: Պարզ դարձավ, որ երեխաները բավարար չափով ծանոթ չէին ճոճանակի շարժումներին և սկզբի համար նրանք պետք է գործնական փորձառություն ստանային, իսկ հետո արդեն վերլուծական գործունեության անցնեին, թե չէ այն ձև չէր ստանա ու իմաստ չէր ունենա»:

Այսպիսով, վերադառնալով ճոճանակով փորձերի վերաբերյալ իմ պատմածին՝ ճոճանակի շարժումների մասին երեխաների հետ ցանկացած քննարկում հնարավոր է դառնում միայն այն բանից հետո, երբ իրական ճոճանակը իր տեղն է զբաղեցնում նրանց աշխարհի մոդելում: Սա հավասար չափով վերաբերում է նաև ընթերցանությանը, թվերի աշխարհին, թվաբանությանը և ընդհանրապես՝ գիտությանը: Երեխաներին շատ անհրաժեշտ է այս «երևակայական փուլը», որը դեռ տեղ չունի դպրոցում. օրինակ՝ անհրաժեշտ է կարդալ նրանց համար, նախքան նրանք ինքնուրույն կարդալ կսովորեն և կորսան հնչյունի ու տառի միջև եղած կապը: Նրանց ժամանակ է հարկավոր, որպեսզի առանց շտապելու, առանց ճնշումի՝ ձևավորեն գաղափար, թե ինչպիսի տեսք ունեն բառերը, նախքան նրանք կսկսեն մտապահել դրանք: Նույն ձևով էլ նրանց ժամանակ է հարկավոր թվերի ու թվականների հետ նախնական ծանոթության համար, նախքան նրանք կսկսեն հիշել, եթե դա իսկապես անհրաժեշտ է, գումարման օրենքներն ու բազմապատկման աղյուսակը: Նրանց անհրաժեշտ է իմանալ՝ որքան մեծ են այդ թվերը: Նրանք պետք է տեսնեն, դարձյալ առանց շտապողականության ու ճնշումի, թե ինչպես են փոփոխվում թվերը՝ աճում կամ նվազում և ինչպես են հարաբերում իրար: Նրանց հարկավոր է նախապես մտովի կառուցել տարածքի մոդելը, նախքան կսկսեն քննարկել այն: Մենք՝ ուսուցիչներս, չգիտես ինչու, համոզված ենք, որ աշխարհի վերաբերյալ մեր սեփական մտավոր մոդելները բացատրելու ճանապարհով կարող ենք տեղափոխել մեր սովորողների մտածողություն: Մոլորություն է:

[1] Ժորժ Կյուիզեներ — բելգիացի մանկավարժ (1891 — 1976)

Թարգմանություն ռուսերենից
Լուսանկարը` Հասմիկ Թոփչյանի